工程数学 - 第二章 极限与连续

工程数学主

编

马玉

高琰

卢静极限与连续第二章目录数列的极限01函数的极限02极限运算与两个重要极限03无穷大与无穷小04CONTENTS行业PPT模板/hangye/函数的连续性05函数的连续性06用MATLAB求极限07第一节数列的极限01一、数列极限的定义01

定义2.1.1如果按照某一法则,对每个n∈N+,都对应着一个确定的实数an,那么这些实数an按照下标n从小到大排列得到的一个序列a1,a2,a3,a4,…,an,…称为数列,记作数列{an}.数列中的每一个数称为数列的项,第n项an称为数列的通项(或一般项),表示通项的公式称为通项公式.例如,数列1,3,5,…,2n-1,…的一个通项公式是2n-1.

定义2.1.2如果当无穷数列{an}的项数n无限增大时,an无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为数列{an}的极限,或称数列{an}收敛于A.记作

01二、数列极限的运算法则

下面介绍数列极限的运算法则,利用这些法则可以求某些复杂的数列的极限.第二节函数的极限02一、自变量趋于有限值时函数的极限02

现在考虑自变量x的变化过程为x→x0.如果在x→x0的变化过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A,那么就说A是f(x)当x→x0时的极限.下面给出自变量趋于有限值时函数的极限的定义.

定义2.2.1设函数y=f(x)在x0的某空心邻域内有定义,如果当x无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数A,那么A就称为函数f(x)当x→x0时的极限,记作注意:在自变量趋于有限值时函数的极限的定义中,y=f(x)不需要在x0处有定义,x只需无限趋近于x0即可,不一定要达到.02

定义2.2.2如果当

时,函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为函数f(x)在x→x0时的左极限(右极限),记作注意:在考虑单侧极限时,应注意x→x0的趋近方向.当02二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义2.2.3如果当x→∞时,对应的函数值f(x)无限趋近于常数A,那么A就称为函数f(x)当x→∞时的极限,记作注意:x→∞表示x→+∞、x→-∞两种情况.但有的时候x的变化趋势只能取这两种变化中的一种情况.下面给出当x→+∞或x→-∞时函数f(x)极限的定义.定义2.2.4如果当x→+∞(x→-∞)时,函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为函数f(x)当x→+∞(x→-∞)时的极限,记作注意到x→∞意味着同时考虑x→+∞和x→-∞,可以得到下面的结论:第三节极限运算与两个重要极限0303一、极限的四则运算法则

上一节讨论了函数极限的定义,下面我们介绍极限的运算法则,利用这些法则可以求一些复杂函数的极限.03二、两个重要极限03第四节无穷大与无穷小0404一、无穷小04二、无穷大如果当x→x0(x→∞)时,对应的函数值的绝对值f(x)可以大于预先指定的任何很大的正数M,那么就称函数f(x)是当x→x0(x→∞)时的无穷大.0404三、无穷小与无穷大的关系04四、无穷小的比较

通过无穷小的性质可以知道,两个无穷小的和、差、积还是无穷小.但是,关于两个无穷小的商,却会出现不同的情况.例如,当x→0时,sinx,3x,x2都是无穷小,而第五节函数的连续性0505一、函数的连续性的定义0505二、间断点第六节连续函数的性质0606一、连续函数的和、差、积、商的连续性06二、复合函数的连续性06三、初等函数的连续性性质2.6.3一切初等函数在其定义区间内都是连续的.06四、闭区间上连续函数的性质

性质2.6.4(有界性与最大值最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么函数f(x)在[a,b]上一定有最大值与最小值.如图2-4所示,函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在x1和x2,使得当x∈[a,b]时,f(x1)≥f(x),f(x2)≤f(x)恒成立,则f(x1)和f(x2)分别称为函数y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.x1、x2称为最大值点和最小值点.06

性质2.6.5(介值定理)如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在两端点取不同的函数值f(a)=A和f(b)=B,C是A和B之间的任一实数,那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=C.如图2-6所示.

推论(零点定理)设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0.如图