2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：函数的图象（含新定义解答题）（学生版+解析）

第07讲函数的图象（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

象大致是（）

3.（2024上•云南迪庆•高一统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说："数缺形时少直观，形

少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学的学习和研究中，有时可凭借

函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数/（x）在的大致图象如图所示，则函数“X）的

解析式可能为（）

y

C.〃尤)=-凶-1D./(x)=|x+l|

函数〃x)=/oga|x|+l|(0<a<l)的大致图象

5.（2024•四川•校联考模拟预测）

10.（2023上・山东泰安・高一校考阶段练习）已知函数/（耳=小+〃4（〃?为常数）,则y="%）

11.（2023上,上海静安•高三上海市新中高级中学校考阶段练习）定义在实数集R上的函数

,二/⑺满足八万+6:/⑺，/（4-x）=/（x）,且当xe［0,2］时，f（x）=2x-l,则满足

F（x）>0的x取值范围为.

12.（2023上•上海•高一曹杨二中校考期末）已知beR,设函数〃力=|皿2》+2%+4在区

间g+>0）上的最大值为M,0）.若［b\M,伍）N2}=R,则正实数f的最大值为.

四、解答题

13.（2024上•湖南郴州,高一统考期末）已知函数〃力=|小2用

>

X

⑴完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数〃X）=|lOg2X的简图;

(2)根据(1)的结果，若•/'(%)=/(%)(%*%)试猜想占%的值，并证明你的结论.

]_

X124

42

/（X）

14.（2023上•江西新余•高一校考期中）已知/（X）是定义在R上的偶函数，当X20时，/（%）

是二次函数，其图象与X轴交于A（l,o）,3（5,0）两点，与y轴交于C（0,5）.

⑴求的解析式;

（2）若方程/（x）-3a+l=0有四个不同的实数根，求。的取值范围.

B能力提升

1.（2024上•安徽淮南•高一深圳市高级中学校联考期末）若函数y=r与函数

=土生生的图象有两个不同的交点4（占,〃占）），3优，/（马），则小三二运的取

x~lt

值范围是（）

B.(「友彳,力。U1f0n,—回

A.子用

\7\7

C..2也2应）D.(-2A/2,0)U(0,2A/2)

|ln(-x)|,x<0

2.(2024上•云南昭通・高一昭通市第一中学校联考期末）已知函数〃x）=

x2-4x+l,x>0

若函数g（%）=/（%）-机有四个不同的零点七,巧，无3，冗4，且石＜%＜X3＜兀4，则下列结

论中正确的是（）

।1

A.-1<%2——B.—1vO

e

1c

C.xYx2=—D.x3+x4=2

4W_1Y<1

3.(2024上•山东德州•高一统考期末)已知函数〃x)='一,函数y=左与

X-6x+8,x>l

>=/(%)有四个交点，横坐标依次为天,巧，/，%且玉<%2<冗3<兀4，满足

/(%,)=f(x2)=/(x3)=/(x4),则lg(f)-lgX2+4"3+26f的取值范围是()

A.(0,20)B.(2,20)C.(3,20)D.(6,20)

|X+2|,A:<0

4.（2024上•重庆•高一校联考期末）已知/（%）=，若方程/'（同=。有四个不同

log]x,x>0

2

11,一-

的解项＜%＜兀3＜工4，则%+%+—+——的取值范围是_________1

工314

C综合素养

5.(2019上•上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习)设集合O表示具有下列性质的

函数F(x)的集合：①的定义域为(-M)；②对任意都有

(1)若函数证明/(x)是奇函数；并当"署5]=2,=求〃回，

f(〃)的值;

(2)设函数g(x)=lg[加与](〃为常数)是奇函数，判断g(x)是否属于O,并说明理由；

1g(x)XG(-1,1)

(3)在(2)的条件下，若/%)=：।(左20),讨论函数＞=网飘%)]—2的零点

内用+1%一(-1,1)

个数.

第07讲函数的图象（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

2

1.（2023•湖南岳阳•校联考模拟预测）函数y=一的图象为（）

1-x

【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.

22

【详解】因为y—，所以当x=0时，y=--=2,故排除ABC,

l-x1-x

222

又y=；—=——-的图象可由函数y=—-的图象向右平移一个单位得到，则D正确.

l-xx-1X

故选：D.

log21%〉0

2.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（x）=2，，g（x）=〃f）-1,贝必（尤）的图

IX+1）,X<U

象大致是（）

【答案】B

【分析】利用尤＞0时的解析式的图象即可得到选项.

【详角军】令尤＞0,贝！］一天＜0,

所以/(-x)=(-x+l)2,

g(尤)=/(-*)-1=(彳-1)2-1，

则在y轴右侧为部分抛物线，

对称轴为x=l,g(x)=0时，x=2或0,

且(0,0)处为空心，g(l)=T，

排除ACD.

故选：B

3.(2024上•云南迪庆•高一统考期末)我国著名数学家华罗庚曾说："数缺形时少直观，形

少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学的学习和研究中，有时可凭借

函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的

解析式可能为()

A.〃x)=—W+lB./(x)=|x-l|C./(x)=-|x|-lD./(x)=|x+l|

【答案】A

【分析】根据题意取特值点分析判断.

【详解】由题意可知：/(1)=0,排除CD；/(-1)=0,排除B.

故选：A.

4.(2023上•山西吕梁•高一校联考阶段练习)函数〃x)=『og0N+l|(0＜a＜l)的大致图象

为（）

【答案】D

【分析】利用函数零点判断即可.

【详解】令〃x）=|iog“M+i|=。，得x=±L所以函数的零点为土L又o<a<i,工>1或

aaa

--<-1,D选项符合

a

故选：D

5.（2024•四川•校联考模拟预测）函数-3尤）的图象大致是（）

【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除CD,根据x>石以及0〈尤〈若时的函数值的正负,

即可排除B.

【详解】因为〃x）=[-]匕]-3x）,定义域为R,

又〃-无）=（1―卜3+3”）=[一品卜+3、）

12X+1-1j___1

2―_2X+12-2%+l

j___1

（X3-3X）=/（X）,可知〃尤）为偶函数，排除CD；

2-2X+1

当%>0时，——一7〉°，

22X+1

当0<%<百时，X3-3X=X(X2-3)<0,贝!J/(X)V0,

当X＞6时，尤3—3尤＞0,则〃x）＞0,B不符题意,

故选：A.

6.（2022•全国•模拟预测）函数/（%）=朋-3国-1的图象大致为（）

【分析】根据题意，求得“X）为偶函数，再利用导数求得函数〃尤）的单调区间，结合选项,

即可求解.

【详解】由函数〃兀）=阴-3国-1的定义域为R,

且/(-尤)=尸_3n_1=阴―3国一1=〃"，所以函数/（X）为偶函数,

当xw(0,+oo)时,/(x)=ex-3x-l,则((x)=e"—3,

当xe(O,ln3)时,/(无)<0；当xe(ln3,+oo)时,f^x)>0,

所以〃元）在（0,山3）上单调递减，在（In3,内）上单调递增.

故选：C.

x2+2x+l,x<0/、,

7.（2024•陕西咸阳•统考模拟预测）己知函数/。）=|lnx|,x>0'右方程〃x)="有

四个根尤1，4,不，*4，且々＜%＜退＜匕，则下列说法错误的是（）

A.再+冗2=-2B.x3+x4>2

C.玉工2>4D.0<a<l

【答案】C

【分析】分析函数八工)的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.

【详解】函数y=V+2x+l的图象开口向上，对称轴为直线x=-l,

当xVO时,/(x)=x2+2x+l在上递减,函数值集合为［0,+8),在［-1,0］上递增,函

数值集合为［0,1］,

当x>0时,〃x)=|ln尤|在(0,1］上递减，函数值集合为［0,+8),在口,+8)上递增，函数值集

合为［0,+co),

方程/(%)=a的根是直线y=。与函数y=/(%)图象交点的横坐标，

方程/(x)=a有四个根石，称斗,看,即直线y与函数>=/(©图象有4个交点，

在同一坐标系内作出直线y=。与函数y=/(x)的图象，如图，

观察图象知，为+尤2=-2,0<a<l,AD正确；

显然|ln%1=1山七I,而无3<1<匕，则一出迅=111%4，即In尤3X4=。，鼻%4=1，

4+工4>2"3%=2,B正确；

显然一1<%<。，玉%=(-2-%)X2=-(%+1)2+1€［。，1)，C错误.

故选：C

8.(2024上•贵州黔西•高一统考期末)函数/(X)的图象如图所示，则“力的解析式可能

是()

A./(x)=|log2(x+l)|B./(x)=log2(x+1)

C./W=|2-r-l|D.〃x)=2=1

【答案】A

【分析】结合图象，根据定义域与特殊值应用排除法得到答案.

【详解】由图象可知，〃尤)的定义域为(-1,内)，

对于c,D选项，/(x)=|2'-l|,〃%)=2'-1定义域为区，排除C,D；

对于B选项，/(x)=log2(x+l),定义域为(-L+8),

当尤=一；时，/［£|=1吗［；+1］=-1,排除B,

对于A,〃无)=1082(%+1)|的定义域为(-1,+向，且其在(TO)上单调递减，在(0，+向上单

调递增，故A正确.

故选：A.

二、多选题

9.(2024上•云南昆明•高一统考期末)己知定义域为A的函数“X),若对任意的eA

且x产尤2,有七习J")；"%),则称函数为"定义域上的凹函数〃.例如，

/'(力=2,就是R上的凹函数.以下函数是"定义域上的凹函数”的有()

A.f{x)=2x+lB./(%)=x3

C./(x)=x2+lD./(%)=-lgr

【答案】CD

【分析】画出选项ABCD的图象，根据函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方，逐

一验证即可求解.

【详解】分别作出ABCD的图象，如图

根据/［土产］＜正¥^)可知定义域上的凹函数是函数图象上任意两点连线的中点

都在图象的上方，故CD符合，AB不符合,

故选:CD

10.(2023上・山东泰安・高一校考阶段练习)已知函数/(耳=小+〃4(〃?为常数),则y="%)

【分析】根据分段函数的性质，结合分类讨论即可与二次函数的性质求解.

f兀2尤>0

【详解】当根=0时，函数〃尤)=无国=；一'选项D符合题意；

［一元,x<0,

当机>0时，函数〃尤)=N尤+/=卜:小""m'故选项C符合；

［~x~-mx,x<-m,

当初<0时，函数〃尤)=尤卜++卜：侬*“m，故选项B符合.

1-x-mx,x<-m,

故选:BCD.

三、填空题

11.(2023上•上海静安•高三上海市新中高级中学校考阶段练习)定义在实数集R上的函数

了二/⑺满足八1+可:/⑴，f(4-x)=/(%),且当xe［0,2］时，f(x)=2x-l,则满足

〃x)>0的x取值范围为.

【答案】++

【分析】根据题意得〃无)周期为4,关于x=2对称，作出函数/⑺在［0,4］上图象，结合周

期性得出答案.

【详解】由/'(x+4)=/(x),可得函数/(x)周期为4,当xe［0,2］时，f(x)=2x-l,又

/(4-x)=/(x)得〃力关于m2对称,

作出函数〃可在［0,4］上图象，

由图像可得，在[0,4]上满足/'(x)>0的x取值范围是又函数周期为4,

所以函数满足〃x)>0的x取值范围是g+软,g+4“#eZ.

故答案为：,+4k1+4“,就Z.

12.(2023上•上海•高一曹杨二中校考期末)已知此R,设函数〃x)=|log2X+2x+可在区

间山+1]Q0)上的最大值为M0).若也M9)》2}=R,则正实数f的最大值为.

【答案】|

【分析】画出函数图象，数形结合得到当/(。=/«+1)时一,,。)取得最小值，最小值为

/⑺，并得到人=-3叫24+1)-2―1,从而得到不等式，求解解集，得到答案.

【详解】画出/■(x)=|log2X+2x+b|的图象如下：

由图象可知，当/•⑺=〃r+l）时，MS）取得最小值，最小值为八。，

此时/<加</+1,-（log2z+2r+Z?）=log2（r+l）+2（r+l）+Z?,

贝！Jb=—;log2《，+l）—2,一1①，

故只需要—（log2，+2，+与之2②，

将①代入②得-[log2f+2/-glog?f”+1）-2/-1122,

化简得士斗解得月,

故正实数/的最大值为;.

故答案为：—

四、解答题

13.（2024上,湖南郴州•高一统考期末）已知函数〃尤）=|蜒2可

-4-

-3-

-2-

-1-

^3-2-\O~12F345X

-2

-3

⑴完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数/（x）=|lOg2X的简图;

（2）根据（1）的结果，若/（石）=/（兀2）（玉W/），试猜想中2的值，并证明你的结论.

【答案】（1）答案见解析

⑵%％=1,证明见解析

【分析】（1）根据列表描点连线即可求解函数图象,

（2）根据对数的运算性质即可求解.

(2)猜想再无2=1，证明如下：

/(%)=>/1(右)，，隧2万|=|1吗引，

.log2占=log24或log?X]=-log2x2,

XX

芯X无2，l°g21=-1°§22，

xx

即log2玉+log2X2=0,log2玉%2=0，i2=1.

14.（2023上•江西新余•高一校考期中）已知了（无）是定义在R上的偶函数，当x20时，/（x）

是二次函数，其图象与x轴交于4X0）,以5,0）两点，与y轴交于C（0,5）.

⑴求的解析式;

⑵若方程/（x）-3a+l=0有四个不同的实数根，求。的取值范围.

尤2-6x+5,x>0

【答案】（l）〃x）=

x2+6无+5,尤<0

⑵（」，2）

【分析】（1）当X20时，由二次函数的图象与坐标轴的交点，求出解析式，由“龙）是偶

函数，求出x<0时解析式，可得了（力的解析式；

（2）问题等价于函数y=/（x）与y=3“-i在同一坐标系中的图象有四个不同的交点，作出

函数图象，列不等式求。的取值范围.

【详解】（1）当x20时，“X）是二次函数，其图象与x轴交于A（l,0）,8（5,0）两点，

由题意可设〃x）=MxT）（x—5）,由"0）=5,得5左=5,即左=1,

所以=-6x+5(x>0).

又了（尤）是偶函数,

当x<0时，-x>0,贝！]/(%)=/(—%)=d+6x+5,

x2-6x+5,x>0

所以〃x)=

x2+6x+5,尤<0

（2）依题意〃x）=3a-1有四个不同的实数根，

即y=f（x）与丫=3“-1在同一坐标系中的图象有四个不同的交点.

作出函数/（x）的图象，如图所示，函数/'（力向二7,

由图可知只需满足条件T<3a-1<5，

解得一

即实数a的取值范围是(-1,2).

B能力提升

I.(2024上•安徽淮南•高一深圳市高级中学校联考期末)若函数y=f与函数

〃同=土生型的图象有两个不同的交点A(%"(%)),B(^,/(X2),则吐口送的取

x—1t

值范围是()

、

V2V2

A.B.,0u0,

一4

7'777\J

C.卜20,20)D.(-2A/2,0)U(0,272)

【答案】B

【分析】由题意方程:匕匚出有两个不同的解利用韦达定理得(玉-1)(%-1)=2,

x-1

则心产转化为求一的范围即可.

7

=x-1+上，作出函数图象如图:

x-1

因为函数y=f与函数〃x)=/二+3的图像有两个不同的交点，所以f>20或r<-2&,

且方程”厂-2X+3即(*_1)2_《万一1)+2=0有两个不同的解/期.

x-1

故（％_1）（/_1）=2,所以占+>/一为々=1一（占-；）（々-1）=一;，

因为12血或f<-2及，所以0」〈变或一交<1<0,

t44t

所以土+\_络__3_:0u。，，]

故选：B

2.（2024上•云南昭通•高一昭通市第一中学校联考期末）已知函数/⑺一："'：<°八，

[x-4x+l,x>0

若函数g（尤）=/（x）-加有四个不同的零点才1，巧，%，匕，且&<%,则下列结

论中正确的是（）

A.-1-<%2-B.—1777<0

e

1C

C.^x2=—D.x3+x4=2

【答案】A

【分析】由题意可得函数y=〃x）与yn〃有四个不同的交点，作出函数丫=/（力与y=机的

图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.

【详解】因为函数g（x）=〃x）-%有四个不同的零点，

所以〃力=机有四个不同的解，即函数y=〃尤）与'=加有四个不同的交点，

作出函数y=〃尤）与y=〃?的图象如图所示：

又尤=0时，/（0）=1,由图象可得0<机41,故B不正确，

由|山（一到=1,得x或尤=-e,所以由图象可得-!</<」，故A正确；

ee

由图象可得与<T,所以111（-玉）|="11（一工2）|,即ln（F）=—ln（—w）,

即111（M％）=0,所以%Xz=l,故C错误；

又W，匕关于x=2对称，故毛+匕=4,故D错误，

关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将

问题转化为函数y=/(x)与，=机有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判

断，考查数形结合的思想，属于较难题.

4国—1x<1

3.(2024上•山东德州•高一统考期末)已知函数〃》)=2'一，函数>=人与

X2-6X+S,X>1

y=/(尤)有四个交点，横坐标依次为巧，了2，%，%4且再<彳3<%,满足

/⑷K)=/(%)"(5),则坨(-匕)-坨々+4%+2-"的取值范围是()

A.(0,20)B.(2,20)C.(3,20)D.(6,20)

【答案】D

【分析】画出函数图象，数形结合得到-占=%，%+%=6,七式1,2),变形后得到

3(-玉)-馆％+4$+26-$=128+；)求出值域.

4凶_1X<1

【详解】画出〃x)=,的图象如下：

X2-6X+8,X>1

由题意得一%=々，退+演=6,

令6x+8=O得，*=2或4,故工«1,2),

其中lg(f)=炮心)，

故lg(—&)_lg々+4*+26f=4餐+2为=12%+g)一%

2-e(2,4),所以lg(f)-叱+4*+26』e《-；,,£|=(6,20).

故选：D

【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交

点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数

图象，包括指数函数，对数函数，幕函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包

括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

u+孙J

(1)若函数〃x)eO,证明是奇函数；并当/[三器)=2,求〃㈤，

/(〃)的值；

(2)设函数g(x)=lg,-鼻](0为常数)是奇函数，判断g(x)是否属于O,并说明理由；

g(x)XG(-1,1)

(3)在(2)的条件下，若以无)=；|।1〃/一、(左NO),讨论函数〉=川/2(%)]-2的零点

K|X|+1%—(—1,1)

个数.

31

【答案】(1)见解析，f(n).

(2)g(x)eQ,证明见解析

(3)k<0或避二1〈人《1时，3个零点；左=0或左>1