河北省保定市2024-2025学年高二上学期第二次月考 数学试题含答案

高二上期第二次月考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修一全册（不含抛物线）。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设点在平面上的射影为，则等于（

）A． B．5 C． D．2．若直线的倾斜角为，则实数m值为（

）A． B． C． D．3．若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（

）A．3 B．12 C．15 D．3或154．.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（）A． B． C． D．5．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（

）A．曲线的图象不关于原点对称B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为､，则下列说法中正确的是（

）A．的最小值为B．线段的最小值为C．的最小值为D．当最小时，直线的方程为10．已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（

）A． B．C． D．为直角三角形11．已知曲线，，则下列说法正确的是（

）A．若，则曲线表示两条直线B．若，则曲线是椭圆C．若，则曲线是双曲线D．若，则曲线的离心率为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为.13．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为.14．如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是

①；②存在点，使得//面；③的最小值为；④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知两直线.(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；(2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(3)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.16．（15分）已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.(1)求圆的方程；(2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.17．（15分）如图,四棱锥中,底面,底面为菱形,,分别为的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.18．（17分）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点.(1)证明：；(2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由.19．（17分）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆：.(1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆相似且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求实数的取值范围.参考答案与解析题号12345678910答案DACADCBDACDABD题号11答案ACD1．D【详解】点在平面上的射影为，，故，故选：D2．A【详解】由题知，，解得.故选：A.3．C【详解】因为双曲线方程为，所以，则，设双曲线的左､右焦点分别为，又点在双曲线的右支上，且，所以，则.故选：C.4．A【详解】设圆心到直线的动点的距离为，根据点到直线距离公式，.因为，是圆的切线，所以（其中）.又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即.的周长为.因为是圆的弦，且和全等，所以.根据三角形面积公式，（其中是圆的半径），可得，所以，则的周长.因为与均在上单调递增，所以当时，周长取得最小值.最小值为.故选：A.5．D【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，则与所成的角的余弦值为.故选：D6．C【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件；当与直线平行时，，则∴或，当时显然成立，当时，，，整理后与重合，故舍去，∴，满足必要条件；∴“”是“直线与直线平行”的充要条件故选：C7．B【详解】解法一：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，得关于的不等式有解，即有解，所以，解得或.故选：B.解法二：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，所以只需圆与直线有公共点即可.由，解得或.故选：B.8．D【详解】对于A，结合曲线：，将代入，方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误；对于B，令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，故曲线经过的整点只能是，B错误；对于C，直线与曲线：必有公共点，因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，即只有一个解为，即时，无解，故，即实数的取值范围为，C错误，对于D，由，可得，时取等号，则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确，故选：D9．ACD【详解】由题知，设，因为，所以，即，所以曲线是以为圆点，半径为的圆，如图所示，因为为上的动点，是曲线上动点，则PQ最小时，三点共线，且，因为，，所以PQ的最小值为，故A正确；对于B，设，则，又，所以，则以为圆心，以为半径的圆的方程为①，又曲线为②，由①②相减，得直线：，即，由，得，所以直线恒过定点，所以线段的最小时，过，则此时与定点距离为，此时，故B错误；对于C，因为最小时为，所以，所以此时为全等的等腰直角三角形，所以，所以，所以的最小值为，故C正确；对于D，因为四边形面积为，所以此时四边形为正方形，则，，所以直线的方程为，故D正确.故选：ACD10．ABD【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入，可得，所以，，故A正确；对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦，所以由抛物线定义可得，由选项A知，，，所以.即，解得，当时，，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，故B正确；对于选项C，，所以，同理可得，所以，故C错误；对于选项D，由抛物线的定义可知，，则.因为，所以，则.同理可得.因为，所以.所以为直角三角形，选项D正确；故选：ABD.11．ACD【详解】由题意，曲线，，若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确；若，又，则，曲线，可化为，当时，则曲线表示圆，当时，则曲线表示椭圆，故B错误；若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确；若，又，所以，则曲线为，则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确.故选：ACD.12．【详解】因为,所以,所以椭圆方程为,设,椭圆的上、下顶点,所以且，所以，所以即得.故答案为：.13．【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则直线方程为，设关于和直线的对称点分别为，则，记，则，解得，因为为的重心，，所以，由光的反射原理可知，三点共线，所以，即，解得（舍去）或.故答案为：14．①②【详解】由题意，建立如图空间直角坐标系，

则，所以，设，则，所以，所以.①：，所以，故①正确；②：设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，有，当时，，此时，即平面，所以当点P为的中点时，平面，故②正确；③：将平面与平面沿展开成平面图，线段即为的最小值.

在中，，由余弦定理，得，即，故③错误；④：由平面，得平面，即平面，则为平面的一个法向量，假设存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为，设该线面角为，则，所以，整理得，由知方程无实根，所以不存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为，故④错误.故答案为：①②15．【详解】（1）联立，解得，，因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即；（2）由（1）得两直线的交点为．当要求的直线过原点时，斜率为2，方程为．当要求的直线不过原点时，设方程为，把交点代入，求得，可得要求的直线方程为，综上，直线方程为或；（3）设点关于直线对称的点为，，解得，则，故的最小值为．16．【详解】（1）设圆M的方程为，因为圆过点，所以，又因为圆心在直线上，所以②，直线与圆M相切，得到③，由①②③解得：因此圆的方程为（2）设，因为A为线段BD的中点，所以，因为在圆上，所以，解得或当时，由可知直线的方程为；当时，由可得斜率，故直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.17．【详解】（1）连接,∵底面ABCD为菱形,,∵在中，分别为的中点.∴,∴底面,所以,所以,又∵与是平面上的两条相交直线,∴⊥平面.（2）连接交于点,过点,作向上的垂线平行于,以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系；又，，所以；则，所以；设平面的一个法向量为，可得，解得，令，则；即为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，可得，解得，令，则；即为平面的一个法向量，可得，设二面角为，可得；所以二面角的正弦值为.18．【详解】（1）如图，取中点，连接.∵,∴,∵,,,∴与全等，∴，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴.（2）不存在，理由如下：由（1）得，平面，∵平面，∴平面平面，如图，过点作于点.∵平面平面，平面，∴平面由题意得，∴，设三棱柱的高为，∵三棱锥的体积为，∴三棱锥的体积为，即，∴，即，∴，∴点为中点.取中点，则，∴.故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，.设，则，∴，要使平面，则需且，由得，，解得，由得，，解得，由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面.