2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价七第一章空间向量与立体几何1.2.2空间中的平面与空间向量含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE七空间中的平面与空间向量(15分钟30分)1．已知平面α的法向量为(2，－4，－2)，平面β的法向量为(－1，2，k)，若α∥β，则k＝()A．－2B．－1C．1D．2【解析】选C.设平面α的法向量a＝(2，－4，－2)，平面β的法向量b＝(－1，2，k).因为α∥β，所以a∥b，所以存在实数λ使得a＝λb.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝－λ,－4＝2λ,－2＝λk))，得k＝1.【补偿训练】已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝()A．－4B．－2C．2D．4【解析】选A.因为α⊥β，所以a⊥b.所以a·b＝x－2＋6＝0，解得x＝－4.2．已知平面α的法向量为n＝(1，－1，1)，直线AB与平面α相交但不垂直，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标可以是()A．(－2，2，－2) B．(1，3，2)C．(2，1，－1) D．(1，2，3)【解析】选D.因为(－2，2，－2)＝2(1，－1，1)，即选项A中的向量与n平行，从而线面垂直，因为|x|＋3x(－1)＋2×1＝0，2×1＋1×(－1)＋(－1)×1＝0，所以选项B、C中的向量与n垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D中的向量与n不平行，也不垂直，所以eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标可以是(1，2，3).3．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心【解析】选C.连接AG，BG，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．4．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与哪个坐标平面平行________．【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，5，－3)，因为yOz面方程为x＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))∥yOz面．答案：yOz平面5．已知PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，平面ABCD为正方形．试建立适当的平面直角坐标系，分别求下列平面的法向量：(1)平面ABCD；(2)平面PAB；(3)平面PBC；(4)平面PCD.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．则(1)平面ABCD的法向量为(0，0，1)；(2)平面PAB的法向量为(0，1，0)；(3)由B(3，0，0)，C(3，3，0)，P(0，0，3)，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3，0，－3)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(3，3，－3)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝0,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－3z＝0，,3x＋3y－3z＝0，))取n＝(1，0，1)，即平面PBC的法向量为(1，0，1)；(4)由(3)同理可得：平面PCD的法向量为(0，1，1).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．已知两不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1，1)，则()A．平面α∥平面ABCB．平面α⊥平面ABCC．平面α、平面ABC相交但不垂直D．以上均有可能【解析】选A.由题意，计算n1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2×1＋(－3)×0＋1×(－2)＝0，得n1⊥eq\o(AB,\s\up6(→))；计算n1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋(－3)×1＋1×1＝0，得n1⊥eq\o(AC,\s\up6(→))；所以n1⊥平面ABC，所以平面α的法向量与平面ABC的法向量共线，则平面α∥平面ABC.2．设A是空间肯定点，n为空间内任一非零向量，满意条件eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0的点M构成的图形是()A．圆 B．直线C．平面 D．线段【解析】选C.M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．3．已知直线l的方向向量为s＝(1，2，x)，平面α的法向量n＝(－2，y，2)，若l∥α，则xy的最大值为()A．1B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,8)【解析】选B.由题意可得s⊥n，所以s·n＝－2＋2y＋2x＝0，可得x＋y＝1.当x，y同负，一正一负或一个为0，一个为1时，均不满意题意，令x，y＞0，则1≥2eq\r(xy)，可得xy≤eq\f(1,4)，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时取等号．4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))【解析】选D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，1).设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z).则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0.))令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n＝(1，1，1)，单位法向量为(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))或(－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列选项中，正确的是()A．n1∥n2⇔α∥β B．n1⊥n2⇔α⊥βC．v∥n1⇔l∥α D．v⊥n1⇔l∥α【解析】选AB.v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则n1∥n2⇔α∥β，n1⊥n2⇔α⊥β，v∥n1⇔l⊥α，v⊥n1⇔l∥α或l⊂α.因此AB正确．6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1).下列结论正确的有()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量D．eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))【解析】选ABC.对于A，eq\o(AB,\s\up6(→))•eq\o(AP,\s\up6(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即AP⊥AB，A正确；对于B，eq\o(AP,\s\up6(→))•eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，即AP⊥AD，B正确；对于C，由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，得出eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，得出eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，则D错误．三、填空题(每小题5分，共10分)7．已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是__________．【解析】依据题意，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，0，1)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x，－1，y)，因为PA⊥平面ABC，所以eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))且eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝－x＋1－y＝0,\o(PA,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝2x＋0＋y＝0))，解之得x＝－1，y＝2，可得P的坐标是(－1，0，2).答案：(－1，0，2)8．在空间四边形P­ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若A在PB，PC上的射影分别为E，F.则EF与PB的位置关系是________．【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又因为AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF.又因为F是点A在PC上的射影，所以AF⊥PC，又BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.所以AE在平面PBC内的射影为EF.又因为E为A在PB上的射影，所以AE⊥PB.由三垂线定理的逆定理知EF⊥PB.答案：EF⊥PB四、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．(1)证明：A1B∥平面ADC1；(2)证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C.【证明】(1)因为在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，所以以A1为原点，C1A1为x轴，A1B1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝2，则A1(0，0，0)，B(0，2，2)，A(0，0，2)，C(－2，0，2)，D(－1，1，2)，C1(－2，0，0)，＝(0，2，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，＝(－2，0，－2)，设平面ADC1的法向量n＝(x，y，z)，则，取x＝1得n＝(1，1，－1)，因为n·＝0＋2－2＝0，且A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(2)因为eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，＝(－1，－1，－2)，设平面BB1C1C的法向量m＝(a，b，c)，则取a＝1，得m＝(1，－1，0)，又平面ADC1的法向量n＝(1，1，－1)，n·m＝1－1＋0＝0，所以平面ADC1⊥平面BB1C1C.10．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO＝2，PO＝eq\r(2)，PB⊥PD.设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD.【解析】因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥BD，又PB⊥PD，BO＝2，PO＝eq\r(2)，由平面几何学问得：OD＝OC＝1，BO＝AO＝2，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，eq\r(2))，设M(x0，0，z0)，由于P，M，C三点共线，得eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(PC,\s\up6(→))，又eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x0，0，z0－eq\r(2))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－1，0，－eq\r(2))，由对应系数成比例有z0＝eq\r(2)x0＋eq\r(2)，则M(x0，0，eq\r(2)x0＋eq\r(2))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x0，－2，eq\r(2)x0＋eq\r(2))，连接BM，DM，因为PC⊥平面BMD，所以eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→))，所以(－1，0，－eq\r(2))·(x0，－2，eq\r(2)x0＋eq\r(2))＝0，得x0＝－eq\f(2,3)，所以z0＝eq\f(\r(2),3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0，\f(\r(2),3)))，故eq\f(PM,MC)＝2，则M点是靠近C点的三等分点．1．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，＝(－1，2，0)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f(1,2))).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则eq\o(DQ,\s\up6(→))＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－λ，－1＋2λ，－\f(1,2)))，因为eq\o(DQ,\s\up6(→))也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2，1，－2)与eq\o(DQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－λ，－1＋2λ，－\f(1,2)))共线，于是有eq\f(1－λ,2)＝eq\f(－1＋2λ,1)＝eq\f(－\f(1,2),－2)＝eq\f(1,4)成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4.(1)若在边BC上存在点Q，且使得