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PAGE“杨辉三角”与二项式系数的性质[A组学业达标]1.在(a+b)n的二项绽开式中,与第k项二项式系数相同的项是()A.第n-k项 B.第n-k-1项C.第n-k+1项 D.第n-k+2项解析:第k项的二项式系数是Ceq\o\al(k-1,n),由于Ceq\o\al(k-1,n)=Ceq\o\al(n-k+1,n),故第n-k+2项的二项式系数为Ceq\o\al(n-k+1,n).答案:D2.设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)+\f(1,x)))n的绽开式中第5项是常数项,那么这个绽开式中系数最大的项是()A.第9项 B.第8项C.第9项和第10项 D.第8项和第9项解析:因为绽开式的第5项为T5=Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n-4,3)-4,所以令eq\f(n-4,3)-4=0,解得n=16,所以绽开式中系数最大的项是第9项.答案:A3.(x-y)7的绽开式中,系数的肯定值最大的项是()A.第4项 B.第4、5项C.第5项 D.第3、4项解析:(x-y)n的绽开式有n+1项,当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.而(x-y)7的绽开式中,系数的肯定值最大的项是中间两项,即第4、5项.答案:B4.(1+x)2n+1的绽开式中,二项式系数最大的项所在的项数是()A.n,n+1 B.n-1,nC.n+1,n+2 D.n+2,n+3解析:2n+1为奇数,绽开式中中间两项的二项式系数最大,分别为第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n+1-1,2)+1))项,第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n+1+1,2)+1))项,即第(n+1)项与第(n+2)项.故选C.答案:C5.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为()A.-2 B.-1C.1 D.2解析:令x=-1,则原式化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11,∴a0+a1+a2+…+a11=-2.答案:A6.若(x+3y)n的绽开式中各项系数的和等于(7a+b)10的绽开式中二项式系数的和,则n解析:(7a+b)10的绽开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,10)+Ceq\o\al(1,10)+…+Ceq\o\al(10,10)=210,令(x+3y)n中x=y=1,则由题设知,4n=210,即22n=210,解得n=5.答案:57.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的绽开式中,x2的系数为________.解析:(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的绽开式中x2的系数为Ceq\o\al(2,2)+Ceq\o\al(2,3)+Ceq\o\al(2,4)+Ceq\o\al(2,5)+Ceq\o\al(2,6)=35.答案:358.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则eq\f(a1+a3+a5,a0+a2+a4+a6)=________.解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2+…+a6=64,两式相减,得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=65,故eq\f(a1+a3+a5,a0+a2+a4+a6)=-eq\f(63,65).答案:-eq\f(63,65)9.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,求log2(a1+a3+…+a11)的值.解析:令x=-1,∴28=a0+a1+a2+…+a11+a12.令x=-3,∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12,∴28=2(a1+a3+…+a11),∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.10.杨辉三角是杨辉的一项重要探讨成果,它的很多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中隐藏了很多美丽的规律,如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的全部数的和;(3)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.明显,1+3+6+10+15=35.事实上,一般地有这样的结论:第m-1斜列中(从右上到左下)前k个数之和,肯定等于第m斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并赐予证明.解析:(1)Ceq\o\al(3,20)=1140.(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.(3)Ceq\o\al(m-1,m-1)+Ceq\o\al(m-1,m)+…+Ceq\o\al(m-1,m+k-2)=Ceq\o\al(m,m+k-1).证明:左边=Ceq\o\al(m,m)+Ceq\o\al(m-1,m)+…+Ceq\o\al(m-1,m+k-2)=Ceq\o\al(m,m+1)+Ceq\o\al(m-1,m+1)+…+Ceq\o\al(m-1,m+k-2)=…=Ceq\o\al(m,m+k-2)+Ceq\o\al(m-1,m+k-2)=Ceq\o\al(m,m+k-1)=右边.[B组实力提升]11.设m为正整数,(x+y)2m绽开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1绽开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7bA.5 B.6C.7 D.8解析:由二项式系数的性质知,二项式(x+y)2m的绽开式中二项式系数的最大值有一项,即Ceq\o\al(m,2m)=a,二项式(x+y)2m+1的绽开式中二项式系数的最大值有两项,即Ceq\o\al(m,2m+1)=Ceq\o\al(m+1,2m+1)=b,因此13Ceq\o\al(m,2m)=7Ceq\o\al(m,2m+1),所以13·eq\f(2m!,m!m!)=7·eq\f(2m+1!,m!m+1!),所以m=6.答案:B12.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))n绽开式的二项式系数之和为64,则绽开式的常数项为________.解析:∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))n绽开式的二项式系数之和为2n,∴2n=64,∴n=6.∴Tr+1=Ceq\o\al(r,6)x6-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r=Ceq\o\al(r,6)x6-2r.由6-2r=0得r=3,∴其常数项为T3+1=Ceq\o\al(3,6)=20.答案:2013.已知(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a0+a2+a4+a6=________.解析:在所给的等式中,令x=1可得a0+a1+a2+…+a7=27,①再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+…-a7=(-4)7,②把①②相加可得2(a0+a2+a4+a6)=27+(-4)7,所以a0+a2+a4+a6=-8128.答案:-812814.已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(1,\r(3,x))))n的绽开式中偶数项的二项式系数和比(a+b)2n的绽开式中奇数项的二项式系数和小120,求第一个绽开式中的第3项.解析:因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(1,\r(3,x))))n的绽开式中的偶数项的二项式系数和为2n-1,而(a+b)2n的绽开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1,所以有2n-1=22n-1-120,解得n=4,故第一个绽开式中第3项为T3=Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2=6eq\r(3,x).15.在(2x-3y)9的绽开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)全部奇数项系数之和;(4)各项系数肯定值之和.解析:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二项式系数之和为Ceq\o\al(0,9)+Ceq\o\al(1,9)+Ceq\o\al(2,9)+…+Ceq\o\al(9,9)=29.(2)令x=1,y=1,得各项系数之和a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,两式相加得a0+a2+a4+a6+a8=eq
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