数学分析第二十一章重积分第一次课

第21章重积分§1二重积分的概念一、平面图形的面积xoy内面积外面积思考题:二、二重积分的定义及其存在性解法:

类似定积分解决问题的思想1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的有界闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.1)“分割〞用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个小曲顶柱体2)“近似代替〞在每个3)“求和〞那么中任取一点4)“取极限〞其中积分和定义2I是一个确定的数，在D上可积,在D上的二重积分.记作积分和积分域被积函数积分表达式面积元素是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数,

定义三、二重积分的性质(k

为常数)那么4.假设在D上5.特别,由于6.设D的面积为

,那么有7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上

为D的面积,那么至少存在一点使连续,简单直接应用

作业：P217,1,3,5.§2直角坐标系下二重积分的计算那么称D为X–型区域。假设D为Y–型区域那么说明:(1)假设积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.那么有(2)假设积分域较复杂,可将它分成假设干X-型域或Y-型域,那么例2.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,那么解法2.将D看作Y–型区域,那么练习2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线那么补充：交换积分顺序.解积分区域如图解原式作业：P222,1(1)(3),2(1)(3),3(1)(3),4.§3格林公式、曲线积分与路线的无关性区域D分类单连通区域多连通区域域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线L围成,那么有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式证明:1)假设D既是X-型区域,又是Y-型区域,且那么即同理可证①②①、②两式相加得:2)假设D不满足以上条件,那么可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕格林公式例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:

令那么利用格林公式,得例2.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,那么格林公式推论:正向闭曲线L所围区域D的面积例如,椭圆所围面积练习2.

计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:

令,那么利用格林公式,有例3.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和

lˉ

所围的区域为林公式,得作业：P231,1(1)(2),2(1),8.二、曲线积分与路线无关的等价条件定理21.12

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数那么以下几个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即思考？注:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,那么(根据条件(1))证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分那么同理可证和任一点B(x,y),与路径无关,故有函数证明

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得那么P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),所以利用格林公式,得所围区域为证毕说明:根据定理2,假设在某区域内那么2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或那么原函数为假设积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;例4.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

设那么由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。例5.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令那么由定理2

可知存在原函数或作业：P231,5(2)(3),6(1).§4二重积分的变换公式一、二重积分的变量变换公式练习1.

计算其中D是x

轴y

轴和直线所围成的闭域.解:令那么例2.计算由所围成的闭区域D

的面积S.解:D的面积令练习2.求由所围成的闭区域D

的面积S.解:令那么解:令那么作业：P242,3(2),4,6(1).二、用极坐标计算二重积分1、直角坐标转化为极坐标.2、化累次积分那么设设那么例4.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故此题无法用直角由于故坐标计算.解例5.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知练习3.

求其中D

为由圆所围成的及直线平面闭区域.解：例6.

试计算椭球体解:由对称性令那么D的原象为的体积V.作业：P242,1(2),2(1)(3),5(2).“第21章重积分〞的习题课〔1〕一、内容要求1、了解二重积分的概念和性质2、掌握利用直角坐标系、极坐标系计算二重积分的方法，会利用坐标变换计算二重积分3、掌握格林公式及应用，会曲线积分与路线无关的条件及应用4、了解三重积分的概念和性质5、掌握利用直角坐标系、柱面坐标系和球坐标系计算三重积分的方法，会利用坐标变换计算三重积分6、会重积分在几何、物理上的简单应用1.求以下二重积分二、练习解:

证明:2.提示:

左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.3.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知4.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得5.计算二重积分在第一象限局部.解:(1)两局部,那么其中D为圆域把与D分成作辅助线(2)提示:两局部说明:假设不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成6.

计算其中L

是沿逆时针方向以原点为中心