湖南省2024届高三模拟考试数学试题（五）（解析版）

湖南省2024届高三仿真模拟考试数学试题（五）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合人"〜},"邛…<0},则行汩（

A.(1,+8)B.(2,+oo)C.(0,1)D.(1,2)

K答案』D

K解析]由ei>l得e'T>e°，

又函数y=e，在R上单调递增，则x—1>0,即河={工区>1},

又由V—2x<0得0<x<2,即〃={x|0<x<2},

所以McN={x[l<无<2}.

故选：D.

2.若复数z=--（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

1+1

11.

A.-D.——1

22

K答案XA

111+i11.

（解析X因为i3=.i'所以2=177===(1_0(1++=5+51'

故复数Z的虚部为

2

故选：A.

3.九九重阳节期间，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初

十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互

不影响，则他们在同一天去的概率为（）

1112

A.—B.—C.—D.一

6323

k答案》B

K解析》甲同学在三天中随机选一天，共有3种情况，乙同学在两天中随机选一天，共有

2种情况，所以一共有3义2=6种情况，

他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为2=

63

故选：B.

4.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若邑=%，d=2,贝（）

A.4B.7C.8D.9

K答案1B

K解析H由83=%,d=2可得3%+3d=4+4d,解得％=1,

故%=4+3d=1+6=7

故选：B.

71

5.如图，在直角梯形A3CD中，AB//CD,ZBAD=~,AB=AD=2,若分别

3

是边AD,3C上的动点，满足丽=2而，的=（1—2）耳心，其中2e（O』），若

AN-BM=-2＞则％的值为（）

k解析U建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意可得A（—2,0）,。卜1,6）,5（0,0）,。（0,6）.

设”（无，））,由痂＞=%汨，即（x+2,y）=2（l,6），据此可得x=4—2,y="l,

故网4一2,后），同理可得N（0,73（1-2））,

据此可得AiV=（2,73（1-2））,W=（2-2,则,

则丽•丽=2（彳一2）+百（1-2）•反=一2,整理可得3^2—52+2=0,

2

由于彳£（。,1）,故2二§.故选：D.

6.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率》(每分钟鸣叫的

次数)与气温y(单位：。c)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数

据，建立了，关于“的线性回归方程y=0.25x+左，则下列说法不正确的是()

X(次数/分钟)2030405060

y(℃)2527.52932.536

A.左的值是20

B.变量尤，y呈正相关关系

C.若x的值增加1,则V的值约增加0.25

D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃

K答案工D

_1

(解析工由题意，if#x=-(20+30+40+50+60)=40,

_1

y=-(25+27.5+29+32.5+36)=30,

则上=工一0.251=30—0.25x40=20,故A正确；

由线性回归方程可知，务=0.25〉0，变量x，,呈正相关关系，故B正确；

若无的值增加1,贝的值约增力口0.25,故C正确；

当x=52时，y=0.25x52+20=33，故D错误.

故选：D.

7.设。=0.6°5，b=log060.4,c=log30.4,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

k答案1C

K解析U0<a=0.6°s<1，b=log060.4>log060.6=1,c=log30.4<log3l=0,故

c<a<b.

故选：C.

8.已知函数/(%)=以2-4。》+2(4<0),则关于x的不等式/(x)〉log2X的解集是

()

A.(-oo,4)B.(0,1)

C.(0,4)D.(4,+00)

K答案』C

k解析X由题设，/(%)对称轴为x=2且图象开口向下,

则于(X)在(0,2)上递增，(2,+8)上递减，

由/(x)=ax2-4ax+2-ax(x-4)+2,HPf(龙)恒过(4,2)且/(0)=2,

所以(0,4)上>2,(4,+a))±/(x)<2,

而y=log2X在(0,+8)上递增，且(0,4)上y<2,(4,+8)上y>2,

所以/(x)〉log2X的解集为(0,4).

故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知双曲线C:右顶点为A,以A为圆心,

6为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于〃，N两点，则有()

B.渐近线方程为y=±立x

A.渐近线方程为y=±氐

3

C.ZMAN=60°D.ZMAN=120°

(答案1BC

k解析男双曲线=l的渐近线方程为y=±2x,离心率为£=空,

abaa3

则9=二£=]+[=士则与」。=±乌故渐近线方程为近1

a2a2a23a23a33

取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得2=AP=—,

c

ab2i

—aI

则APca，所以COSNMANMCOSZNPAA^ZXF—1=—，则

cosZPAN===—27

ANbcr

10.将函数y=3sin12x+1J的图象向右平移;个单位长度，对于所得图象对应的函数,

下列说法正确的是（）

jr77171771

A.在区间—上单调递减B.在区间—上单调递增

L1212J11212J

5717157171

C.在区间-二，二上单调递减D.在区间-二，二上单调递增

L1212jL1212J

［答案』BC

K解析工将函数y=3sin（2x+$TT的图象向右平移一TT个单位长度,

32

/Dc•兀、兀rc•/c2兀、

倚y—3sin[2(x——)+—]—3sin(2x——),

717兀71,2兀71

■:—WxV—，1.——<2%----<-,

1212232

9jrjr7jr

・・・函数y=3sin（2x——）在［一,一］上单调递增，故选项B正确;

31212

.一,.57T7T一广,3兀否27r7T

因为----—，所以----------K2x-----K---

1212232

27r5兀TC

所以函数y=3sin（2x——）在一不，不上单调递减，故选项C正确，

3_1212_

故选：BC.

11.已知均为正实数，且4。+/?。—。）=0,则下列不等式正确的是（）

A.ab..16B.2a+b..6+4y/2

,c1161

C.a—b<口D.——H——...—

a2b22

［答案XABD

K解析H因为a>0,b〉0,aZ?=4a+，..2d4ab=4y［ab,当且仅当4。二》时等号成立,

所以他..16,故A正确；

4〃

由4a+/?=〃/?得匕=---->0,6Z>1,

a—1

同理。〉4,2。+6=2。+胃=2（。一1）+告+6..2^2（03）^^+6=4近+6,

当且仅当2（a—1）=/一，即。=1+正时等号成立，故B正确；

a-1

。=5力=5满足题意，但。―6=0,故C错误；

由4“+》="得工+3=1,所以212+学［(工+3］=1,当且仅当二r=或即

abUb2)Ub)a-b-

6=4。时等号成立，所以一yH---y...—，故D正确

a2b22

故选：ABD.

12.己知定义在R上的函数y=/(x)满足—3d为偶函数，/(2x+l)为奇函数，当

xe0,1时，/f(%)>0,则下列说法正确的是()

A./(0)=0B.函数y=/(x)为周期函数

C.函数y=/(x)为R上的偶函数

(答案》AB

K解析》因为3x］为偶函数,

o/(x)=/(l—x)，故函数图象关于直线X=1■对称,

f(2x+l)为奇函数，/(-2x+l)=-/(2x+l)<^/(-x+l)=-/(x+l),函数图象关于

(1,0)对称，

对于B,/(x)=/(l-x)=-/(l+x),/(x+2)=-/(x+l)=/(x),故2是函数的周

期，函数为周期函数，故B正确；

对于A,/(-2^+1)=-/(2%+1),令％=故-1)=0,

又/(0)=/(1—1)=/(1)=0,故A正确;

对于C,万］=/(J［=一/1］1当xe］。,］］时，((%)>0,即函数在上

递增,

工,工上递增,

函数图象关于(1,0)对称，故函数在上递减，故函数在

22

所以故函数不是偶函数，故C错误；

对于D,4)=佃＞佃,故D错误，

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知A(—1,0),B(l,0),C为平面内的一个动点，且满足|4。|=拒忸。|,则点C的

轨迹方程为.

k答案》x2+y2-6x+l=0

K解析』依题意,设c(x,y),由|AC|=0忸q,

得^(x+1)2+y1=A/2x—+丁,

即(x+1)+y2=21(x—1)+，［'整得得12+y2_6x+］=0,

所以点C的轨迹方程为炉+V—6x+1=o.

14.在12x2-工］的展开式中，所有项的二项式系数的和为64,则常数项为.

k答案U60

(解析U由题可知：2"=64，所以〃=6,

2

展开式通项为Tr+l=G(2x厂(――)'=(-1)'26-C"12-3r,

令12—3r=0,得厂=4,常数项为22£=60.

15.点尸是抛物线V=4x上一动点，则点尸到点4(0,—1)的距离与到直线尤=—1的距离

之和的最小值是.

(答粒及

K解析工因为抛物线方程为＞2=4%,

所以抛物线的焦点坐标为歹(1,0)准线方程为：x=-1,

如图所示:

由抛物线的定义得：点p到的焦点F(1,O)的距离与到准线x=-1的距离相等，

所以当A,P,尸三点共线时，尸到点4(0,—1)的距离与到直线工=—1的距离之和最小，

最小值为卜同=行.

16.己知关于无的方程(In%)?—3odn尤+24炉=0有4个不等实数根，则。的取值范围

是.

k答案U0<a<

2e

K解析X由(in%)?-3«xln尤+2<?无?=。得(inx-ox)(lnx-2ax)=0.

InVInV

由于x>0,所以问题转化为。=——和2〃二——共有4个不同的实根，

XX

记了(无)=则，则#^)=出单，当％〉e时，/(%)<0,当0<x<e时，

XX

r(x)>0,所以〃尤)在(e,+8)单调递减，在(0,e)单调递增，

故/("max="e)=L又/'(1)=0,因此，当0<%<1时，/(%)<0,当％〉0时，

e

xxee

解得0<a<看

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=6sin[A+]

⑴求A；

⑵若a=币,VABC的面积为主叵，求VA3C的周长.

2

ah

解：(1)由正弦定理-----=-----,可得asini5=bsinA,

sinAsinB

故asinB=Z?sin1A+；j=Z?sinA,即sin(A+1)=sinA,

—sinA+^-cosA=sinA»化简得tanA=J§\

22

又入£(0,兀)，故A=g.

(2)由s=J_bcsinA=得hc=6,

△A£>c22

又tr=b2+c2—2bccos—,BP7=/?2+c2—bc^b2+c2=13>

则A+C=[S+C)27b2+C1+2bc=5，故VABC周长为，7+5.

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S“,3S〃+I=S〃+l,a2=；，正项等差数列也｝满足

仿=2,且々也—1也成等比数列.

(1)求｛。,｝和｛2｝的通项公式；

3

(2)证明：ah+%+L+abn<—.

(1)证明：由3s"M=S”+1得3S〃=S“_1+1(〃>2),

两式相减可得3a„+1=a“,即—=；22).

an3

当〃=1时，3s2=S]+1,即3(q+〃2)=卬+1，

121

则2q=]—3a2—1—,解得。]二§,

a1,、11

且y?=W，可知｛?｝是首项为公比为三的等比数列，

%。33

设等差数列｛d｝的公差为d20,

因为4也-1也成等比数列，则她=。2—1)2，

即2(2+2d)=(l+d)2,解得d=3或d=—1(舍去),

所以4=2+(/7-1)X3=3«-1.

(2)解：由(1)得％=43“_1=，则y

可知｛为“｝是以首项a饵=,公比为的等比数列,

则%+%+.•.+%=&]+[3+.••+&]

J口26[⑴J26

3

所以%+ab2+L+旬<—.

19.为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特

色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在

M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得

2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为

了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两

分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：

甲乙

8

7

6

5

4

3

2

1

0

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.

（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数

学期望;

（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.

54367

解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为历+历+历+历+历十

-U.3

5

甲同学三分球投篮命中的概率为ioip+ip+io=0],

5一,

设甲同学累计得分为X,

则p（X=4）=0.9X0.5X0.5=0.225,P（X=5）=0.1x0.5+0.1x0.5x0.5=0.075

则尸（X..4）=P（X=4）+P（X=5）=0.3,

所以甲同学通过测试的概率为0.3.

设这300名学生通过测试的人数为Y,由题设丫〜3（300,0.3）,

所以E（y）=300x0.3=90.

2当3』g

（2）乙同学两分球投篮命中率为历+历+历+历+历—。.，

-U.4

5

j_23J_3

乙同学三分球投篮命中率为10+10+10+10+100.

-U.Z

5

设乙同学累计得分为y,则P（y=4）=0.8x0.4x0.4=0.128,

p（y=5）=0.2x0.4+0.2x0.6x0.4=0.128.

设“甲得分比乙得分高”为事件A,“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件8,

则P（AB）=P（X=5）-P（Y=4）=0.075x0.128=0.0096,

P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]-[P(r=4)+P(Y=5)]=0.0768,

由条件概率公式可将0=需=端=，

20.已知平行四边形A3CD中，NC=60°，点E在A。上，且满足

BC^2AB=4AE=4,将△A3E沿班折起至△PBE的位置，得到四棱锥P—BCDE.

(1)求证：平面aDE_L平面3CDE；

(2)若二面角尸一面一。的大小为120°，求直线PB与平面尸8所成角的正弦值.

(1)证明：在△ABE中，AB=2,AE=1,NA=60°，

由余弦定理得BE-=AB2+AE2-2AB-AE-cos600=3，

所以5E2+AE2=452,由勾股定理知BE

折叠后，则有BELPE1,BE±DE,因为PECDE=E,所以BE_L平面P£)E,

又3石匚平面3。£石，所以平面PDE1，平面BCDE；

(2)解：:BELDE,BE±PE,则NPED即为二面角尸一8后一£)的平面角.

以E为坐标原点，ED，丽所在的方向分别作为X、,轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系E一盯z.

所以尸3=工区

(2

设平面PCD的一个法向量〃=(%,%,4),

有「匹=0

，令％=G,则％=T,Z]=7.

[n-PD=o

所以3=（6,-1,7）即为平面R2D的一个法向量.

n-PB_-4yf3_2^/159

cos<n,PB>=-

F|.阿「砺=―53-

同〈五丽〉卜冬黑,

设直线PB与平面PCD所成角为。，贝i|sin6=

所以直线与平面PCD所成角的正弦值为口叵.

53

21.己知椭圆C：£+]=19〉人〉0）的一个焦点为E（2,0）,离心率为当.过焦点

E的直线/与椭圆C交于A,8两点，线段A8中点为。，O为坐标原点，过O,。的直线

交椭圆于M,N两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求四边形AM3N面积的最大值.

c=2

（1）解：由题意可得|二=如，解得a=庭力=0,

a3

a2=b2+c2

故椭圆的方程为三+匕=1.

62

（2）当直线/斜率不存在时，A,3的坐标分别为⑵当）（2,一半）,同=2而

四边形AMBN面积为5AMBN=^\MN\-\AB\=4,

当直线/斜率存在时，设其方程为V=左（%-2，点4（网,乂）,8区,%）,加（七，为），

N（—七,—为），点"，N到直线/的距离分别为4,右，

则四边形AMBN面积为枭飒=JAB|(4+4),

[22

Ui

<62^(l+3k2)x-12k2x+12k2-6=0,

y=k(x—2)

12k212k2-1

则玉+%=1+342，再尤2_]+3.

所以I4网=｛（1+42）[（<+土）2—4%4]

j（l+3）(舟2指（1+公）

1+342

因为%+%=—玉+元2-4)=下记,

所以A5中点。(一J6k2-2k

1+3V1+3V,

当上wO时，直线OD方程为x+36=O,

x-\-3ky=0,

2

</2解得退=_3佻,

162’

1^2y/6（1+k2）\kx-y-2k\\-kx+y-2k\

（4+1/,）=3333

所以AMBN=-^|AB|2Xi+3k22+口+,7T7F

2222

46\ll+k\2kXj-2y3|2\/6\ll+k1-3^j3-y3|_l3k+3

-l+3k2~l+3k2N1+3k2

=4/+^4Tz<4百.

当左=0时，四边形AWBN面积的最大值枭S=2几乂血=4后

综上四边形AMBN面积的最大值为473.

22.已知函数/'(x)=av+liiv+L

⑴若a=—1,求函数/(%)的最大值；

(2)若/(%)—/'(x)W0恒成立，求。的值；

(3)令/(x)=/(x)—④―1,过点？(毛,%)作曲线丁=网光)的两条切线，若两切点横

坐标互为倒数，求证：点尸一定在第一象限内.

11—Y

⑴解：当a=—1时，/■(*)=-》+原+1的定义域为(0,+8),/(%)