机械制图项目二 点、线、面的投影

主

编

戴珊珊机械制图点、线、面的投影项目二PART02点的投影PART01认识投影PART03直线的投影目录contentsPART04面的投影Part1.认识投影一、投影法概述设平面P为投影面,不从属于投影面的定点S为投射中心,由投射中心射出的光线为投射线,影子为物体在投影面上的投影,投影法的概念图如图2.1所示。若通过空间点A的投射线与投影面相交于点a,则点a称作空间点A在投影面P上的投影图,简称投影。上述这种用投射线通过物体向选定的面投射,并在该投影面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形,称为投影;投影法中得到投影的面,称为投影面。二、投影法的分类投影法分为两大类,即中心投影法和平行投影法。(一)中心投影法要获得投影,必须具备投射线、物体和投影面这3个基本条件。假设,将△ABC平行地放在投影面P和投射中心S之间,自S分别向A、B、C引投射线并延长,使它分别与投影面P交于点a、b、c,则△abc即为△ABC在投影面P上的投影,像这种投影线汇交于一点的投影法,称为中心投影法,如图2.2所示。(二)平行投影法若将图2.2中的投射中心移至无穷远处,则投射线都可视为相互平行,这种投射线相互平行的投影法,称为平行投影法。在平行投影法中,按投射线是否垂直于投影面,又可分为斜投影法和正投影法。(1)斜投影法。投射线与投影面之间存在倾斜角的平行投影法称为斜投影法,如图2.3所示。根据斜投影法所得到的图形,称为斜投影或斜投影图。(2)正投影法。投射线与投影面相互垂直的平行投影法称为正投影法,如图2.4所示。根据正投影法所得到的图形,称为正投影或正投影图。三、正投影的基本性质(一)真实性当平面图形(或直线)与投影面平行时,其投影反映实形(或实长)的性质,称为真实性。平面、直线平行投影时的投影如图2.5所示。(二)积聚性当平面图形(或直线)与投影面垂直时,其投影积聚为一条直线(或一个点)的性质,称为积聚性。平面、直线垂直投影时的投影如图2.6所示。(三)类似性当平面图形(或直线)与投影面倾斜时,其投影变小(或变短),但投影的形状与原来形状类似的性质,称为类似性。平面、直线的倾斜投影如图2.7所示。此外,正投影还有平行性,即空间平行线段的同面投影仍然平行;定比性,即空间平行线段的长度比在同面投影中的长度比保持不变;从属性,即多个几何元素之间的从属关系在投影中不会发生变化。例如,直线上点的投影必在直线的同面投影上,平面上的点和直线的投影必在平面的同面投影上。Part2.点的投影一、点的投影及其标记点的三面投影的形成如图2.8所示。当投影面和投影方向确定时,空间中的一个点在一个投影面上只有唯一的一个投影。假设有一点A,过点A分别向H面、V面和W面作垂线,得到三个垂足a、a′、a″,即为点A在三个投影面上的投影。当实际画投影图时,不必画出投影面的边框,也可省略标注点ax、ayH、ayW和az,但须用细实线画出点的三面投影之间的连线,称为投影连线,点的三面投影画法如图2.9所示。二、点在三投影面体系中的投影(一)点的投影与点的空间位置的关系从图2.8(a)、图2.8(b)中可以看出,Aa、Aa′、Aa″分别为空间点A到H面、V面、W面的距离,如下所示。①Aa=a′ax=a″ay(即a″ayW),反映空间点A到H面的距离。②Aa′=aax=a″az,反映空间点A到V面的距离。③Aa″=a′az=aay(即ayH),反映空间点A到W面的距离。(二)点的三面投影规律通过以上空间点和点的投影关系可总结出其投影规律,如下所述。(1)点在两个投影面上的投影的连线,垂直于相应的投影轴。a′a⊥OX,a′a″⊥OZ,而aayH⊥OYH,a″ayW⊥OYW。(2)点的投影到投影轴的距离,等于空间点到相应的投影面的距离。①a′ax=a″ay=A点到H面的距离Aa。②aax=a″az=A点到V面的距离Aa′。③aay=a′az=A点到W面的距离Aa″。可以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系。三、点的投影与空间直角坐标系的关系如图2.11所示为点的投影与空间直角坐标系的关系。若把投影面当作坐标面,投影轴当作坐标轴,O即为坐标原点,则A点的X坐标等于A点到W面的距离;A点的Y坐标等于A点到V面的距离;A点的Z坐标等于A点到H面的距离。四、两点的相对位置(一)两点的相对位置的判断两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。两点在空间的相对位置是由空间两点在同面投影的坐标差来确定的,如图2.12所示。两点的左、右相对位置由X坐标差(XA-XB)确定。由于XA﹥XB,所以点A在点B的左方。两点的前、后相对位置由Y坐标差(YA-YB)确定。由于YA﹥YB,所以点A在点B的前方。两点的上、下相对位置由Z坐标差(ZA-ZB)确定。由于ZA﹤ZB,所以点A在点B的下方。故点A在点B的左、前、下方;反过来说,就是点B在点A的右、后、上方。点C与点B,点C与点A的相对位置请读者自行分析。(二)重影点重影点的可见性如图2.13所示,在A、B两点的投影中,点a′和b′重合,这说明A、B两点的X、Z坐标相同,即XA=XB、ZA=ZB。因此,A、B两点处于正面的同一投射线上。可见处于同一条投射线上的两点,必在相应的投影面上具有重合的投影。这两个点称为对该投影面的一对重影点。重影点的可见性也可根据这两点不同的投影的坐标大小来判别,判别方法如下。(1)当两点在V面的投影重合时,需判断其H面或W面投影,则点在前(Y坐标大)者可见。(2)当两点在H面的投影重合时,需判断其V面或W面投影,则点在上(Z坐标大)者可见。(3)当两点在W面的投影重合时,需判断其H面或V面投影,则点在左(X坐标大)者可见。Part3.直线的投影(一)一般位置直线在三面投影体系中,与三个投影面都有倾斜角度的直线称为一般位置直线,图2.14中的直线AB,即为一般位置直线。直线和投影面斜交,直线和它在投影面上的投影所成的夹角叫直线对投影面的倾角,并以α、β、γ分别表示直线对H、V、W面的倾角。对于一般位置直线AB,先分别作出直线两端点A、B在三个投影面的投影,然后分别连接同一投影面上的投影a′b′、ab、a″b″,即为直线的三面投影,如图2.14所示。一、各种位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性为:(1)一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜;(2)一般位置直线的各面投影的长度均小于其本身的实际长度;(3)各个投影与投影轴的夹角均不反映直线对该投影面的夹角。反之,若直线的三个投影相对于投影轴都是斜线,则该直线一定是一般位置直线。(二)特殊位置直线和某一投影面平行或垂直的直线,统称为特殊位置直线。特殊位置直线有两种:投影面平行线和投影面垂直线。1.投影面平行线平行于(用符号“∥”表示)一个投影面而对其他两个投影面倾斜的直线,统称为投影面平行线。它有三种形式:平行于H面的直线,称为水平线;平行于V面的直线,称为正平线;平行于W面的直线,称为侧平线。投影面平行线的投影特性如表2.1所示。从表2.1中可看出,投影面平行线具有以下3个共性。(1)直线在它所平行的投影面上的投影反映直线的实长。(2)直线的其他两个投影平行于投影轴。(3)反映空间直线实长的投影与投影轴所夹的角度,等于空间直线对相应投影面的倾角。2.投影面垂直线垂直于一个投影面的直线,统称为投影面垂直线。垂直于H面的直线,称为铅垂线;垂直于V面的直线,称为正垂线;垂直于W面的直线,称为侧垂线。它们的投影特性如表2.2所示。从表2.2中可看出投影面垂直线具有如下两个共性。(1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。(2)直线的其他两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。二、直线上点的投影直线上点的投影如图2.15所示,它们有从属性和定比性两个特性。(二)定比性直线上的点分割直线之比值,在投影后保持不变。点K在直线AB上,则ak∶kb=a′k′∶k′b′=a″k″∶k″b″=AK∶KB。利用以上性质,可以求从属于直线的点的投影。(一)从属性如果点在一条直线上,则其点的各投影也必在该直线的各同面投影上;反之,如果某点的各投影均在直线的各同面投影上,则该点必在该直线上。Part4.面的投影一、平面的表示法由初等几何学的知识可知,不从属于同一直线的三点可以确定一个平面。因此,平面可以用下列任何一组几何要素的投影来表示,如图2.16所示。第一,不在同一平面的三点,如图2.16(a)所示。第二,一直线和线外一点,如图2.16(b)所示。第三,相交的两直线,如图2.16(c)所示。第四,平行的两直线,如图2.16(d)所示。第五,任意平面图形,如图2.16(e)所示。平面图形的边和点是由线段(直线段或曲线段)及交点组成的,因此这些线段的投影的集合,也可以表示该平面图形。先画出各平面图形顶点的投影,然后将各顶点的同面投影依次连接,即为平面图形的投影。此外,还可以用迹线表示一个平面,如图2.17所示。迹线是平面与投影面交线的总称。平面P与H面、V面和W面的交线,分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线,依次用PH、PV和PW表示,平面迹线如图2.18所示。二、各种位置平面的投影(一)一般位置平面一般位置平面的投影如图2.19所示,△ABC为一般位置平面。由于△ABC对三个投影面都倾斜,所以各面投影虽然仍是三角形,但都不是原平面的形状,而是原平面的类似形。(二)特殊位置平面1.投影面平行面平行于一个投影面的平面,统称为投影面平行面。平行于H面的平面,称为水平面;平行于V面的平面,称为正平面;平行于W面的平面,称为侧平面。三种投影面平行面的投影及投影特性如表2.3所示。由表2.3可知,投影面平行面的投影特性如下。(1)平面在所平行的投影面上的投影反映实形。(2)平面的其他两个投影均积聚成直线,并且平行于相应的投影轴。2.投影面垂直面垂直于一个投影面而与另两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面又分为以下3种。(1)铅垂面。其垂直于H面、倾斜于V面和W面。(2)正垂面。其垂直于V面、倾斜于H面和W面。(3)侧垂面。其垂直于W面、倾斜于V面和H面。三种投影面垂直面的投影图及其投影特性如表2.4所示。由表2.4可知,投影面垂直面的投影特性如下。(1)平面在所垂直的投影面上的投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线,这条直线与投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的倾角。(2)平面的其他两个投影均为小于实形的类似形。三、从属于平面的直线和点(一)从属于平面的直线直线从属于平面的条件如下。(1)若一条直线经过某一平面内的两点,则该直线从属于该平面。从属于平面的直线MN如图2.20所示。△ABC决定一个平面P,其中M点和N点分别是AB、AC上的两点,则直线MN从属于平面P。(2)若一条直线经过某一平面内的一点,并且平行于该平面内的另一条直线,则该直线从属于该平面。从属于平面的直线EF如图2.21所示。两直线AB和BC相交确定一个平面P,其中E点是AB上的一点,若过E点作直线EF,使EF∥BC,则直线EF从属于平面P。分析:由于△ABC的两面投影均为类似形,因此应采用辅助线法作图,为简