2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形2.下列结论成立的是(

)A.若a>b，c>d，则a−c>b−d B.若a>b，c>d，则a−d>b−c

C.若a>b，则ac2>bc2 3.设x∈R，则“|x−1|+|x−2|>3”是“x>3”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若正实数x、y、z满足x2+4y2=z+3xy，则当3xyzA.12 B.1 C.32 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.用适当符号填空：1______{1,2}．6.已知集合A={x|1<x<2},B={x|0<x<32}7.已知a，b为正数，化简a5b28.已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是______．9.已知集合A={x|(a−1)x2+3x−2=0}有且仅有两个子集，则实数a=

10.若A={x|y=x+1},B={y|y=−x2+6}11.若关于x的不等式ax+4>1−2x的解集为R，则实数a=______．12.不等式|xx−2|>13.关于x的不等式(k+1)x2−(k+1)x+4>0对于任意x∈R恒成立，则k14.已知集合A={x|x+1x−2≤0},B={x|x<a}，若A∩B≠⌀，且A∪B≠B，则实数a15.若关于x的不等式x2−4mx+m<0的解集为(x1,x2)若x116.设集合M={1,2,3,4,5,6,7}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为______．三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}．

(1)求实数a，b的值；

(2)解不等式18.(本小题8分)

(1)已知集合M={x||x−3|≤1}，N={x|t−3≤x≤2t}，若M∪N=N，求实数t的取值范围；

(2)已知集合A={a||x+3|+|x−4|≥a对任意x∈R恒成立}，B={x|4xx2+x+219.(本小题10分)

某企业在现有设备下每日生产原先成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式：y=2x2+(15−4k)x+120k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x=1时，总成本(总成本为原先成本和除尘费用之和)为142万元．

(1)求k的值；

20.(本小题12分)

已知关于x不等式(kx−k2−4)(x−4)>0的解集为A，其中k∈R．

(1)当k=1时，求集合A；

(2)当k≥0时，求集合A；

(3)是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k21.(本小题14分)

已知集合A={a1,a2,⋯,ak}(k≥2)，其中ai∈Z(i=1,2,⋯,k).定义：若对任意的x∈A，必有−x∉A，则称集合A其有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：P={(x,y)|x∈A，y∈A，x+y∈A}，Q={(x,y)|x∈A，y∈A，x−y∈A}，其中P有m个元素，Q中有n个元素．

(1)已知集合K={−1,2,3}，判断K是否具有性质G；由题意可知K对应的集合P为{(−1,3)，(3,−1)}，写出K对应的集合Q；

(2)若集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，求对应集合Q的元素个数，若集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的元素最大个数，并说明理由；

参考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.∈

6.{x|0<x≤1}

7.a18.(−∞,1)

9.1或−110.{x|−1≤x≤6}

11.−2

12.(0,2)

13.[−1,15)

14.(−1,2)

15.9416.8

17.解：(1)因为不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，

所以1，b为方程ax2−3x+2=0的两根，且a>0，

故1+b=3a,b=2a，解得a=1，b=2；

(2)由(1)得a=1，b=2，

所以3+x2x+118.解：(1)根据题意，M={x||x−3|≤1}={x|2≤x≤4}，N={x|t−3≤x≤2t}，

又因为M∪N=N，所以M⊆N，

则2≥t−34≤2tt−3≤2t，解得2≤t≤5，

所以实数t的取值范围为[2,5]．

(2)因为|x+3|+|x−4|≥a对任意x∈R恒成立，所以a≤(|x+3|+|x−4|)min，

因为|x+3|+|x−4|≥|(x+3)−(x−4)|=7，当且仅当−3≤x≤4时取等号，

所以|x+3|+|x−4|的最小值为7，所以a≤7，即A=(−∞,7]，

因为x2+x+2=(x+12)2+74>0，

所以4xx2+x+2<1，即4x<19.解：(1)某企业在现有设备下每日生产原先成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式：y=2x2+(15−4k)x+120k+8，

该企业引进了除尘设备，每日生产总成本ℎ(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的关系为：

ℎ=2x2+(15−4k)x+120k+8+kx=2x2+(15−3k)x+120k+8，

当日产量x=1时，总成本为ℎ=142万元，代入得2+(15−3k)+120k+8=142⇒k=1；

(2)由(1)知，ℎ=2x2+12x+128，

所以每吨产品的成本为w=2x20.解：(1)由题设(x−5)(x−4)>0，可得x<4或x>5，则A={x|x<4或x>5}；

(2)当k=0，则−4(x−4)>0⇒x−4<0，可得x<4，此时A={x|x<4}；

当k>0，则(x−k−4k)(x−4)>0，而y=k+4k≥2k⋅4k=4，当且仅当k=2时取等，

若k+4k>4，即k≠2时，原不等式解集为{x|x<4或x>k+4k}；

若k+4k=4，即k=2时，原不等式解集为{x|x≠4}；

综上，k=0时A={x|x<4}，k>0且k≠2时{x|x<4或x>k+4k}，k=2时{x|x≠4}．

(3)由(2)，当k<0时，[x−(k+4k)](x−4)<0，不等式的解集A中只有有限个整数，

此时y=−[(−k)+(−421.(1)解：因为K={−1,2,3}，1，−2，−3都不属于集合K，

所以集合K具有性质G，对应集合Q={(2,−1)，(2,3)}；

(2)解：A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则对应集合Q中的元素为：

(10,1)，

(9,1)，(10,2)，

⋯

(4,1)，(5,2)，⋯，(9,6)，(10,7)，

(3,1)，(4,2)，⋯，(9,7)，(10,8)，

(2,1)，(3,2)，⋯，(9,8)，(10,9)，

共有9+8+7+⋯+2+1=45个元素，即对应集合Q的元素个数45；

集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的最大个数为k2−k2．

理由如下：

由题意可知集合A的元素构成有序数对(ai,aj)(i,j∈N∗,i≤k,j≤k)，共有k2个，

因为0∉A，所以(ai,ai)∉Q，

又因为a∈A时，−a∉A，所以(ai,aj)∈Q时，(aj,ai)∉Q，

所以集合Q的元素个数为k2−k2个．

(3)证明：当集合B具有性质G时，

①对于(a,b)∈Q，根据定义可知：a∈A，b∈A，a−b∈A，

又因为集合B具有性质G，则(a−b,b)∈P，

如果(a,b)，(c,d)是Q