22.3 正多边形的有关计算 同步练习

第二十二章圆(下)二正多边形和圆22.3正多边形的有关计算基础过关全练知识点1正多边形的相关概念及其画法1.下列有关正多边形的一些结论：①正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；②正n边形的中心角为360°n，且与每一个外角相等；③圆内接菱形是正方形；④正n边形有n条对称轴.其中正确的个数为(A.1 B.2 C.3 D.42.用尺规画正十二边形时，先将半径为R的圆等分，从而作出正六边形，再将各边所对的弧，最后，依次连接各分点，即可得到正十二边形.

3.画一个外接圆半径为2cm的正五边形，再作出这个五边形的各条对角线，画出一个五角星.知识点2正多边形的有关计算4.(2023北京海淀十一学校月考)已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为()A.1 B.2 C.3 D.55.(2023北京丰台二中期中)斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载：“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉.”意思是“斛的底面为正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆.”问题：如图所示，现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为尺.

6.(2022北京海淀清华附中月考)如图，☉O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为.

7.(2021江苏句容期中)如图，☉O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是☉O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心，1为半径画弧，交☉O于点E、F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为.

能力提升全练8.(2022四川绵阳中考)在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图，将“雪花”图案(边长为4的正六边形ABCDEF)放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为(2，-3)，则顶点C的坐标为()A.(2-23，3) B.(0，1+23) C.(2-3，3) D.(2-23，2+3)9.(2021河北中考)如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO=8，S△CDO=2，则S正六边形ABCDEF的值是()A.20 B.30 C.40 D.随点O位置而变化10.(2022江苏宿迁中考)如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是.

11.(2023北京海淀期末)如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、正三角形的一边.若AB=2，下面四个结论：①该圆的半径为2；②AC的长为π2；③AC平分∠BAD；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为1∶3，其中所有正确结论的序号是.素养探究全练12.(2022浙江金华中考)如图1，正五边形ABCDE内接于☉O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法：如图2.1.作直径AF.2.以F为圆心，FO的长为半径作圆弧，与☉O交于点M，N.3.连接AM，MN，NA.(1)求∠ABC的度数；(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由；(3)从点A开始，以DN长为半径，在☉O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值.

第二十二章圆(下)二正多边形和圆22.3正多边形的有关计算答案全解全析基础过关全练1.C边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；∵正n边形的中心角为360°n，每一个外角为360°n，∴正n边形的中心角与每一个外角相等，故②正确；圆内接菱形是正方形，故③正确；正n边形有n条对称轴，故④正确.故选2.答案六；平分3.解析画法：(1)以O为圆心，OA=2cm为半径画圆；(2)以O点为顶点，OA为一边作∠AOB=72°，再依次作∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°，分别与圆交于点B、C、D、E；(3)连接AB、BC、CD、DE、EA，则五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图①；(4)连接AC、AD、BD、BE、CE，得五角星，如图②.图①图②4.C如图，连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM=30°，OA=2，∴AM=1，根据勾股定理可得OM=OA2−AM2=22−125.答案2解析如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE为小☉O的直径，∠ECD=45°，由题意得AB=2.5尺，BE=AC=0.25尺，∴CE=2.5-0.25×2=2尺，∴CD=22CE=2尺6.答案72°解析如图，连接OA，OC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOC=360°5×2=144°，∴∠APC=12∠AOC=727.答案3解析如图，连接OE，根据题意可知AB⊥CD，AE=AO=EO=1，∴∠AOC=90°，∠AOE=60°，∴∠EOC=30°，∴n=360°30°=12作EG⊥OC于点G，∴EG=12OE=1∴该正十二边形的面积为12S△COE=12×12OC·EG=12×12×1×1能力提升全练8.A如图，连接BD，CF交于点M，易知点B(2，1)，BD⊥CF.在Rt△BCM中，BC=4，∠BCM=12×120°=60°，∴CM=12BC=2，BM=32BC=23，∴点C的横坐标为-(23-2)=2-23，纵坐标为1+2=3，∴点C的坐标为(2-23，3)，9.B如图，设正六边形ABCDEF的中心为G，连接GC，GD，GE，GF，AC.易得△EFG，△DEG和△CDG都是等边三角形，且全等，点C，G，F在同一条直线上，则S△CDG=S△DFG=16S正六边形ABCDEF.易得四边形ACDF是矩形，∵S△AFO=8，S△CDO=2，∴S矩形ACDF=2×(8+2)=20∴S△CDG=14S矩形ACDF=5，∴S正六边形ABCDEF=6S△CDG=3010.答案47解析如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN的长，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，中心为O，∴AF=AB=6，∠AFO=12∠AFE=12×(6−2)×180°6=60°，MO∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA=OF=AF=6，∵AM=2，∴MF=AF-AM=6-2=4，∵MH⊥OF，∴∠FMH=90°-60°=30°，∴FH=12MF=12×4=2，MH=2∴OH=OF-FH=6-2=4，∴OM=MH2+OH∴NO=OM=27，∴MN=NO+OM=27+27=47.11.答案①③④解析如图，设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB的延长线于M，CN⊥AD于N，∵AB是圆内接正六边形的一边，∴AB所对的圆心角的度数=16×360°=60°∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴该圆的半径为2，故①正确；∵AC是圆内接正方形的一边，∴AC所对的圆心角的度数=14×360°=90°∴BC所对的圆心角的度数=90°-60°=30°，∵AD是圆内接正三边形的一边，∴AD所对的圆心角的度数=13×360°=120°∴CD所对的圆心角的度数=120°-90°=30°，∴BC=CD，∴∠BAC=∠CAD，∴AC平分∠BAD，故③正确；AC的长=90π×2180=π，故②错误易知AB=DB，∴OB⊥AD，∴AD=2AH，∵sin∠AOH=AHAO∴AH=AO·sin60°=32r，∴AD=2AH=3r∵AC平分∠BAD，∴CM=CN，∵S△ABC=12AB·CM=12r·S△ACD=12AD·CN=12·3r·∴S△ABC∶S△ACD=1∶3，故④正确.综上，正确的有①③④.素养探究全练12.解析(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(5−2)×180°5=108°，即∠ABC=108°(2)△AMN是正三角形.理由：连接ON，NF，如