整式乘除的综合运用-2021-2022学年七年级数学下册常考题专练（北师大版）

专题05整式乘除的综合运用

题圆=整式乘法中的化简求值

1.已知x—y=2,求代数式(x+Ip-2x+y(y-2x)的值.

【解答】解：*/(x+1)2-2x+y(y-2x)

—x2+1+2x-2x+y2—2xy

=(x-y)2+l.

.,.把x—y=2代入得：

原式=22+1=5.

2.化简求值：[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x+y)]-(-2j/),其中|2x—l|+(y+3)2=0.

【解答】解：原式=(Y+j?―一+2初一/+2町+2/)+(—2>)

=(4盯+2/)+(—2〉)

——2x—y,

­.•|2x-l|+(v+3)2=0,

2x—1=0,y+3=0,

1r

/.%=—,y=-3,

2

二原式=-2xg-(-3)=2.

3.已知x-y=3,求代数式(x+l>-2x+y(y-2x)的值.

【解答】解：原式=12+2x+l一2x+/一2盯=(x->)2+i,

当工一天=3时，原式=10.

4.先化简，再求值：[(%-5y)(x+5p)-(x-2y)2+V]+2>，其中％=-1,>=g

【解答】解：[(x—5y)(x+5y)—(x—2歹)2+*.2》

=[x2-25)2-x2+4xy-4y2+y2]-i-2y

=[4孙-28y2]+2y

=2x—14y,

当x=T,y=L时，原式=_2_7=_9.

2

5.已知--4x-3=0,求代数式(4x-2)-(x+y)(x_y)_y2的值.

【解答】解：(4x-2)-(x+y)(x-y)-y2

=4x-2-x2+y2-y2

——+4x—2.

x2—4x—3=0,

/.—4x—2—1.

原式=1.

题昌昌整式乘除的几何背景

6.如图，从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长

方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.a2-ab=a(a-b)

C.a2-b2=(a-b)2D.a-lab+b2=(a-b)2

【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是

第二个图形的面积是(q+6)(〃-6).

/.a2-b2=(a+b)(a-b).

故选：A.

7.如图，从边长为（a+4）c冽的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+l）c冽的小正方形（Q〉0）,剩余部分沿虚

线剪开，拼成一个矩形（不重盘无缝隙），则矩形的面积为（）

A.a(2a+5)cm2B.3(2a+5)cm2C.3(2a+V)cm2D.a(2a+l)cm2

【解答】解：矩形的面积是5+/-（0+1）2

—6Z+8。+16—。一2。—1

—6。+15.

故选：B.

8.数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式:

(。+b)2=a2+2ab+b1.

图1图2

（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：

方法1:—4ab—.

方法2:.

（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立；

（3）已知（2加+〃）2=13,（2加一〃了=5,请利用（2）中的等式，求加〃的值.

【解答】解：（1）阴影部分的面积为：4出?或（4+6）2—

故答案为：4ab；(a+Z?)2-(a-b)2.

(2)(a+b)2-{a—Z?)2=4ab,成立.

证明：(Q+bp-(G-bp=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=4ab.

(a+b)2—(a—Z?)2=4ab.

(3)由(2)得：(2m+n)2-(2m-n)2=Smn.

2m+n)2=13，(2m一〃了=5,

Smn=13-5.mn=1.

9.如图1,两种长方形纸片的长分别为b和c,宽都为a,将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形48C。

和四边形都为正方形，设空白部分的面积之和为H，阴影部分的面积之和为§2.

(1)直接写出Q,b,。的等量关系式；

(2)用含〃，C的代数式表示图中阴影部分的面积§2；

(3)若81-邑=642,求力与c的数量关系.

a

b

a

图1

【解答】解：(1)由图知b=2a+c；

22

(2)S2=b-^abx2-^a(a+c)x2-c

=(2a+c)2-a(2a+c)-a(a+c)-c2

—4。2+4。。+C2—2/—dC—/—CLC—C?

="+2ac；

(3)-.-S1-S^ea2,

^abx2+^a(a+c)+c2-(a2+2ac)=6a2,

a(2a+c)+a2+ac+c2-a2-2ac=6a2,

/.c=2af

又<b=2。+c，

b=2c.

10.如图，从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的

长方形.根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）

A.(a—6)2=cT—2ab+b~B.a{a+b)=a2+ab

C.{a+b)2—cT+lab+b2D.(a-b){a+b)—a2—b2

【解答】解：由题意这两个图形的面积相等,

a——b~=(a+—6),

故选：D.

11.我们知道，可以利用直观的几何图形形象地表示有些代数恒等式.例如：（2a+b^a+b）=2a2+3ab+b2,

可以用图1的面积关系来表示.还有许多代数恒等式也可以用几何图形面积来表示其正确性.

（1）根据图2写出一个代数恒等式;

（2）已知等式：（a+2b）2+4ab+4b2,请你在图3的方框内画出一个相应的几何图形，利用这个图形

的面积关系来表示等式的正确性.

图2图3

【解答】解:(1)(2a+b)(a+2b)—2a2+5ab+2b2；

（2）如图所示:

abh

12.在学习完全平方公式这一节课中，北师大版《数学》七年级下册教材中利用一个图形（如图1）,通过

不同的方法计算图形的面积来验证完全平方公式：5+少=/+2/+/.

（1）根据上面的原理，利用图2可以验证的等式为：—（a++2b）=a2+3ab+2b2—；利用图3可以验

证的等式为：—；

（2）利用（1）中所得结论，解决下面的问题：“+b+c=9,a2+b2+c2=29,求ab+bc+ca的值；

（3）如图4,有4、B、。三类长方形（或正方形）卡片（〃〉b）,其中甲同学持有4、5类卡片各一张，

乙同学持有5、。类卡片各一张，丙同学持有4、。类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四

张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是—.（直接写出结果）

【解答】(1)(a+b)^a+2b)=a2+3ab+2b2；

(〃+6+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

故答案为：(Q+6)・(〃+2b)=a2+3ab+2b2；(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+lac+2bc；

(2),.,〃+6+c=9,

+6+0)?=81,

即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=81,

又丁〃+H=29,

2ab+2ac+2bc=81-29=52，

ab+be+ca=26；

(3)画树状图如图所示：

共有6个等可能的结果，能拼成一个正方形的结果有2个，

「•能拼成一个正方形的概率为;

1

故答案为:

3

13.从边长为。的正方形中减掉一个边长为6的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

（1）上述操作能验证的等式是—a12-b~=（a+6）（。-6）—；

（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：

①己知：a-6=3,a2-Z>2=21,求a+6的值；

②计算：（1一5"6"»…'""'a-/•

【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为图2阴影部分的面积为（a+6）（。-6）,二者相等，从而能

验证的等式为：a-b2^（a+b^a-b）,

故答案为：a2-b2=(a+bXa-b)；

(2)@-：a-b=3,a2-b2=21,a2—b2—(a+b)(a-b),

「.21=(a+6)x3，

a+b=7；

2232422019220202

——)(1——)(1+

20192020

1324352018202020192021

=—X—X—X—X—X—X...X-----------X------------X-----------X-----------

2233442019201920202020

12021

—x--------

22020

2021

4040

14.对于任意有理数Q,b,c,d,我们规定"=a2+d2-be.

cd

2xk~)c

(1)填空：对于有理数X,y,3若是一个完全平方式，则左=_±2_；

-2>〉

2

(2)对于有理数x,若2x+y=18,3x+>^+V=204.

3x-3y

G)求与的值;

(zz)将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置,其中点E在边CD上,连接BD,BF.若a=2x,

b=y,图中阴影部分的面积为174,求〃的值.

2xkx

【解答】解：(1)=(2x)2+j2-fcex(-2j)=4x2+y2+2kxy,

-2jy

...2x履是一个完全平方式，

-2yy

2k=±2xV?x1=±4，

解得左=±2；

故答案为：±2.

(2)(z)方法1:(3x+y)2+(x—3y月-3(2x2+3y2)

=9x2+6xy+y2+x2-6xy+9y2-6x2-9y2

=4x2+y2

=204，

4xy=(2x+y)2-(4x2+y2)=120,

解得孙二30；

方法2：依题意有I*22，，

[(3x+y)2+(x-3y了-3(2/+3/)=204

9-7219+后

解得＜再2,%2

%=9+百72=9-721

则xy=30；

(ii)na2+nb2—gna。-；6(a+nb)=174,

na1+nb2-ab=348,

4nx2+ny2-2xy=348,

n(2x+_y)2-4nxy-2xy=348，

324〃-120"-60=348，

解得"=2.

故〃的值为2.

15.数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为。的正方形/、1张边长为6的正方形8和2张宽和长分

别为〃与6的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形.观察图形并解答下列问题.

b

bb

图①图②图③

(1)由图①和图②可以得到的等式为_(a+b)2=a2+2ab+b2(用含a,6的代数式表示)；并验证你得

到的等式；

(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为(2a+6)(a+26)的大长方形，求需要4、B、C三种纸片各多少张;

(3)如图③，已知点C为线段48上的动点，分别以/C、3c为边在的两侧作正方形NCDE和正方形

BCFG.若48=6,且两正方形的面积之和豆+邑=20,利用(1)中得到的结论求图中阴影部分的面积.

【解答】解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2,

验证：(a+Z?)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b1,

(2),/(2a+b)(a+2b)=2a2+Sab+2Z?2,

.••所需4、B两种纸片各2张，C种纸片5张，

(3)设4C=Q,BC=。尸=b则Q+6=6,

•・•4+邑=20,

/+〃=20,

(Q+A)。=Q?+2ab+Z)2,

a2+b2=(a+Z?)2-2ab,

/.20=62-lab,

ab=8,

'S阴影=~=4.

16.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到

(a+b)2=a2+2ab+b2,请解答下列问题：

(1)图2所表示的数学等式为—(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac—；

(2)利用(1)得到的结论，解决问题：若Q+6+C=12,a2+b2+c2=60,求ab+ac+bc的值；

(3)如图3,将两个边长分别为。和6的正方形拼在一起，B,C,。三点在同一直线上，连接/E,EG,

若两正方形的边长满足a+6=15,ab=35,求阴影部分面积.

【解答】解：(1)由图可得，(。+6+。)2=。2+/+。2+2〃6+2庆+2〃。；

故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)由(1)可得：ab+bc+ac=^[(a+b+cy-(a2+b2+c2)]=^-[122-60]=42；

(3)$阴影=°2+6?-g(a-6)a-；b2

=a2+b2-—a1+—ab-—b2

222

=g(02+/+°6)

1,

=-[(a+b)2-ab]

1,

=-[152-35]

=95.

题园且整式运算中的归纳猜想

17.探索规律:1x2x3x4+1=52,2x3x4x5+1=10,3x4x5x6+1=19?....请运用你发现的规律解

决问题：若200x202x204x206+16=/,则°=41204.

【解答】解：1X2X3X4+1=(1X4+1)2=52,

2x3x4x5+1=(2x5+1)2=112,

3x4x5x6+l=(3x6+l)2=192

...,

.-.200x202x204x206+16

=16x(100x101x102x103+1)

=16x(100x103+1)2

=412042

则。=41204,

故答案为：41204.

18.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了

(a+6)"(〃=l,2,3,4,…)的展开式的系数规律(按。的次数由大到小的顺序)：

11(«+Z?)1=a+b

121(〃+b)2=a2+2ab+b1

1331(6Z+Z?)3=a3+3a2b+3ab2+b3

l

14641(Q+bp=/+4/6+6ai+4a+/

请依据上述规律，写出(尤-3刈7展开式中含x.5项的系数是_一6051_

【解答】解：刈7展开式中含工刈5项的系数，

X

由(X--)2017=X2O17-2O17.X2016

XX

可知，展开式中第二项为-2017・，巴昌=一6051,15,

(x--)2017展开式中含X2015项的系数是-6051,

X

故答案为：-6051

19.观察下列各式，寻找规律：

已知XH1,计算：

(尤—1)(1+X)=X2-1

(x-l)(l+x+x2)=x3-1

(尤-1)(1+x+x2+x3)=x4-1

(x-1)(1+x+x2+x3+X，)=丁-1

(1)根据上面各式可得规律：(x-l)(l+x+x2+9+...+x")=_x"+'-I

(2)根据(1)中规律计算1+2+22+23+2,+…+2刈8的值.

(3)求。+315+...+3一的个位数字.

【解答】解：(1)由规律可知:(x-l)(l+x+尤2+Y+…+无")=尤向一1,

故答案为x"+Jl；

(2)原式=(2-1)(1+2+22+23+24+3+22°18)=22°19-1：

(3)原式=(1+3+3?+...+313+314+...+3100)-(1+3+32+...+313)

=1(3-1)(1+3+32+...+313+314+...+3100)-i-(3-l)(l+3+32+...+315)

3101-314

2

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,..

.•.个位数按3,9,7,1进行循环,

原式=1+7+9+3+...+7+9

=22x20-3

=440-3

=437,

314+3"+…+3-的个位数字是7.

20.观察下歹恪式的规律：Ix2x3x4+l=(lx4+iy；2x3x4x5+l=(2x5+l)2；3x4x5x6+l=(3x6+1)?；

，则第五个式子为_(5x8+iy_,第〃个式子为—.(其中〃为正整数)

【解答】解：由题意知第五个式子为5x6x7x8+l=(5x8+l『,

第n个式子为n(n+1)(〃+2)(〃+3)+1=+3)+1]2，

22

故答案为：(5x8+l),n(n+X)(n+2)(«+3)+1=[n(n+3)+1]1

21.阅读以下内容：(x-l)(x+1)=x2-1,(x-l)(无2+尤+1)=苫3-1,(x-l)(x3+x2+x+1)=x4-1,根据这

一规律，计算：1+2+2?+221+2"+…+2289-22°2°=_一1

【解答】解：根据题意，总结规律得:

(尤一l)(x"+尤"T+…+尤+1)=x"+1-l

当x=2,〃=2019时,

(2-1)(22019+22018+...+2+1)=22020-1,

22019+22018+...+2+1=22®-1,

二原式=2202°_1_22°2。=T,

故答案为：-1.

22.观察下列等式:

(a—b)(a+b)=a2—b~

(a-b)(a2+ab+b2)—a3—b3

(a-b)(a3+a2b+ab2+6)=a4-64...

利用你的发现的规律解决下列问题

(1)(tz-&)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=_a5-b5_(直接填空)；

(2)(a-b)(a"T+a-2b+a'^b2...+abn-2+)=(直接填空)；

(3)利用(2)中得出的结论求6刈9+6沏8+...+6+6+1的值.

【解答】解：(1)(a-b)(a4+a3b+a2b2tab3+b4)=a5-b5

故答案为：a5-b5

(2)(a-b^a'-1+a"-2b+^V...+abn-2+b*')=a"—bn

故答案为：an-b"；

i6202<>_1

(3)62019+62018+...+62+6+l=(6-1)(62019+62018+...+62+6)x|=.

23.观察下面各式的规律：

12+(1X2)2+22=(lx2+l)2；

2z+(2x3)2+32=(2x3+iy；

32+(3X4)2+42=(3x4+l)2；

<1)写出第2021个式子；

(2)写出第〃个式子，并验证你的结论.

【解答】解：(1)根据题意得：第2021个式子为20212+(2021x2022)2+2022?=(2021x2022+1>；

(2)以此类推,第〃行式子为/+[〃(〃+1)了+(〃+以=[〃(”+1)+球.

理由:左边=/+(〃2+")2+(“+1)2

="4+2/+3"~+2n+1,

右边=(/+〃+1)2

=/+2/+3/+2几+1,

/.n2+\n(n+1)]2+(〃+1)2=[n(n+1)+1]2.

题圆圆新定义运算与阅读理解题型

24.对于任意有理数a,b,现用★定义一种运算：a^b=a2-b2.根据这个定义，代数式(x+;/)★》可

以化简为()

A.xy+x2B.xy-y2C.x2+2xyD.x2

【解答】解：=〃，

=(x+y)2-y2

=x2+2xy+y2-y2

=x2+2xy，

故选：C.

25.定义运算“㊉”，其法则为a㊉6=/_凡则方程5㊉x=24的解是x=1或-1.

【解答】解：根据题意，得：52-X2=24,

解得：1=1或1=—1,

故答案为：1或-1.

ahcih

26.将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad-be,上述

cdcd

Yi1v*_2

记号就叫做2阶行列式.若一=17,则三=6

x+2x+1

【解答】解：由题意可得：

(X+1)2-(X+2)(X-2)=17,

x2+2x+l-(x2-4)=17,

%2+2x+1—%2+4=17，

2x=12,

x=6,

故答案为：6.

27.阅读:

计算:(---)(2+---)-(1+---)2+2

232323

解：设方,]_

23

则原式=t(t+2)—(1+£)2+2

=/+2t—(1+2t+/)+2

=1.

请按照上述的解题思路，解答下列问题：

计算：(2-ab+2a2)(2a2-ab-2)-(2a2-ab+1)2+2(-〃％+2/)+。.

【解答】解：设冽=2Q2_Q6,

2

则(2—cib+2Q2)(2/—ab—2)—(2〃—ab+1)+2(-a2b+2/)+Q

22

=(2—cib+2/)(2Q2—ab—2)—(2Q?—ab+1)+2(—ab+2tz)

=(m+2)(加-2)-(m+1)2+2m

=m2-4-(m2+2m+1)+2m

=m2-A-m2-2m-1+2m

=—5.

五角星=4,

【解答】解：根据题意得：3、・3?歹=4,

所以3如=4,

即32'+"=4?=16,

所以2(9*-8P)

=2x[(32r-(34)']

=2x(32x-34y)

=2,32X+4-V

=2x16

=32,

故答案为：32.

29.阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于-1,记为产=-1,这个数，叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来

就叫做复数，表示为a+bi(a,6为实数)，“叫这个复数的实部，6叫做这个复数的虚部，它的加，减，

乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.

例如计算：(2+z)+(3-4z)=5-3z.

(I)填空：z3z4=.

(2)计算：®(2+0(2-/);②(2+犷；

(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：(x+y)+3i=(l-x)-.，

(X,V为实数)，求X,y的值.

(4)试一试：请利用以前学习的有关知识将工化简成。+历•的形式.

1-Z

【解答】解：⑴・・・/=一1,

/.I•3=.21•*1=1—1♦*1=—♦I,

z4=z2*z2=—1*(—1)=1,

(2)®(2+Z)(2-Z)=-Z2+4=1+4=5；

②(2+1)2=z2+4z+4=-l+4z+4=3+4z；

(3),/(x+y)+3i=(1-x)-yi,

x+y=\-x,3=-y,

.，.％=2,y=—3；

2

(4)l+z=(l+z)(l+0_(l+0=2z^.

1-厂(一)(1+2)-2一2一•

30.在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨.

(1)若06=30,a+6=10,则/+从的值为40.

⑵“若y满足(40-y)(y-20)=50,求(40-4+(10)2的值”.

阅读以下解法，并解决相应问题.

解：设40-y=a,y-20=b

贝i|a+6=(40-y)+(y-20)=20

aZ>=(40-7)(J-20)=50

这样就可以利用(1)的方法进行求值了.

若x满足(40-x)(x-20)=-10,求(40-x)2+(x-20)2的值.

(3)若x满足(30+x)(20+x)=10,求(30+劝2+(20+尤)2的值.

【解答】解：(1)•5+6=10,

(a+b)2=100,

即a2+2ab+b2=1QQ,

将仍=30,代入得：+2x30=100,

a2+Z,2=100-60=40,

故答案为40.

(2)设40-x=a,x—1Q=b,

贝lJ(40-x)(x-20)=a6=-10,

'：a+b=(40-x)+(x-20)=20,

(40-x)2+(x-20)2

=a1+b~

=(a+bp-2ab

=202-2X(-10)

=420.

(3)设30+x=a,20+x=6,

贝iJ(30+x)(20+x)="=10,

'：a-b=(30+x)-(20+x)=10,

(30+X)2+(20+X)2

=a~+b~

=(a-b)2+lab

=102+2x10

=120.

3"+力.

请根据这个规定解答下列问题:

(1)

(2)

有最小值，最小值是多少？

【解答】解：(1)原式=(—2x3xl)+((—2>+3i)=—

故答案为-;

7

(2)原式=(4刁％)+(工2+(5^)2)=X2+4A孙+25/是完全平方公式,

...4左=±10,

/.k=±—，

2

故答案为土土；

2

⑶原式3-2仆+2)-[―+9]=6xi-9=6(1)2一9|,

17

当x二-时最小值为-9—.

33

z\[I

32.若我们规定三角“L------表示为：abc；方框“।一工1”表示为：(/+/1)•例如:

A

=1X19X3^(24+31)=3.请根据这个规定解答下列问题

C1)计算/T八1__