2024年“江南十校”2025届新高三第一次综合素质检测 数学试卷（含答案）

姓名座位号

(在此卷上答题无效)

绝密★启用前

2024年“江南十校”新高三第一次综合素质检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合N=b|log2X<2},B={x||x|<4),A[}B=

A.(-oo,4)B.(0,4)C.(-4,4)D.(-4,0)

2.记等差数列{为}的前九项和为S〃，已知名+4=8,则Sg=

A.28B.30C.32D.36

2

3.已知函数/(x)=l----，则对任意实数》,有

2+1

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(x)=2D./(-x)-/(x)=2

4.已知a,力都是锐角，cosa=-,cos(a+^)=--,求cos/?=

714

1395971

A.—B.C.—D.—

2989898

5.已知(l+2x)"的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中的一项的系数为

A.5B.16C.40D.80

6.已知正方体43cz)-4用GR的棱长为石，以顶点4为球心，2为半径作一个球，则球面

与正方体的表面相交所得到的曲线的长为

3〃5%c

A.——B.—C.2zrD.冗

22

数学试题第1页(共4页)

7.某次跳水比赛甲、乙、丙、丁,、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决

赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动

员丙第一个出场''的概率为

3114

AA、—B.-C.-D.—

135413

8.对于x>0,e?为一工必五之。恒成立，则正数2的范围是

A

A.42一B.—C.422eD.

e2e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为0,1为虚数单位，则下列说法正确的是

A.Z-2=|z|2

B.5+z>4+z

C.若目=1,则2=±1或2=±?

D.若1<目《收，则点Z的集合所构成的图形的面积为"

10.箱中装有5张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次，每次

取1张卡片.4表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，8表示事件“第二次取出的卡

片数字是偶数”，。表示事件“两次取出的卡片数字之和是6"，则

13

A.0(NU3)=1B.P(BUC)=—

C.Z与2相互独立D.3与。相互独立

11.定义：设/'(%)是函数/(%)的导数，/"(X)是函数/'(X)的导数，若方程/"(x)=o有实数

解不，则称点(玉)，/(/))为函数7=/(月的“拐点，经过探究发现：任何一个三次函数都

有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数/(%)=63+&2+^,

(ab丰0)的对称中心为(1,1),则下列说法中正确的有

A.a=—,b=-1

3

B.*)+呜)+・-+底)+碍)的值是19

C.函数/(%)有三个零点

D.过(-14)只可以作两条直线与y=/(x)图象相切

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.抛物线y=2/上的一点〃到焦点的距离为1,则点〃的纵坐标为,

13.已知样本七62,…，%的平均数为3,方差为4,样本必，y2,…，%的平均数为8，方差为2,

则新样本玉,々广•,%，必，力，,'•，%的方差为.

-----*------------>>-----»•1-----1-2

14.在△45C中，AB-CB-AC-BC=~BC,则tan(3-C)的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

如图，一个质点在随机外力作用下，从原点。处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个

单位.

•----•.....•-----•------•----<-----•-----•-*--•

-4-3-2-101234

(I)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；

(II)设移动5次中向右移动的次数为X,求X的分布列和期望.

16.(本小题满分15分)

如图，直角梯形48a>中，AB//CD,AB1.BC,ZDAB=60°>48=3=4,等腰

直角三角形4DE中，AE=DE,且平面4DE_L平面43C，平面4BE与平面CDE交于斯.

(I)求证：CD//EF；

(II)若CD=EF，求二面角4一3。一W的余弦值.

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17.(本小题满分15分)

已知a>0,函数/'(x)=xe*-金，

(I)证明/(x)存在唯一的极值点；

(II)若存在。，使得/(x)26-2a对任意xeH成立，求实数b的取值范围.

18.(本小题满分17分)

已知圆M：(X+1)2+/=16,动圆。过定点N(1,O)且与圆M内切，圆心。的轨迹为曲

线C.

(I)求曲线C的方程；

(II)曲线C上三个不同的动点P,E,尸满足尸E与PF的倾斜角互补，且尸不与曲线C的顶

点重合，记尸关于x轴的对称点为P,线段跖的中点为0为坐标原点，证明：P,H,

。三点共线.

19.(本小题满分17分)

设集合一歹2,xez,yez｝.对于数列｛%｝,如果qeM,(i=1,2,3-)，则

称｛%｝为“平方差数列”.

(I)已知在数列｛%｝中，％=3,5+1)%—〃4+i=l.求数列｛%｝的通项公式，并证明数

列｛2｝是“平方差数列”；

(II)已知"=2",判断也”｝是否为“平方差数列”？说明理由；

(III)已知数列｛5｝为“平方差数列"，求证：ciCjeM,(i,j=1,2,3...).

数学试题第4页(共4页)

2024年“江南十校”新高三第一次综合素质检测

数学答案

★选择题

题号1234567891011

答案BCAADBABADBCDABD

★填空题：

12.-13.8.814.—

83

★解答题：

15.

解：(I)设质点移动到1为事件则向左移动2次，向右移动3次，=.......5分

(II)X的可能取值为0,1,2,3,4,5

尸(X=0)=C；(；)5=:，/0=1)=d；］=a，尸(X=2)=。汩丫噂

尸(X=3)=C；(f5=M，P(X=4)=C：(1)5啖nX=5)=C(iJ=±

X012345

P155551

323216163232

......11分

J^flU^^£：m=0x—+lx—+2x—+3x—+4x—+5x—=-......]3分

3232161632322

16.

解：(I)NBu平面/ME,CDB平面4BFE

；.CD〃平面ABFE........2分

又平面ABE与平面CDE交于EF，CDu平面CDE

J.CDUEF........4分

(II)取4D中点O,连接OE,OB,BD

VZDAB=60°.AB=AD=4：./\ABD是等边三角形

由三线合一得：OBJ.AD5分

又，;△/£)石是等腰直角三角形

.'.OEA.AD

•.•平面石1平面平面/。石n平面=40

•••0七1底面/8C。........6分

•••08u平面/8C。

：.0E10B

故0/,0B,。石三线两两垂直.......7分

以。为坐标原点，分别以0/,0B,0石所在直线为丫轴，丁轴，z轴建立空间直角坐标系,

/(2,0,0),8(0,271,0),C(-3,V3,0),。(一2,0,0),£(0,0,2)..............8分

,:CD=EF且由第一问得知CDHEF,

所以四边形CD即是平行四边形，

可得：F(-1,V3,2),..............9分

•••BC=(-3-V3,0),CF=(2,0,2)

m-BC-0-3x-V3y=0

设平面BCF的法向量为=(x,y,z),贝卜

nvCF-02x+2z=0

令x=l,得：丫=-6,z=-l,解得：m=(],—JJ,—1)..............12分

平面ABC的法向量为n=(0,0,1)

--mnV5

COS<W77>=p^=——..............]4分

IIII

设二面角4-BC-/大小为6,由题意得。为锐角所以cos。二2..............15分

5

2

17.

解：(I)/'(x)=(x+l)e*-a,/"(x)=(x+2)e*........2分

当xe(—8,—2)时，/ff(x)<0,/'(x)单调递减；当xe(-2,+8)时，/ff(x)>0,/'(x)单调递增.

.......3分

①当x<—1时，/,(x)=(x+l)ex-<7<-a<0,所以x<-1时/'(x)无零点；........4分

②当XN-1时而1)=一。<0,/f(<7)=(<7+l)ea-(7>(<7+1)-£7>0,

由零点存在定理，XN—1时，/'(X)有唯一零点〃7c........6分

综上，/'(X)在7?上存在唯一零点.

所以，当xe(-8,〃7)时，/(x)<0,/(x)单调递减；当xe(〃7,+co)时，f\x)>0,/(x)单调递增.

所以/(x)存在唯一的极值点〃?........7分

(II)由⑴知/(Rm=/(〃?)，

此时/''(〃?)=(〃?+l)e"'一。=0,得a=(〃?+1)6”，由于a>0,所以〃?〉-l........8分

/0)26-2。等价于64_/'0：)+2。，令力(x)=/(x)+2a,则

“(x)min=f(〃?)min+2a=〃?e"—a"?+2a=me"'—〃?(〃?+1)，加+2(〃?+l)em-(-m2+2m+2)em,m>-\

.......10分

令v(x)=(-x2+2x4-2~)ex,x>-1

若存在a,使得了(x)2b—2a对任意xeR成立，等价于6<丫(乂\皿，........11分

M(x)=(-x2+4)ex,x>-l

当xc(T,2)时，M(x)>0,v(x)单调递增；当xe(2,+a))时，v'(x)<0,v(x)单调递减，

所以u(x)max=丫(2)=2«2,.......14分

故6«2e2,所以实数6的取值范围(—Sie?].......15分

3

18.

解：（D已知圆〃的圆心为/（一1,。），半径为4；设动圆。的圆心为Q（xj）,半径为H.

|。叫=R,\DM\=4-R,\DM\+叫=4>\MN\,点D的轨迹是以M,N分别为左右焦点且长轴为4的椭

圆，则曲线C的方程为且+片=1.........5分

43

（II）设尸（%,%）,£（再,必）,尸（》2，%）,8。3，8），尸'（/，—为），由题意x产芍，必「必，可知

2222

2》3=占+乂2,2%=弘+y2，—+—=1,—+—=1

4343

7y,-V,3（x,+x2）3x,

两式相减得kEF=力"上=~弋=—广,7分

4（必+必）4%

而上0H=右，所以后QH=4

8分

X33lCnRrR

设直线PE的方程为y-y0=k（x-x0）,则直线PF的方程为y-y0=-k（x—％,

将PE的方程代入片+之=1得

43

（3+4^2），+84（%-Ax0）x+4（j^0_kx°y-12=0①

X=x。是方程①的一个根，/看=4（%一H°）：T2②

10分

°13+4公

同理可得xx=%%+狂。）：T2③

0211分

°23+4/

②一③得（（%-4）=[6翳④

3+44

②+③得%（/+马）=8（%2+」/：）-24⑤

八12/々।c

%一%=%（看一％）+%一[一〃（乙一%）+%]=k（X[f）-2%=%0（/+.2）―2瓯2

⑥

X1~X2X1~X2X1~X2X0（Xl~X2）

80；+上2/2）

一2kx

o8歹。2一24-6婷

3+4左2

把④⑤代入⑥，得/CEF⑦

16狂0%一16包）外

3+4左2

4

22

显然,+—=1，得8yo2=24—6/2⑧

把⑧代入⑦，得左即=二1'/\=也

..............14分

一16狂0%4%

而k°p一，所以kop,一..............15分

X0

.・kop.=k0H16分

即P,H,。三点共线.17分

19.

解：(D由(〃+1)。“一〃a“+i=1,得(/+2)%+i-("+1)凡+2=1，

两式相减，得(2〃+2)%+]=(〃+1)(凡+2+%),即2。向=+%，

所以数列｛%｝是等差数列.

67,=3

由,，得4=5,所以公差—%=2，

故a“=q+("-l)d=2〃+1,即a“=2〃+1.5分

又因为2〃+1=(〃+1)2—〃之，〃+leZ,"eZ,

所以2〃+leM,即数列｛%｝是