人教B版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.2.3充分条件、必要条件课件

1.2.3充分条件、必要条件【课程标准】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教

材

要

点知识点一充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．状元随笔如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p

q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．知识点二充要条件如果“若p，则q”和“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

状元随笔p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．基

础

自

测1.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．答案：充分解析：因为A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，所以a∈B且a≠1，所以a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分条件．2．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(

)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为(－1，3)

(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．

答案：C

4．用符号“⇒”与“”填空：(1)x2＞1________x＞1；(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．⇒解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1x>1.(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：①p：x∈Z，q：x∈R；②p：x是长方形；q：x是正方形．【解析】

(1)①因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p⇒q，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件．②因为长方形不一定是正方形，即p

q，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．状元随笔p⇒q由充分条件的定义来判断．p⇒q由必要条件的定义来判断．(2)下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)?①p：x≠0，q：x＋|x|>0.②p：a>0，q：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解．③p：ab>0，a，b∈R，q：|a＋b|＝|a|＋|b|.④p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点．

③当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立，所以p⇒q；因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，所以q

p，所以p是q的充分不必要条件．④当c＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件．方法归纳充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．(2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．(3)根据推式及条件得出结论．①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；③若二者都成立，则p与q互为充要条件．2．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．跟踪训练1

用充分条件、必要条件填空：(1)x>3是x>5的________；(2)x∈N是x∈Q的________；(3)|x|<2是x<2的________；(4)“我是中国人”是“我是山东人”的________．必要条件充分条件充分条件必要条件解析：(1)∵(5，＋∞)⊆(3，＋∞)，∴x>3是x>5的必要条件．(2)x∈N是x∈Q的充分条件．(3)∵(－2，2)⊆(－∞，2)，∴|x|<2是x<2的充分条件．(4)∵{山东人}⊆{中国人}，∴“我是中国人”是“我是山东人”的必要条件．状元随笔题型2用集合观点解充分条件、必要条件问题[数学运算]例2(1)(多选)[2024·湖北省武汉市一中月考]下列选项中，是x∈(0，2)的必要不充分条件的有(

)A．x∈(0，2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0，1)D．x∈(0，3)【答案】

BD【解析】

(1)显然选项A为充要条件．因为(0，2)

[－1，＋∞)，(0，2)

(0，3)，所以“x∈[－1，＋∞)(或x∈(0，3))”是“x∈(0，2)”的一个必要不充分条件．易知C不正确．(2)已知p：{x|－1<x<3}，q：{x|－1<x<m＋1}，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)【解析】由题意，p：{x|－1<x<3}，q：{x|－1<x<m＋1}，因为q是p的必要不充分条件，则m＋1>3，解得m>2，即实数m的取值范围是(2，＋∞)．方法归纳(1)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．(2)根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练2

(1)设p：实数x满足a<x<4a(a>0)，q：实数x满足2<x≤5.若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

a≤96≤a≤9

题型3充要条件的证明[逻辑推理]例3证明：a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．【证明】

方法一先证充分性．因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2，又2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab.再证必要性，因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b.综上可知，a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．方法二因为a＝b⇔a－b＝0⇔(a－b)2＝0⇔a2＋b2－2ab＝0⇔a2＋b2＝2ab，所以a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．方法归纳充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．跟踪训练3

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.能

力

提

升

练1.(多选)下列说法正确的是(

)A．设a>0，b∈R则“a>b”是“a>|b|”的必要不充分条件B．“c<0”是“二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有两个不等实根”的充分不必要条件C．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则“A>B”是“a>b”的充要条件D．设平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为矩形”是“AC＝BD”的既不充分也不必要条件答案：ABC解析：对于A，设a>0，b∈R，则由a>b不一定得到a>|b|，如a＝1，b＝－2，反之，由a>|b|，可得－a<b<a，即a>b，则“a>b”是“a>|b|”的必要不充分条件，故A正确；对于B，若c<0，则Δ＝b2－4c>0，可得二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有两个不等实根；反之，若二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有两个不等实根，则Δ＝b2－4c>0，即b2>4c，不一定有c<0，∴“c<0”是“二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)有两个不等实根”的充分不必要条件，故B正确；对于C，△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则A>B，a>b，即“A>B”是“a>b”的充要条件，故C正确；对于D，设平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，则由四边形ABCD为矩形，可得AC＝BD，反之，由AC＝BD，不一定得到四边形ABCD为矩形，也可能是等腰梯形，∴“四边形ABCD为矩形”是“AC＝BD”的充分不必要条件，故D错误．故选ABC.2．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似

两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共27分)1．(5分)设集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(

)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：因为集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”．2．(5分)一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是(

)A．a<0B．a>0C．a<－1D．a>1答案：C

3．(5分)[2024·山东省聊城市月考]唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年．今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱”的(

)A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由已知：由“是仙”可以推出“到过蓬莱”，而“到过蓬莱”不一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件，故选B.4．(6分)(多选)下列选项中，是a≥b的充分不必要条件的是(

)A．a>bB．a>0>bC．|a|≥|b|D．a＝b＝0答案：ABD5．(6分)(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是(

)A．“a＝b”是“ac＝