线圆最值（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题02线圆最值（知识解读）

【专茎饯明】

直线与圆的位置关系是中考数学一个非常重要的内容，它涉及的知识点较多,

题型也千变万化.最值是数学知识体系中的重要内容，也是数学中最具挑战性的

问题.中考命题者对直线与圆知识中的最值问题常常是情有独钟，这种导向性使

得该知识成为教学中的重点与难点.从问题解决的思路来看，学生要想顺利地解

决此类问题，需要综合运用几何与代数的相关知识与方法，以及数形结合等思

想，并在此过程中寻找到解决最值问题的方法.本文通过教学实践，枚举几例直

线与圆中的最值问题，以供参考.

【方放技巧】

考点：线圆最值

已知O及直线I,O的半径为r,点Q为O上一点，圆心O与直线I之

间的距离为d.

位置关系直线与。相离直线与。相切直线与0相交

图示O工

---------1

点。到直线/距离的

d+r2rd+r

最大值

过点。作直线/的垂线，其反向延长线与。的交点，即为

此时点Q的位置

点。

点。到直线/距离的

d-r0r-d

最小值

此时点。的位置过点。作直线/的垂线，与。的交点即为点。

拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定

边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解

【舞例令新】

【典例1】如图，在矩形A3CD中，3c=2A3=4,点E是A3的中点，点P是

矩形A3CD内一点，且EP=AE,连接CP,PD,则△PCD面积的最小值为

【典例2］如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且3D=2AD,DE〃BC,点M是DE的中点，连接CM.将4

ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，4BMC面积的最大值为.

【典例3】如图，在矩形A3CD中，A3=3,BC=4,点尸是矩形A3CD内一点,

且N3PC=90°,连接AP,PD,则△APD面积的最小值为.

【典例4］如图，在边长为2的菱形A3CD中，NA=60°,点般是AD边的中

点，点N是A3边上一动点，将△AMN沿所在直线翻折得到△AMN,连

接43,A'C,则△AZC面积的最小值为

D

ANB

【典例5】如图，在RtZXABC中，AB=3,3C=4,点。是AC边上一点，点E

是平面内一点，且DE=1,连接AE,CE,则四边形ABCE面积的最大值

为.

【变式1】如图，在四边形A3CD中，AD//BC,ZB=6Q°,ZBCD=90°,

43=12,3。=16.点时是A3上一点，AM=4,点N是四边形ABCD内一点,

且DN=5,连接CN,MN.

(1)当M,N,。三点共线时，求的长；

(2)求四边形3CNM面积的最小值.

BB

备用图

【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E,R分别为AD,3C上的

两个动点，连接EE将矩形沿ER折叠，点A,3的对应点分别为点H,G.

(1)如图①，当点G落在DC边上时，连接3G.

①若点G为。。的中点，求CR的长；

②试探究ER与BG之间的位置关系和数量关系，并说明理由；

(2)如图②，若点E为AD的中点，连接AH,HC,求四边形AHC3面积的

最大值.

专题02线圆最值（知识解读）

【专茎饯明】

直线与圆的位置关系是中考数学一个非常重要的内容，它涉及的知识点较多,

题型也千变万化.最值是数学知识体系中的重要内容，也是数学中最具挑战性的

问题.中考命题者对直线与圆知识中的最值问题常常是情有独钟，这种导向性使

得该知识成为教学中的重点与难点.从问题解决的思路来看，学生要想顺利地解

决此类问题，需要综合运用几何与代数的相关知识与方法，以及数形结合等思

想，并在此过程中寻找到解决最值问题的方法.本文通过教学实践，枚举几例直

线与圆中的最值问题，以供参考.

【方放技巧】

考点：线圆最值

已知O及直线I,O的半径为r,点Q为O上一点，圆心O与直线I之

间的距离为d.

位置关系直线与。相离直线与。相切直线与0相交

图示O工

---------1

点。到直线/距离的

d+r2rd+r

最大值

过点。作直线/的垂线，其反向延长线与。的交点，即为

此时点Q的位置

点。

点。到直线/距离的

d-r0r-d

最小值

此时点。的位置过点。作直线/的垂线，与。的交点即为点。

拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定

边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解

【舞例令新】

【典例1】如图，在矩形A3CD中，3c=2A3=4,点E是A3的中点，点P是

矩形A3CD内一点，且EP=AE,连接CP,PD,则△PCD面积的最小值为

【答案】3

【解答】解：,.•50=243=4,

：.AB=2,

•点E是AB的中点，

：.AE=BE=1.；

...点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动,

过点E作E/UCD于点孔

则SZCD=|CD=PQ'

...当尸。最小时，APCD的面积取得最小值•EP+PQNEF

当E,P,。三点共线时，P。取得最小值，最小值为ER-EP的值;

•••四边形A3CD是矩形，

：.EF=BC=4,

：.P。最小=EF-EP=3,

・・S4PCD最小=PQ最小=3,

故答案为：3.

【典例2】如图，iSAABC^AADE^,AB=AC=6,AD=AE,ZBAC=ZDAE

=60°,且3D=2AD,DE〃3C,点”是DE的中点，连接CM.将4

ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△3MC面积的最大值为.

【答案】12«.

【解答】解：连接AM,交BC于H,.

'：AB^AC,AD=AE,点/是DE的中点，

：.AM±DE,AH±BC,

将△ADE绕点A逆时针旋转180°,即M、M,H在同一直线上时，ABMC

面积取最大值.

'：AB^AC=6,AD=AE,NB4C=ND4E=60°,且皮）=2AD,

.,.AD=AE-2,BH=近-双=立-x6=3如,

__22

：.AM=^3-AD=^-x2=V3>

22

.,.AAf=百，

：・MH=+3V3~4^3>

此时，△BMC面积=JBC"1H=yX6X4V3=12V3.

故答案为：12«.

【典例3】如图，在矩形A3CD中，A3=3,BC=4,点尸是矩形A3CD内一点,

且NBPC=90°,连接AP,PD,则△APD面积的最小值为

【答案】2

【解答】解：•.•/3PC=90°,

...点P在以为直径的圆上，

即点P到的最大距离为2,

•••点尸到AD的最小值=3-1X4=1,

2

/.SAAPD=1X4X1=2,

2

二AAPD面积的最小值为2.

故答案为：2.

【典例4］如图，在边长为2的菱形ABCD中，NA=60°,点又是AD边的中

点，点N是A3边上一动点，将△AMN沿所在直线翻折得到△AMN,连

接A3,AC,则△ABC面积的最小值为.

【答案］«二1

由折叠知

又•“是A。的中点，

：.MA=MA'=MD,

点4的运动轨迹就是在以点M为圆心，MA长为半径的工诵上，

过点M作MELBC于点E,连接3。，

在菱形A3CD中，

"：AD=AB,ZA=60°,

△A3。是等边三角形.

是的中点，

点E与点8重合，

2272s

设点4到3C的距离为人，当点4在ME上时，/?取得最小值，最小值为

-A'M=y[3T，

.,.△A5c面积的最小值为=_13。・/1=工*2乂（V3-1）=6-1,

22

故答案为：Vs-1.

【典例5】如图，在Rt^ABC中，AB=3,3C=4,点。是AC边上一点，点E

是平面内一点，且DE=1,连接AE,CE,则四边形ABCE面积的最大值

为.

【答案】2

2

【解答】解：•.,在RtZVIBC中，ZB=9Q°,AB=3,BC=4,

•"•AC=VAB2+BC2=^32+42=5-

经分析，当。E,AC于。时，四边形ABCE面积的最大.

四边形ABCE面积的最大值为S四边形ABCE=Sz\45C+Sz\ACE=—A.R・EC+^AC♦DE

=yX3X4+1x5Xl=-^-

故答案为：IL.

2

【变式1】如图，在四边形A3CD中，AD//BC,ZB=6Q°,/BCD=90°,

43=12,3。=16.点”是A3上一点，AM=4,点N是四边形ABCD内一点,

且DN=5,连接CN,MN.

(1)当M,N,。三点共线时，求MN的长；

(2)求四边形3CNM面积的最小值.

备用图

【解答】解：(1)延长。4到E作于G,AE±BC^E,

VZB=60°,AB=12,

：.BE=6.

：.AD=EC=10,

'：AM^4,ZAMG=30°,

：.AG=2,MG=2^,

：.DG=\2,

"：DM2=DG2+MG1,

：.DM2=122+(2A/3)2,

：.DM=2^,

:.MN=2腌-5；

(2)取3c中点K,连接MC,MK,作NHLMC于H,DLLMC于L,

VZB=60°,BM=BK=8,

：.△M3K是等边三角形，

：.MK=KC=6,

/MKB=60°,

：.NKMC=/MCK=30°,

ZBMC=90°

**•MC~8,

SAMBC=l.MC*MB=3243,

2

...当△NMC面积最小时，四边形MBCN面积最小，

,:DN=5,

.•.当D,N,H三点共线时，NH最小,

△M0c面积最小，

由（1）知DC=AE=6我，

:.DL=®DC=9,

2

.•.M/最小值为：4,

.••SANMC的最小值为：、CM・NH=16如,

2

...四边形M3CN面积最小值为：32«+16百=48«.

【变式2】如图，在矩形A3CD中，AB=4,BC=6,E,R分别为AD,3C上的

两个动点，连接EE将矩形沿ER折叠，点A,3的对应点分别为点H,G.

(1)如图①，当点G落在DC边上时，连接BG.

①若点G为。C的中点，求CR的长；

②试探究ER与BG之间的位置关系和数量关系，并说明理由；

(2)如图②，若点E为AD的中点，连接AH,HC,求四边形AHC3面积的

最大值.

HH

【解答】解：（1）①如图①中，•••四边形ABC。是矩形,

AZC=90°,AB=CD^4,BC=6,

,:DG=CG=2,

由翻折的性质可知，FB=FG,

设FB=FG=x,

'：FG2=CCP+CF2