聚焦单元整体教学发展学生空间观念

摘要：空间观念是在图形与几何领域教学中要发展学生的核心素养之一。空间观念的形成不能依靠零敲碎打，而是要结合具体的单元内容，从单元整体的视角进行有目的地教学，系统地对学生进行培养。在开展单元整体教学时，教师先要构建单元整体内容结构体系，再剖析核心素养背景下单元教学培养目标，最后形成单元整体教学实施策略。关键词：单元整体教学；核心素养；空间观念空间观念是学生形成空间想象力的经验基础。空间观念是在图形与几何领域教学中要发展学生的核心素养之一。空间观念的形成不能依靠零敲碎打，而是要结合具体的单元内容，从单元整体的视角进行有目的的教学，系统地对学生进行培养。本文以人教版数学教材六年级下册第三单元“圆柱与圆锥”的教学为例，围绕“聚焦单元整体教学，发展学生空间观念”主题，谈谈笔者的实践和思考。一、构建单元整体内容结构体系“圆柱与圆锥”单元是小学阶段图形与几何领域的最后一个单元，学习两种最难的曲面立体图形，是发展学生空间观念的重要内容。该单元将图形的认识和图形的测量合编在一起，先学圆柱，后学圆锥；每种图形又是按照图形的认识→图形的测量（圆柱的侧面积和表面积→圆柱体积及容积→圆锥的体积）顺序编排。教学课时为9课时，其中新授部分为8课时：圆柱6课时，圆锥2课时；整理和复习1课时。该单元内容包括三个维度：一是圆柱与圆锥的认识；二是圆柱的侧面积和表面积；三是圆柱与圆锥的体积。这三个维度皆属于“图形的认识与测量”主题，其中第一维度属于图形的认识，第二、三维度属于图形的测量。所以，实际教学时，教师可以遵循从易到难的原则，按从图形的认识到图形的测量进行教学。图形的测量又可以按从面积到体积的教学顺序做两个方面的适当调整：一是把圆锥的认识放在和圆柱的认识同一课时；二是把圆柱的侧面展开图（实质上是圆柱的侧面积）单独作为一课时进行教学。二、剖析核心素养背景下单元教学培养目标空间观念是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）中贯穿小学、初中的核心素养表现之一，是形成《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中规定的六大素养之“直观想象”素养的基础。新课标对空间观念的内涵从定义、具体内容及作用或意义等三个方面进行了界定：“空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。”图1是该内涵的结构图，其中的五个动词“抽象”“想象”“表达”“感知”“描述”，反映的是最终目标——空间想象力。空间想象力是学生空间观念素养表现的终极目标。三、发展学生空间观念的课堂实施策略新课标在“课程实施”中提出了“注重教学内容与核心素养的关联”的教学建议，如“第三学段，在对图形测量和计算的过程中，从度量的角度加深对图形的认识，理解图形的关系，进一步增强空间观念、量感和几何直观”。“圆柱和圆锥”单元，本身有图形的认识内容，既可以从图形的认识维度，又可以从侧面积和表面积维度，及体积（容积）维度发展学生的空间观念。（一）观想并举——在认识圆柱和圆锥的过程中发展空间观念“观”是指观察。观察是所有学习的基础。数学“三会”核心素养的第一“会”就是“会用数学的眼光观察现实世界”，从中可知观察的重要性。离开了观察，学生的数学学习就无从谈起，而所谓培养学生数学学科核心素养之空间观念也将会落空。培养观察能力，要从有序观察开始，即先整体，后局部，局部观察要遵循从上到下或从左到右的顺序进行。观察要遵循三个原则，即全面、有序、突出重点。“想”是指想象。它是一种特殊的思维形式，是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程，能突破时间和空间的束缚。例如，在教学“圆柱的认识”时，教师要先引导学生找到一个生活中的圆柱形物体（茶叶罐、水杯等），依次观察竖放、横放、斜放时表面的各个组成部分。学生通过观察，直观感知圆柱的表面包括上底面、下底面和一个侧面，上底面和下底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；观察找到上下底面的圆心，想象将一根铁丝穿过上下底面的圆心，这两个圆心之间的铁丝长就是圆柱两个底面圆心之间的距离，这个距离就是圆柱的高；与这个距离相等的线段有无数条，也就是圆柱的高有无数条。从观察圆柱形实物再转为观察由实物抽象出的圆柱几何图形，学生对圆柱的特征就会有比较清楚的认识。接着，教师引导每个学生将贴着长方形硬纸的木棒竖直放在桌面上，左手在长方形下方固定木棒，右手抓住木棒顶端转动，使长方形以木棒为轴旋转一周，观察、想象长方形转动一周所划过的空间就是一个圆柱。由此，学生从旋转长方形的角度认识动态形成的圆柱，感受由平面图形到立体图形的变化。学生经过对圆柱表面的静态观察和对“铁丝贯穿上下底面圆心”的想象观察，以及对旋转长方形变圆柱的动态观察“三重”递进观察，对圆柱特征的认识会由表及里，形成从圆柱形实物抽象出圆柱几何圖形以及从圆柱几何图形想象出圆柱形实物的空间观念。同样，在教学“圆锥的认识”时，教师也要使学生先观察圆锥形实物，再观察圆锥几何图形；接着，引导学生将贴着三角形硬纸的木棒竖直放在桌面上，左手在三角形下方固定木棒，右手抓住木棒顶端转动，使三角形以木棒为轴旋转一周，观察、想象三角形转动一周所划过的空间就是一个圆锥。由此，学生从旋转三角形的角度认识动态形成的圆锥，感受由平面图形到立体图形的变化。而对于圆锥高的概念“从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高”，对某个圆锥形实物来说，学生往往肉眼难以看到。此时，教师要引导学生借助想象，将一根铁丝贯穿顶点到达底面圆心，顶点与底面圆心之间的铁丝长就是圆锥的高。观察和想象是紧密联系的。观中有想，想中有观，更有利于学生在头脑中形成相关物体的表象，进而发展空间观念。（二）曲平互转——在圆柱侧面积和表面积计算公式的推导过程中发展空间观念在推导圆柱侧面积计算公式时，教师要使学生人手一个圆柱，亲自探究“将圆柱侧面剪开摊平为一个平面，再将平面复原为曲面”的过程。在这个过程中，学生通过观察、思考，找到平面与曲面各部分间的关系（见图2）：不管剪开摊平得到怎样一个图形，最后总是可以将其剪切、拼接变成一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，圆柱的侧面积=底面周长×高（S侧=Ch=2πrh）；继而教师引导学生思考：“如果要让圆柱侧面展开成一个正方形，要具备什么条件？”学生画出侧面展开图是正方形的大概模样，在头脑中形成“高等于底面周长，也是底面直径三倍多，底面半径六倍多”（h=C=πd=2πr）的表象。学生经历了圆柱侧面积计算公式的推导过程，就能水到渠成地得出圆柱表面积计算的一般化公式：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积。如果教学到此为止，只是浅尝辄止，还不足以使学生的空间观念达到一个较高的水平。在教学中，教师还可以引导学生将该公式的推导更进一步。例如，一位教师在执教“圆柱表面积计算公式的推导”时，不是按教材内容顺序使学生把罐头盒的商标纸沿着高剪开，再展开，最后把上下底面展开，形成一个完整的展开图。而是先出示图3中左图，引导学生想象：自己看到了什么？有的学生说看到了三个长方形，有的学生说看到了一扇门，门上有两个小窗。不管怎样，学生看到的都是平面图形。正在学生求知的“胃口”被强烈“吊取”时，教师在图3中右图小长方形宽的旁边标上“1”，大长方形长的下面标上“6.28”，再让学生猜。这时，学生的想象有了数值的支撑，有一位学生就猜，这是一个圆柱的表面展开图，大长方形是圆柱的侧面，上面的两个小长方形是由两个圆形底面剪拼而成。因为在学习圆的面积时，是把圆剪拼成近似的长方形，这里的“1”是底面圆的半径，小长方形的长是底面圆周长的一半“3.14”，大长方形的长“6.28”是圆柱底面圆的周长。这个学生由平面图形想象出立体图形，无疑其空间观念和空间想象力都达到了一个很高的水平。究竟是不是圆柱表面展开图呢？教师没有急于肯定或否定，而是引导学生动手操作进行验证。验证的结果证明，刚才那位学生的想象是正确的：学生动手沿高剪圆柱的侧面，展开变成一个长方形，把上下两个圆形底面也展开变成由两个圆和一个长方形组成的组合图形，再回顾想象学习圆的面积计算公式的推导过程，把两个圆形底面剪拼成近似的长方形，就变成由三个长方形拼成的大长方形。学生从展开图中可以直观地看出圆柱的表面积实际上是一个长为底面周长“2πr”，宽为“h+r”的长方形的面积“2πr（h+r）”。在此基础上，教师引导学生复盘刚才进行圆柱表面积计算公式的推导过程（见图4）。学生经过这样的由平面图形到圆柱的先行想象，再进行由圆柱到平面展开图的实验验证，最后复盘实验过程，对圆柱表面积计算公式的建构就经历了从初步感知到实验验证，再到想象确认的不断递进的过程，从一个侧面积加两个底面面积的一般化认识进阶到一个大长方形面积的水平。这样，不管是圆柱的侧面积，还是其表面积计算公式的推导，学生都经历了曲平互转的过程，更有利于其空间观念的发展和空间想象力的提高。（三）做说一体——在圆柱体积和圆锥体积计算公式的推导过程中发展空间观念新课标提出“利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题”。“做”，实际上就是指通过动手操作做数学实验。“圆柱与圆锥”单元的教学要尽量让学生多做实验，如圆柱侧面积计算公式推导实验、圆柱表面积计算公式推导实验、圆柱体积计算公式推导实验、圆锥体积计算公式推导实验，等等。“说”，就是表达。数学表达既是数学学习的起点，也是终点。实际学习中，学生存在开口难、说不准、词模糊、理混乱等问题。在课堂教学中，教师要营造让学生大胆说、不怕错的氛围，尽量多使学生走上讲台，面向全班学生说出自己的实验、思考过程，培养学生表达的能力，从而发展“三会”素养中的“会用数学的语言表达现实世界”的素养。在学生说时，教师还要引导学生遵循“既完整又简洁”的表达要求。例如，圆柱体积计算公式的推导，学生通过实验推导后，教师要引导学生结合切拼过程的图形（见图5），从实验方法、找关系、得出结论三个方面既完整又简洁地用口头语言表达出实验过程。1.实验方法：将圆柱切拼成一个近似的长方体，将圆柱底面分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近长方体。2.找关系：切拼后长方体的体积等于原来圆柱的体积，长方体的长等于原来圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于原来圆柱的底面半径，也就是长方体的底面积等于原来圆柱的底面积，长方体的高等于原来圆柱的高。3.得出结论：根据“等积变形”原理，圆柱的体积等于长乘宽乘高，也就是等于底面积乘高。在此基础上，教师还应引导学生用数学语言书面表达出切拼后长方体与原来圆柱各部分间的关系及圆柱体积计算公式。经过这样的口头表达及书面表达，学生获得