2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质跟踪训练含解析新人教A版选修2-3

PAGE“杨辉三角”与二项式系数的性质[A组学业达标]1．在(a＋b)n的二项绽开式中，与第k项二项式系数相同的项是()A．第n－k项 B．第n－k－1项C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项解析：第k项的二项式系数是Ceq\o\al(k－1,n)，由于Ceq\o\al(k－1,n)＝Ceq\o\al(n－k＋1,n)，故第n－k＋2项的二项式系数为Ceq\o\al(n－k＋1,n).答案：D2．设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的绽开式中第5项是常数项，那么这个绽开式中系数最大的项是()A．第9项 B．第8项C．第9项和第10项 D．第8项和第9项解析：因为绽开式的第5项为T5＝Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n－4,3)－4，所以令eq\f(n－4,3)－4＝0，解得n＝16，所以绽开式中系数最大的项是第9项．答案：A3．(x－y)7的绽开式中，系数的肯定值最大的项是()A．第4项 B．第4、5项C．第5项 D．第3、4项解析：(x－y)n的绽开式有n＋1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的绽开式中，系数的肯定值最大的项是中间两项，即第4、5项．答案：B4．(1＋x)2n＋1的绽开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：2n＋1为奇数，绽开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1－1,2)＋1))项，第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1＋1,2)＋1))项，即第(n＋1)项与第(n＋2)项．故选C.答案：C5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.答案：A6．若(x＋3y)n的绽开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的绽开式中二项式系数的和，则n解析：(7a＋b)10的绽开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：57．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的绽开式中，x2的系数为________．解析：(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的绽开式中x2的系数为Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝35.答案：358．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝________.解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2＋…＋a6＝64，两式相减，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝－eq\f(63,65).答案：－eq\f(63,65)9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，求log2(a1＋a3＋…＋a11)的值．解析：令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.10．杨辉三角是杨辉的一项重要探讨成果，它的很多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中隐藏了很多美丽的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的全部数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.明显，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，肯定等于第m斜列中第k个数．试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并赐予证明．解析：(1)Ceq\o\al(3,20)＝1140.(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.(3)Ceq\o\al(m－1,m－1)＋Ceq\o\al(m－1,m)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq\o\al(m,m＋k－1).证明：左边＝Ceq\o\al(m,m)＋Ceq\o\al(m－1,m)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m－1,m＋1)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝…＝Ceq\o\al(m,m＋k－2)＋Ceq\o\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq\o\al(m,m＋k－1)＝右边．[B组实力提升]11．设m为正整数，(x＋y)2m绽开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1绽开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7bA．5 B．6C．7 D．8解析：由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的绽开式中二项式系数的最大值有一项，即Ceq\o\al(m,2m)＝a，二项式(x＋y)2m＋1的绽开式中二项式系数的最大值有两项，即Ceq\o\al(m,2m＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)＝b，因此13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以13·eq\f(2m！,m！m！)＝7·eq\f(2m＋1！,m！m＋1！)，所以m＝6.答案：B12．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n绽开式的二项式系数之和为64，则绽开式的常数项为________．解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n绽开式的二项式系数之和为2n，∴2n＝64，∴n＝6.∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)x6－2r.由6－2r＝0得r＝3，∴其常数项为T3＋1＝Ceq\o\al(3,6)＝20.答案：2013．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________.解析：在所给的等式中，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27，①再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7，②把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7，所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8128.答案：－812814．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的绽开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的绽开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个绽开式中的第3项．解析：因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的绽开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的绽开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个绽开式中第3项为T3＝Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).15．在(2x－3y)9的绽开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)全部奇数项系数之和；(4)各项系数肯定值之和．解析：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)令x＝1，y＝1，得各项系数之和a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq