2024年人教版七年级数学上册专项复习：有理数的乘除法【十大题型】解析版

专题2.2有理数的乘除法【十大题型】

【人教版2024]

A题型梳理

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】...........................................................2

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】......................................................2

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】....................................................3

【题型4有理数乘法的实际应用】..............................................................3

【题型5有理数的混合运算】...................................................................4

【题型6有理数四则运算的实际应用】...........................................................5

【题型7利用倒数法求解有理数的除法】........................................................6

【题型8化简分数】...........................................................................7

【题型9与有理数乘除有关的新定义问题】......................................................7

【题型10有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】.............................................8

►举一反三

知识点1：有理数的乘法

1.有理数的乘法

有理数乘法法则：(下列法则中6为正有理数，c为任意有理数)

两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。

即：(+a)x(+Z>)=ab；(―a)x(—=ab；ax(-b)=-ab；；(-a)xb=-ab；；0xc=0。

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。

多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积

为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0。

多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。

2.有理数乘法运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：ab=ba。

乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

gp：abc-^ab)c-a(Jbc)o

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再

把积相加。即：a(b+c)=ab+aco

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】

【例1】（23-24七年级•浙江绍兴•阶段练习）4个有理数相乘,积的符号是负号，则这4个有理数中，负数

有（）

A.1个或3个B.1个或2个C.2个或4个D.3个或4个

【变式1-11（23-24七年级•安徽合肥•阶段练习）若a—b<0,ab>0,那么这两个数（）

A.都是正数B.都是负数C.一正一负D.符号不能确定

【变式1-2】（23-24七年级•重庆江津•阶段练习）已知a>b>c,且a+b+c=0,那么乘积ac的值一定是

)

A.正数B.负数C.0D.不能确定

【变式1-3】（23-24七年级•安徽宣城•期末）如图，A,5两点在数轴上表示的数分别是mb,下列式子成

立的是（)

B

—1b0

A.ab>0B.a+6>0C.(a—1)(Z?-1)>0D.(a+l)(b-1)>0

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】

[例2](23-24七年级•全国•假期作业)计算：(一1X2)X(VX勺X(-|X$X(-：X》X…X(-黑X

ZL3344NUNN

2023、/20222024、

痂)x(_^x布).

【变式2-1］（23-24七年级•全国•课后作业）计算15,x2最简便的方法是（）

77c11077

A.15+-')X-B.16X—C.—X—D.10+X——

7.161671616

【变式2-2］（23-24七年级•全国•随堂练习）用简便方法计算:

(1)(-7.5)x(+25)x(-0.04)；

(2)(-4^)X1.25X(-8).

【变式2-3］（23-24七年级•江苏盐城•阶段练习）用简便方法计算:

(1)19^X(-9)；

1o

(2)0.618x97+3x0,618.

知识点2：倒数

1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。

2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）0没有倒数。（3）互为倒数的

两个数的乘积一定是1,即。，方互为倒数，则ax6=l；反之亦然.

3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。

（1）非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】

【例3】（23-24七年级•重庆,期末）-1.5的倒数的绝对值的相反数为.

【变式3-1］（23-24七年级•浙江•阶段练习）甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是

它本身，乙说：一个数6的倒数也是它本身，则a-b=—

【变式3-2］（23-24七年级•四川成都,期末）若a,b互为相反数，a+1的倒数是-;，则6的值为.

【变式3-3］（23-24七年级•内蒙古呼伦贝尔・期末）已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，租的绝对值等于

4,p是数轴上原点表示的数.

⑴分别直接写出a+b,cd,m,p的值；

（2）p-cd+号+m的值是多少？

ca

【题型4有理数乘法的实际应用】

【例4】（23-24七年级•广东广州•开学考试）如图，把A,B,C,D,E这五部分用四种不同的颜色着色，

且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图一共有种不

同的着色方法.

【变式4-1］（23-24七年级•黑龙江大庆•期末）某商店将一种取暖器先提价20%,然后宣传打八五折销售,

取暖器的现价（）

A.和原来一样B.比原来降了C.比原来涨了D.无法判断

【变式4-2］（23-24•江西吉安•三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题,

也首先记录了"盈不足"等问题，在第七章“盈不足"中有这样一个问题："今有蒲生一日，长三尺.蒲生日自

半”.其意思是"有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”.根

据题意，第三日蒲生长的长度为尺.

【变式4-3］（23-24七年级,山东临沂,期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付

费元.（游客只能在公园售票处购票）

购票张数1~29张30-60张60张以上

每张票的价格20元18元16元

知识点3：有理数的除法

1）有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即："b=a；,（人工0）。

b

有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值

的商。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

【题型5有理数的混合运算】

【例5】（23-24七年级•重庆九龙坡•阶段练习）计算

【变式5-1］（23-24七年级•福建厦门,期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题.

计算：（―15）+©—3—|）X6

解：原式=（-15）+（-g）x6......第一步

=（-15）+（-25）......第二步

=-|……第三步

解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程.

【变式5-2]（23-24七年级•吉林白城•阶段练习）计算:（，）x2[+㈢x]—Wx（Y）.

【变式5-3]（23-24七年级•河北石家庄•阶段练习）老师布置了一道练习：计算（-16）+C-Jxl2.

嘉嘉和淇淇的解答过程如下：

嘉嘉的解答过程淇淇的解答过程

解：原式=（一16）+（-2）*12（第一步）解：原式=（—16）+工一工x12（第一步）

43

=(―16)+(—1)(第二步)=-64-4（第二步）

=16（第三步）=-68（第三步）

（1）①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第步；

②淇淇解题过程中开始出现错误的是第步.

⑵把正确的解题过程写出来.

⑶计算：（-24）义仁+"3+14.

\46O/

【题型6有理数四则运算的实际应用】

【例6】（23-24七年级•山东威海•期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降

0.6℃.已知山脚的温度是8久.

⑴若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；

⑵小明在上山过程中看到温度计上的读数是-EC,此时他距山脚有多高？

【变式6-1]（23-24七年级•贵州铜仁•阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度

平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7

万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？

【变式6-2]（23-24七年级•四川成都・期中）小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.

如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：

+12,-13,+15,+11,-17,-11,0,-13.

请通过计算说明：

（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？

（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？

（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75

元，按他的预计第二次售价可获利多少元？

【变式6-3］（23-24七年级•四川成都,期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20

立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级

气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8

（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加,

比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？

【题型7利用倒数法求解有理数的除法】

【例7】（23-24七年级•辽宁鞍山•阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：

材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如湃心，即若设a+b=x,则6+a=\

材料二：分配律：（a+b）c=ac+be；

利用上述材料，请用简便方法计算：（-高）+（»；+专）-

【变式7-1］（23-24七年级•吉林长春•阶段练习）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用

分配律.对于下面这道计算题：+（；-；+；-椅），小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的

42\67314/

«：++=-|x42+|x42-|x42+Jx42=-7+12-

28+9=-14,所以原式=-2请你仿照以上小明的做法计算：（-5）+（1-吟一|+台

【变式7-2］（23-24七年级•全国•随堂练习）阅读材料，回答问题.

计算：（一2）+0

解:方法一：原式=（一白十（'一卷）=（一表）+（-♦）=?

方法二：原式的倒数为:（1-1）-（-^）=Q-1）x（-15）=|x（-15）-1x（-15）=-3+5=2

故原式=

用适当的方法计算：（一£）+（1—卷+2-I.

【变式7-3］（23-24七年级•浙江杭州•阶段练习）阅读下列材料:

计算：专i-i4-

34

解法①：原式=义士;工+工+上+2=呆3-—1x4+—X12C=—11

6036046012606060

11/1

解法②:原式磊+（松一2+6）=专=—x6=—

66010

解法③：原式的倒数为（|一：+白+亲=©-1+m*60="60-；*60+**60=20-15+5=

10,

团原式=弓

解法④：原式=（专x60）+［（»；+专）X60卜1+（20-15+5）=4

⑴上述解法中，肯定有错误的解法.你认为解法一是错误的；

（2）在正确的解法中，选择一种解法计算：—2+但一《+'—口

42\71436/

【题型8化简分数】

【例8】（23-24七年级•全国•专题练习）化简下列分数:

【变式8-1］（23-24・上海杨浦•三模）下列分数中，能化为有限小数的是（）

AA.-1B-.3-〃C.-1cD.一5

12121515

【变式8-2］（23-24七年级•全国•课后作业）化简下列各分数：苓=—,—=

5—36

【变式8-3］（23-24七年级•全国・专题练习）如果v<0<x,则化简区+⑼=

xxy

【题型9与有理数乘除有关的新定义问题】

【例9】（23-24七年级•河北石家庄•期中）在数轴上，把原点记作点0,表示数1的点记作点4.对于数轴

上任意一点P（不与点。，点4重合），将线段P。与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作户，即户=

例如：当点P是线段。4的中点时，因为P0=P4所以>=1.如图，点P1,P2，P3为数轴上三个点，

点P1表示的数为-;，点P2表示的数与点P1表示的数互为相反数，点P3表示的数为2.

4

3i3i六

⑴点22表示的数为：；

（2）求户1，52,户3的值，比较户1，户2,户3的大小，并用连接；

⑶若数轴上有一点M满足0M=4,求祈.

【变式9-1]（23-24七年级•湖南岳阳•期末）定义新运算"⑤"：a0b=『如：203=土券，则（402）0

（-D=.

【变式9-2]（23-24七年级•甘肃陇南•期中）如果对于任何有理数a、b定义运算"A"如下：必6=：+（—§,

如2A3求（-2A7）A4的值.

【变式9-3]（23-24七年级•四川成都•期中）在数轴上有理数a,；分别用点A,4表示，我们称点4是

点A的〃差倒数点〃.已知数轴上点A的差倒数点为点4；点A/的差倒数点为点人2；点A2的差倒数点为点

4…这样在数轴上依次得到点A,A19A2,4，…，An.若点A,A19A2,A3,而在数轴上分别表示的有

理数为。八。2、。3、…，an.则当〃=一机寸，代数式幻+。2+〃3+…+Q2020的值为.

【题型10有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】

【例10】（23-24七年级•安徽滁州•期中）下列结论：

①若|%|=|-3|,则％=±3；

②若|一%|=|-3|,贝h=3；

③若1%1=lyb则%=y；

④若％+y=0,则昌=1；

⑤已知a、b、c均为非零有理数，若a<0,a+b<0,a+6+c<0,则回+粤+回一半的值为2或一2.

其中，正确的结论是（填写序号）.

【变式10-1]（23-24七年级•湖北武汉•阶段练习）已知abc于0,化简g+总+名=（）

\ab\\ac\\bc\

A.-3B.3或1C.3或一1D.±3

【变式10-2］（23-24•山东青岛•一模）设a,6,c为有理数,则由言+白+卷+陪构成的各种数值是.

|a|\b\|c|\abc\

【变式10-3］（23-24七年级•北京海淀•阶段练习）有理数a,b,c都不为零，且a+b+c=0,则空+等+

ab

\a+b\

专题2.3有理数的乘除法【十大题型】

【人教版2024]

＞题型梳理

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】...........................................................2

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】......................................................2

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】....................................................3

【题型4有理数乘法的实际应用】..............................................................3

【题型5有理数的混合运算】...................................................................4

【题型6有理数四则运算的实际应用】...........................................................5

【题型7利用倒数法求解有理数的除法】........................................................6

【题型8化简分数】...........................................................................7

【题型9与有理数乘除有关的新定义问题】......................................................7

【题型10有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】.............................................8

►举一反三

知识点1：有理数的乘法

L有理数的乘法

有理数乘法法则：(下列法则中。、6为正有理数，c为任意有理数)

两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得。。

即：(+a)x(+&)=ab-,(―a)x(—=ab；ax(-b)=-ab；；(-a)xb=-ab；；0xc=0。

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。

多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积

为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0。

多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。

2.有理数乘法运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：ab=ba.

乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

BP：abc=(Q6)C=a(bc)o

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再

把积相加。即：a（b+c）=ab+aco

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】

【例1】（23-24七年级•浙江绍兴•阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数

有（）

A.1个或3个B.1个或2个C.2个或4个D.3个或4个

【答案】A

【分析】本题考查了多个有理数的乘法运算.熟练掌握多个有理数相乘，奇负偶正是解题的关键.

根据多个有理数相乘，奇负偶正，进行作答即可.

【详解】解：由多个不为0的数相乘，奇数个负数积为负数，偶数个负数积为正数可知，这4个有理数中,

负数有1个或3个，

故选：A.

【变式1-1］（23-24七年级•安徽合肥•阶段练习）若a-6<0,防>0,那么这两个数（）

A.都是正数B.都是负数C.一正一负D.符号不能确定

【答案】D

【分析】根据有理数的乘法法则，有理数的减法法则，即可解答.

【详解】解：Sab>0,

0a,6同号,

若a,b都是负数，存在a—b<0,

若a,。都是正数，同样存在a—6<0,

回这两个数符号不能确定，

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的乘法及有理数的加法，掌握有理数的乘法及有理数的减法是解题的关键.

【变式1-2］（23-24七年级・重庆江津•阶段练习）已知a>b>c,且a+6+c=0,那么乘积ac的值一定是

（）

A.正数B,负数C.0D.不能确定

【答案】B

【分析】根据题意，判断出a、c的正负，即可求解.

【详解】解：13a>b>c,且a+b+c=0,

0a>0,c<0,即a与c异号,

则ac的值一定是负数.

故选：B.

【点睛】此题考查了有理数乘法以及加法运算，解题的关键是正确判断出a、c的正负.

【变式1-3](23-24七年级•安徽宣城•期末)如图，A,2两点在数轴上表示的数分别是a,b,下列式子成

立的是()

BA

----------1~•—1--------1―«—►

-1b01a

A.ab>0B.a+b>0C.(a—1)(/?-1)>0D.(a+l)(h-1)>0

【答案】B

【分析】先根据数轴确定a,b的取值范围，再逐一判定即可解答.

【详解】解：由数轴可得：一l<b<0<l<a,

Elab<0,a+b>0,(a—1)(/?—1)<0,(a+l)(b—1)<0,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的乘法，解决本题的关键是根据数轴确定a,b的取值范围.

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】

[例2](23-24七年级•全国•假期作业)计算：(―1X2)X(―；X$X(-；X§X(-4X今X…X(-翳X

2233442022

、、

痂2023)x(,一20赤22X赤202)4.

【答案】2024

2023

【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的运算法则是

解题的关键.

【详解】解：原式=—(1X2)XGX|)X(|X3X(|XYX

«1324352021202320222024

-lx2ox-x-x-x-x-x-x...X-----X------X------X------,

2233442022202220232023

2024

2023

【变式2-1](23-24七年级•全国•课后作业)计算159x3,最简便的方法是()

716

A.(15+-)x-B.(16--)X-C.—X-D.(10+5-)X-

\7/16\7/16716V7716

【答案】B

【分析】根据有理数乘法运算法则逐项验证即可得到答案.

【详解】解：15.x.1“6--2\x—7,

7/16

故选：B.

【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则是解决问题的关键.

【变式2-2](23-24七年级•全国•随堂练习)用简便方法计算:

(1)(-7.5)X(+25)X(-0.04)；

(2)(-4^)x1.25X(-8).

【答案】(1)7.5

(2)401

【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律.

(1)根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算；

(2)运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可.

【详解】(1)解：(―7.5)x(+25)x(―0.04)

=7.5x(25X0.04)

=7,5x1

=7.5；

(2)解：(—4点)X1.25X(—8)

1

=4—x(1.25x8)

=(4+[)'I。

1

=40+-

=40

2

【变式2-3](23-24七年级•江苏盐城•阶段练习)用简便方法计算：

⑴1吗x(-9)；

1o

(2)0.618x97+3x0,618.

【答案】⑴-17年

(2)61.8

【分析】本题考查有理数乘法的运算律，掌握利用乘法分配律进行计算是解题的关键.

（1）利用乘法分配律计算即可；

（2）利用乘法分配律计算即可.

【详解】（1）解：原式=（20-工）X（-9）=20X（-9）—二x（-9）=-180+工=—179工；

\18/1822

（2）原式=0.618X（97+3）=0.618X100=61.8.

知识点2：倒数

1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。

2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）0没有倒数。（3）互为倒数的

两个数的乘积一定是1,即6互为倒数，则4x6=1；反之亦然.

3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。

（1）非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】

【例3】（23-24七年级•重庆,期末）-1.5的倒数的绝对值的相反数为.

【答案】-|

【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可.

【详解】解：回一1.5=—|,

团一日的倒数是

团的绝对值是京

垮的相反数为号，

回-1.5的倒数的绝对值的相反数为号，

故答案为-1.

【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题

的关键.

【变式3-1］（23-24七年级•浙江•阶段练习）甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是

它本身，乙说：一个数6的倒数也是它本身，则。加—

【答案】±1.

【分析】利用相反数和倒数的定义求出a、b,然后相减即可.；

【详解】解：a的相反数是它本身，说明a为0；一个数6的倒数也是它本身，说明b为±1；

那么a-b=a±l=0±l=±l

答案为：±1.

【点睛】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，熟记概念并确定出a、b的值是解题的关键.

【变式3-2］（23-24七年级•四川成都•期末）若a,6互为相反数，a+1的倒数是一；，则6的值为.

4

【答案】5

【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0,互为倒数的两个数的积为1,列式

计算即可.

【详解】团a,6互为相反数，a+1的倒数是一；，

回a+b=0,a+l=-4,

团a=—b,

团-b+1=—4,

解得b=5,

故答案为：5.

【变式3-3］（23-24七年级•内蒙古呼伦贝尔・期末）已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，根的绝对值等于

4,p是数轴上原点表示的数.

⑴分别直接写出Q+b,cd,m,p的值；

（2）p-cd+甘+m的值是多少？

ca

【答案】（l）a+b—0,cd—1,m-+4,P-0；

（2）3或一5

【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，a,b互为相反数，得到a+b=0,根据c,d互

为倒数，得到cd=l,根据ni的绝对值等于4,所以巾=±4,p是数轴上原点表示的数，所以p=0；

（2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将a+氏cd、p代入求解即可得到答案；

【详解】⑴解：加，b互为相反数,

a+6=0,

vc,d互为倒数，

•••cd=1,

m的绝对值等于4,

•••m=±4,

・・•p是数轴上原点表示的数，

・•・p=0；

(2)解：①当771=4时，

0p-cd+—+m=0-l+0+4=3,

cd

②当zn=—4时，

0p-cd+—+m=0-l+0-4=-5,

cd

•••1p—cd+rrim的值为3或—5.

【题型4有理数乘法的实际应用】

【例4】（23-24七年级•广东广州,开学考试）如图，把A,B,C,D,E这五部分用四种不同的颜色着色,

且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图一共有种不

同的着色方法.

C

1DL________

【答案】96

【分析】

本题考查了有理数的乘法运算，按照A,B,C,D,E的顺序依次着色，判断各部分可以使用的颜色种树即

可求解.

【详解】解：由题意得：A有四种颜色可以选择，8有三种颜色可以选择，

则C有两种颜色可以选择，。有两种颜色可以选择，E有两种颜色可以选择，

团这幅图一共有着色方法：4x3x2x2x2=96（种）

故答案为：96

【变式4-1］（23-24七年级•黑龙江大庆•期末）某商店将一种取暖器先提价20%,然后宣传打八五折销售，

取暖器的现价（）

A.和原来一样B.比原来降了C.比原来涨了D.无法判断

【答案】C

【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为100x（1+20%）x0.85%=102（元），进而可求；

【详解】解：假设取暖器原价为100元，

则现价为100x（1+20%）X0.85%=102（元），

0100<102,

团取暖器的现价比原来涨了.

故选：C.

【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，列出算式并正确计算是解题的关键.

【变式4-2］（23-24•江西吉安・三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，

也首先记录了"盈不足”等问题，在第七章“盈不足"中有这样一个问题："今有蒲生一日，长三尺.蒲生日自

半”.其意思是"有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”.根

据题意，第三日蒲生长的长度为尺.

【答案】7

4

【分析】本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式.

根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可.

【详解】解：3X；X；=J（尺）

224

故答案为：

【变式4-3］（23-24七年级•山东临沂•期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付

费元.（游客只能在公园售票处购票）

购票张数1-29张30-60张60张以上

每张票的价格20元18元16元

【答案】540

【分析】本题考查了有理数大小比较的运用，本题只需仔细分析图表即可解决问题.根据公园门票价格规

定，通过计算得出应尽量设计的能够享受优惠的购票方案.

【详解】解：解：28人买28张的话需付28x20=560（元），

买30张的话，付30X18=540（元），

所以最少应付费540元.

故买30张付540元是最少的付费方式.

故答案为：540.

知识点3：有理数的除法

1）有理数除法法则1:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a^b=a-]-,（匕工0）。

b

有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值

的商。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

【题型5有理数的混合运算】

【例5】（23-24七年级•重庆九龙坡•阶段练习）计算

【答案】⑴-2

（2）-3

【分析】（1）先将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法的运算法则按照同级运算从左到右的顺序计算

即可得到答案;

（2）先算绝对值里面的，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，再结合有理数加法运算法则求解即可得到

答案.

【详解】⑴解：-|十（-。+（-3凯（5|）

2/5\17

=一mx(z-3)x(一正卜石

=-2；

(2)解:1+(-3+,卜||

7310

=1x(-8)+-^正一正

77

=1x(-8)+1--

77

=1X(-8)+--—

,、715

=1x(-8)+-Xy

=-8+5

=—3.

【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及绝对值运算，熟练掌握加减乘除运算法则及运算顺序是解决问

题的关键.

【变式5-1](23-24七年级•福建厦门•期中)下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题.

计算：(-15)+©—3—|)x6

解：原式=(-15)+(-5X6......第一步

=(-15)+(-25)......第二步

—|……第三步

解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程.

【答案】见解析

【分析】根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得；依据混合运算顺序和运算法则判断即可得；由乘

除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得；先计算括号内的数，然后化除为乘再进

行有理数的乘法运算.

【详解】解：解答过程有错.错在第二步和第三步.

第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算；

第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正.

正确过程：(-15)+©-3-|)义6

解：原式=(-15)+(-交)X6

6

=(-15)x(一卷)x6

_108

一5

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则.

【变式5-2】（23-24七年级•吉林白城•阶段练习）计算：（，）土+（-拉；吟><

【答案】一卷

【分析】逆用乘法分配律，提出-£计算出括号内的值，而后相乘即得.

5

【点睛】本题主要考查了乘法的分配律，熟练掌握乘法的分配律，有理数的加减法、乘法，是解决问题的

关键.

【变式5-3］（23-24七年级•河北石家庄•阶段练习）老师布置了一道练习：计算（-16）+G-|）X12.

嘉嘉和淇淇的解答过程如下：

嘉嘉的解答过程淇淇的解答过程

解：原式=（一16）+（-2）*12（第一步）解：原式=（—16）+；-；xl2（第一步）

43

=(—16)+(—1)(第二步)=-64-4（第二步）

=16（第三步）=-68（第三步）

（1）①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第步;

②淇淇解题过程中开始出现错误的是第步.

（2）把正确的解题过程写出来.

⑶计算：（-24）x（：+，一§+14.

。O/

【答案】⑴①二，②一

⑵见解析

【分析】(1)①嘉嘉在第二步计算乘除混合运算时，应按照从左到右顺序依次计算；②淇淇第一步计算

含有括号时，应该先计算括号里面的；

(2)按照有理数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除.

(3)根据有理数的混合运算进行计算即可求解.

【详解】(1)解：①嘉嘉解题过程中第二步计算有错误，

故答案为：二；

②淇淇解题过程中第一步有错误，

故答案为：一；

(2)解：(-16)+X12

=(-16)+f)xl2

=(-16)x(-12)x12

=192x12

=2304；

(3)(-24)x-——4-14

\242424.

71

——24x——x—

【点睛】本题考查了有理数混合运算，在计算有理数混合运算时，有括号先计算括号里面的，再计算乘方,

然后计算乘除，最后计算加减，同级运算时从左往右依次进行计算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题

关键.

【题型6有理数四则运算的实际应用】

【例6】(23-24七年级•山东威海•期中)气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降

0.6℃.已知山脚的温度是8。5

⑴若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；

⑵小明在上山过程中看到温度计上的读数是-1。&此时他距山脚有多高？

【答案】⑴-4冤

(2)1500米

【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用.

(1)根据题意列式计算即可；

(2)根据题意列式计算即可.

结合已知条件列得正确的算式是解题的关键.

【详解】(1)解：8-20004-100x0.6

=8-12

=-4(℃),

即山顶的温度为-4汽；

(2)[8-(-1)]+0.6X100

=9+0.6X100

=1500(米)，

即他距山脚1500米.

【变式6-1](23-24七年级•贵州铜仁•阶段练习)某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度

平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7

万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？

【答案】这个公司2017年平均每月亏损0.175万元.

【分析】首先用这个公司去年每个季度的盈亏额乘3,求出每个季度的盈亏额分别是多少；然后把它们相加,

再除以12即可求解.

【详解】解：(-1.5)X3+2X3+1.7X3+(-2.9)x3

=-4.5+6+5.1+(-8.7)

=-2.1(万元)

-2.1-M2=-0.175(万元)

答：这个公司2017年平均每月亏损0.175万元.

【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是求出每个季度的盈亏额分别是多少.

【变式6-2］（23-24七年级•四川成都•期中）小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.

如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：

+12,-13,+15,+11,-17,-11,0,-13.

请通过计算说明：

（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？

（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？

（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75

元，按他的预计第二次售价可获利多少元？

【答案】（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了444元；（2）每套儿童服装的平均售价是78元;

（3）按他的预计第二次售价可获利2100元.

【分析】（1）把所得的正负数相加，再同以55元售价售出的总价相加，求出买出的钱数，再同400元进

行比较，可知赚了还是亏了，进而求出赚或亏的钱数；

（2）用售出的总价除以8可求出平均售价是多少元，据此解答.

（3）根据利润=售价-进价即可求得.

【详解】（D（+12）+（-13）+什15）+什11）+（-17）+（-11）+0+（-13）=-16.

80x8-16=640-16=624（元）

624>180,所以赚钱

624-180=444（元）

答：当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了444元；

（2）624+8=78（元）

答：每套儿童服装的平均售价是78元.

⑶每套衣服的进价为：180+8=22.5元，

第二次可以购进服装900+22.5=40套，

75x40-900=2100.

答：按他的预计第二次售价可获利2100元.

【点睛】考查了正数与负数的应用，得到总售价是解决问题的关键.

【变式6-3］（23-24七年级,四川成都•期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20

立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级

气量基数，按一级用气价格的L5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8

倍收