2024-2025学年度上学期高一数学期中模拟试题5

2024-2025学年高一数学上学期期中押题试卷5考试时间：120分钟满分：150分测试范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、函数的概念与性质一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，2，，则A．，2， B．，1，2， C．，2，3， D．，1，2，3，【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．【解答】解：集合，1，，，2，，则，1，2，．故选：．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2．命题“，”的否定为A．， B．， C．， D．，【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题“，”是全称命题，其否定为：，．故选：．【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．3．设，命题，命题，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，对两个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：不等式，即，解得；不等式，即，解得．因为由不能推出，由可以推出成立，所以是的必要不充分条件．故选：．【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的定义与判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．4．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【分析】由函数的解析式，求出函数的单调递增区间，由题意可得的范围．【解答】解：二次函数开口向上，对称轴方程为，所以函数的单调递增区间为，，而函数在区间上单调递增，所以，解得，即的范围为，．故选：．【点评】本题考查函数的单调递增区间的求法，属于基础题．5．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为A． B．0 C．1 D．2【分析】根据题意，先分析函数的周期性，结合函数的奇偶性可得（2），（1），结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数满足，即，函数是周期为4的周期函数，又由为奇函数，则（2），（1），当时，，则（2），（1），故（2）（1）；故选：．【点评】本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．6．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是A． B． C． D．【分析】根据幂函数的图像和性质判断即可．【解答】解：根据幂函数的图像以及性质得：①是，②是，③是，④是，故选：．【点评】本题考查了幂函数的图像和性质，考查数形结合思想，是基础题．7．定义在上的奇函数满足，且在，上是减函数，则A．（5）（4）（3） B．（3）（4）（5） C．（3）（5）（4） D．（4）（5）（3）【分析】根据题意，由的奇偶性和单调性可得在，上为减函数，再分析的周期性，可得（5）（1），（4），（3），综合可得答案．【解答】解：根据题意，为定义在上的奇函数且在，上是减函数，则在，上也是减函数，故在，上为减函数，又由函数满足，则有，故是周期为4的周期函数，则有（5）（1），（4），（3），则有（5）（4）（3）．故选：．【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．8．已知定义在上的函数满足，（1），且当时，，则不等式的解集为A．或 B．或 C． D．【分析】利用函数单调性的定义可求解函数在上是增函数，利用函数的单调性解抽象不等式可求解不等式的解集．【解答】解：在上任取，则，所以，又，所以函数在上是增函数，由（1），得（2）（1）（1），（3）（1）（2）．由，得（3），因为函数在上是增函数，所以，解得或，故原不等式的解集为或．故选：．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知正数，满足，则下列选项正确的是A．的最小值是4 B．最小值为 C．的最小值是2 D．的最大值是【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论，逐个判断各个选项的正误即可．【解答】解：对于，，，且，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为2，故错误，对于，，，且，，，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，所以的最小值取不到，故错误，对于，由得，，当且仅当时，等号成立，即的最小值是2，故正确，对于，，当且仅当且，即，时，等号成立，即的最大值是，故正确，故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．10．图①是某大型游乐场的游客人数（万人）与收支差额（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是A．图①中点的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B．图①中点的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用【分析】根据图象逐项分析判断即可．【解答】解：图①中点的实际意义表示门票收入为0时，收支差额为1万元，即该游乐场的投入的成本费用为1万元，选项正确；图①中点的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，收支差额为0，即该游乐场的收支恰好平衡，选项正确；图②中虚线的斜率更大，即与原来相比，游客人数相同时，收入更大，则门票的票价更高，选项错误；图③中虚线与轴的交点纵坐标比原来的大，即减少了投入的成本费用，选项正确．故选：．【点评】本题主要考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．11．下列命题中正确的是A．方程在在区间上有且只有1个实根 B．若函数，则 C．如果函数在，上单调递增，那么它在，上单调递减 D．若函数的图象关于点对称，则函数为奇函数【分析】根据函数的相关知识，对各选项逐个判断即可．【解答】解：对，作出函数和的图象，由图可知，它们在上有且只有1个交点，所以正确；对，作出函数的图象，设，，，，由图可知，点，总在点，的上方，所以，所以正确；对，因为函数为奇函数，所以函数在，上单调递增，在，上也单调递增，所以错误；对，根据函数的图象关于点对称，所以，于是，所以函数为奇函数．故选：．【点评】本题主要考查函数的性质应用，以及函数零点的求法，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数的定义域是，且．【分析】由题意列关于的不等式组，求解得答案．【解答】解：由，解得，且．函数的定义域是，且．故答案为：，且．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．13．已知函数，．若恒成立，则．【分析】根据给定条件，代入计算即可．【解答】解：函数，，由，得，所以，解得．故答案为：．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了方程思想，属基础题．14．已知函数是减函数，则实数的取值范围是，．【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数是减函数，则有，解可得，即的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及函数的解析式，属于基础题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合，，．（1）求，；（2）若，求的取值范围．【分析】（1）利用并集定义能求出，，由此能求出；（2）由，得，由此能求出的取值范围．【解答】解：（1）集合，，，或，或；（2）集合，，，，解得．的取值范围是．【点评】本题考查并集、补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．函数是定义在上的奇函数，且（1）．（1）求，的值；（2）判断并用定义证明在，的单调性．【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性分析可得，则可得，解可得、的值；（2）由（1）的结论，，利用作差法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，是定义在上的奇函数，且（1），则（1），则有，解可得，；（2）由（1）的结论，，设，，又由，则，，则，则函数在，上单调递减．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出、的值，属于基础题．17．已知函数．（1）讨论不等式的解；（2）当时，求函数在，上的最小值．【分析】（1）分，，三种情况讨论，求不等式的解集；（2）分函数的对称轴在，之间，及在区间的右边两种情况讨论，可得函数的最小值．【解答】解：（1）当时，不等式为，解得，此时不等式的解集为；当时，不等式为，解得或，此时不等式的解集为或；当时，，解得，此时不等式的解集为；综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；（2）时，函数开口向上，对称轴方程为，当，即时，则函数在，单调递减，则（1），当时，函数在，先减后增，所以．【点评】本题考查分类讨论求不等式的解集，属于基础题．18．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图①；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解．【解答】解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，由题设，，由图知（2），即，解得，又（4），即，解得．从而，．（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，则，令，则，当时，，此时．所以产品投入6万元，产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元．【点评】本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19．设函数为定义在上的奇函数，且当，时，．（1）求函数的解析式；（2）若对所有，，，恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在区间，上的值域，，求所有满足条件的区间，的并集．【分析】（1）根据函数为奇函数，利用求得当时的表达式，由此求得的解析式．（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围；（3）根据条件可得，，是方程的两个根，或是方程的两个根，然后求出集合即可．【解答】解：（1）令，则，函数为奇