2024-2025学年高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质学案含解析新人教版必修3

PAGE3．1.3概率的基本性质内容标准学科素养1.了解事务间的包含关系和相等关系.2.理解互斥事务和对立事务的概念及关系.3.了解两个互斥事务的概率加法公式.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第53页[基础相识]学问点一事务的关系与运算预习教材P119－120，思索并完成以下问题一袋中有2个红球，2个白球，从中摸出两个球，记“摸出的两球是红球”为事务A，“摸出的两球是白球”为事务B，“摸出的两球是一红一白”为事务C，“摸出的两球至少一个红球”为事务D，“摸出的两球至少有一个白球”为事务E.(1)若事务A发生，事务D发生吗？它们是什么关系？提示：事务A发生，则事务D肯定发生，它们是包含关系．(2)若事务C发生，则事务D会发生吗？事务A，C，D之间有何关系？提示：事务C发生，则事务D肯定会发生；事务D包含事务A和事务C两个事务．(3)若事务C发生，那么事务E会发生吗？事务C，D，E又有何关系？提示：若事务C发生，那么事务E肯定会发生；事务D、事务E均包含事务C.(4)事务A与事务B能同时发生吗？事务A与事务E能同时发生吗？事务A与事务E的并事务是什么事务？交事务又是什么事务？提示：事务A与事务B不能同时发生；事务A与事务E也不能同时发生；A∪E是必定事务；A∩E是不行能事务．学问梳理1.事务的关系：定义表示法图示包含关系一般地，对于事务A与事务B，假如事务A发生，则事务B肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系A⊆B且B⊆AA＝B事务互斥若A∩B为不行能事务，则称事务A与事务B互斥A∩B＝∅事务对立若A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅且A∪B＝U2.事务的运算：定义表示法图示并事务若某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)交事务若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)学问点二概率的基本性质学问梳理1.概率的取值范围：[0，1]．2．必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0．3．概率加法公式为：假如事务A与B为互斥事务，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．4．若A与B为对立事务，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0．思索若P(A)＋P(B)＝1，则事务A与事务B是否肯定对立？试举例说明．提示：事务A与事务B不肯定对立．例如：抛掷一枚匀称的骰子，记事务A为出现偶数点，事务B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.当出现2点时，事务A与事务B同时发生，所以事务A与事务B不互斥，明显也不对立．[自我检测]1．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事务M，向上面至少有一枚是正面为事务N，则有()A．M⊆NB．M⊇NC．M＝N D．M＜N解析：事务N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事务N肯定发生，则有M⊆N.故选A.答案：A2．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为__________．解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事务，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.答案：0.65授课提示：对应学生用书第54页探究一事务关系的推断[例1]从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”推断上面给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．[解析](1)是互斥事务，不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事务．(2)既是互斥事务，又是对立事务．理由是：从40张扑克牌中，随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事务不行能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事务，又是对立事务．(3)不是互斥事务，当然不行能是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事务可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事务，当然不行能是对立事务．方法技巧1.要推断两个事务是不是互斥事务，只须要分别找出各个事务包含的全部结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事务的并事务是否为必定事务，从而可推断是否为对立事务．2．考虑事务的结果间是否有交事务．可考虑利用Venn图分析，对于较难推断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪探究1.从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，视察红球个数和白球个数，推断下列每对事务是不是互斥事务，假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)至少有1个白球，都是白球；(2)至少有1个白球，至少有一个红球；(3)至少有一个白球，都是红球．解析：(1)不是互斥事务，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事务．(2)不是互斥事务．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事务可以同时发生，故不是互斥事务．(3)是互斥事务也是对立事务．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不行能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事务也是对立事务．探究二事务的关系及运算[例2]盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事务B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事务C＝{3个球中至少有1个红球}，事务D＝{3个球中既有红球又有白球}．问：(1)事务D与A，B是什么样的运算关系？(2)事务C与A的交事务是什么事务？[解析](1)对于事务D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事务C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.方法技巧进行事务运算应留意的问题(1)进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简洁的题目中，须要推断事务之间的关系时，可以依据常识来推断．但假如遇到比较困难的题目，就得严格依据事务之间关系的定义来推理．跟踪探究2.掷一枚骰子，下列事务：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)A∩B，B∩C；(2)A∪B，B＋C；(3)记eq\o(H,\s\up6(－))是事务H的对立事务，求eq\o(D,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))∩C，eq\o(B,\s\up6(－))∪C，eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－)).解析：(1)A∩B＝∅，B∩C＝{出现2点}．(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}．(3)eq\o(D,\s\up6(－))＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；eq\o(A,\s\up6(－))∩C＝BC＝{出现2点}；eq\o(B,\s\up6(－))∪C＝A∪C＝{出现1，2，3或5点}；eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－))＝{出现1，2，4或5点}．探究三互斥事务与对立事务的概率公式及应用[阅读教材P121例]假如从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事务A)的概率是eq\f(1,4)，取到方块(事务B)的概率是eq\f(1,4)，问：(1)取到红色牌(事务C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事务D)的概率是多少？方法步骤：第一步，推断事务间的关系；其次步，若是互斥事务，运用加法公式；第三步，若是对立事务，利用间接法求解．[例3]在数学考试中，小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成果的概率；(2)小明数学考试及格的概率．[解析]分别记小明的成果“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事务B，C，D，E，这四个事务彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.方法技巧1.互斥事务的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较困难的事务，一般将其分解成几个简洁的事务，当这些事务彼此互斥时，原事务的概率就是这些简洁事务的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，经常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．延长探究本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成果的概率．解析：分别记小明的成果“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事务A、B、C、D、E，则这五个事务彼此互斥．∴小明成果在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.授课提示：对应学生用书第55页[课后小结]1．要留意互斥事务与对立事务的区分与联系：互斥事务是指事务A与事务B在一次试验中不会同时发生，其详细包括三种不同的情形：(1)事务A发生且事务B不发生；(2)事务A不发生且事务B发生；(3)事务A与事务B同时不发生．而对立事务是指事务A与事务B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事务A发生且事务B不发生；②事务B发生且事务A不发生，对立事务是互斥事务的特别情形．2．关于概率的加法公式：(1)运用条件：A、B互斥．(2)推广：若事务A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些困难的事务的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事务，化整为零，化难为易．[素养培优]不能区分事务是否互斥而出现错误抛掷一枚质地匀称的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq\f(1,6)，记事务A为“出现奇数”，事务B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．错解设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事务C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事务，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3.P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq\f(1,6).则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.易错分析错解的缘由在于忽视了“事务和”概率公式应用的前提