2025《金版教程•高考数学复习创新方案》微专题（八） 定序问题、分排问题、相同元素问题的解题策略

排列组合问题是高中数学的重点和难点内容之一，也是求解概率问题的基础．排列组合问题不仅内容抽象，题型多样，而且解法灵活，不易掌握．解答排列组合问题时，要注意分析题型类别，抓住问题的本质，采取恰当的方法来处理问题．下面我们重点讲解一下定序问题、分排问题、相同元素问题的解题策略．类型一定序问题例1身高互不相同的7名同学站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有________种(用数字作答)．答案840解析解法一：先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有Aeq\o\al(4,7)种排法，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排，即有Aeq\o\al(4,7)＝840种排法．解法二：将7名同学全排列，有Aeq\o\al(7,7)种排法，因为甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列，所以共有eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))＝840种排法．一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(m,m))种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有Aeq\o\al(n－m,n)种不同的方法．对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为eq\f(（m＋n）！,n！).1．某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为()A．2 B．11C．36 D．42答案D解析将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．2．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________．答案120解析六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，共eq\f(6！,3！)＝120种排法．类型二分排问题例2(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为()A．Aeq\o\al(7,7)Aeq\o\al(10,10) B．Aeq\o\al(7,17)Aeq\o\al(10,10)C．Aeq\o\al(7,17)＋Aeq\o\al(10,10) D．Aeq\o\al(17,17)答案BD解析17名同学中选7名同学排在前排有Aeq\o\al(7,17)种方法，剩下10名同学全排在后排有Aeq\o\al(10,10)种方法，根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(7,17)Aeq\o\al(10,10)种站法．或将前后排视为一排，共有Aeq\o\al(17,17)种站法．多排元素排列问题通常可简化为一排考虑．3．5名学生、1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的站法共有()A．30种 B．360种C．720种 D．1440种答案B解析教师在前排选1个位置，5名学生，站剩余的5个位置，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(5,5)＝360种站法．类型三相同元素问题例3某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额．(1)不同的分配方案共有多少种？(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？解(1)问题等价于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为Ceq\o\al(3,15)＝455.故不同的分配方案共有455种．(2)问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里，求每个盒子至少有1个小球的分配方法数．将10个小球串成一串，截成4段，截法种数为Ceq\o\al(3,9)＝84，因此不同的分配方案共有84种．相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq\o\al(m－1,n－1)种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．4．(2024·石家庄一中模拟)小明同学去文具店购买文具，现有4种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择)，单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有()A．70种 B．165种C．280种 D．1860