二次函数（原卷版）-2023年江苏省中考数学一轮复习

考点18二次函数

在命懑趋势

二次函数主要包括：二次函数的概念、二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数的解析式、二

次函数与一元二次方程以及用二次函数解决实际问题。在江苏省各地的中考中，二次函数是必考点，考查

形式涉及选择题、填空题和解答题。二次函数的概念、图像与性质的考查以选择题和填空题为主，难度中

等偏难，在解答题方面二次函数常与几何相结合进行综合考查，一般作为压轴题进行考查。

在知巧导图

二次函数的定义

二次函数的概念

二次函数的形式

待定系数法求二次函数的解析式

二次函数的图像

二次函数的图像与性质/二次函数的随

二次函数的系数之间的关系

从函数的观点看一元二次方程

二次函数与一元二次方程/

---------------------------二^二次函数与X轴的交点问题

二次函数的图像变换

二次函数的实际应用

在重W考向

一、二次函数的概念；

二、二次函数的图像与性质；

三、二次函数与一元二次方程;

四、二次函数的实际应用。

考向一：二次函数的概念

一、二次函数的概念：一般地，形如广公2+法+c(〃，'。是常数，〃邦)的函数，叫做二次函数.

二、二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：y=ax1+bx+c(〃，b,c为常数，.

(2)顶点式：y=a(x-/z)2+k(〃，h,左为常数，。加)，顶点坐标是(h,k).

(3)交点式：y=a(x-xi)(x-X2),其中方,短是二次函数与x轴的交点的横坐标，存0.

真例引襁

J._______I________L

1.函数y=(a-3)xM+(tz-l)%+3的图象是抛物线，则〃的值是()

A.-1或3B.-1C.3D.aw3

2.下列函数一定是二次函数()

A.=ax2+bx+cB.y=4x+3

1

C.y=9xH—z-D.s=产一2,+1

X

3.下列各式中，y是关于％的二次函数的是()

A.y=2x+lB.y=炉+4C.y=ax2+bx+cD.y2=x+4-

4.已知点(-3,%)，(T%)，(1,%)在下列某个函数图像上，且为<%<%，这个函数可能是()

22

A.y=2x9B.y=—C.y—xD.、=一

x

5.抛物线y=—Y,y=/_3,y=—共有的特征是(

A.对称轴是y轴B.开口向上C.都有最低点D.y随x的增大而减小

考向二：二次函数的图像与性质

1.二次函数的图象与性质

解析式二次函数产QN+6X+C(a,b,c是常数，〃加)

b

对称轴x=--

2a

b4ac-b2、

顶点(—,)

2a4。

。的符号a>0〃<0

图象

开口方向开口向上开口向下

%6fH4ac—/“b4ac-b-

最值当％-c时，y最小值一当冗=一二一时\y最大值二--------

2a4a2a4a

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

bb

当％<_时，y随x的增大而减小；当X<-—时，y随尤的增大而增大；

2a2a

增减性

bb

当x>———时，y随x的增大而增大当％“时，y随x的增大而减小

2a2a

2.二次函数图象的特征与a,b,c的关系

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=Q对称轴为y轴

bab>0(a与b同号)对称轴在y轴左侧

ab<0(a与Z?异号)对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

3.二次函数的最值

b_4ac-b2

(1)当a>0时，抛物线>=。必+加：+。有最低点，函数有最小值，当工=——时,

y最小二

2a4a

4ac-b~

(2)当a<0时，抛物线丁=。f+6%+。有最高点，函数有最大值，当工=——时,

'最大=F"

2a

4.抛物线的平移

(1)将抛物线解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标为Ui,k).

(2)保持y=«%2的形状不变，将其顶点平移到(九k)处，具体平移方法如下:

向上（60）【或下（ko）】平移㈤个单位r

y=ox2

向右口>0）向右（〃>0）

［或左口<0）】［或左仇<0）】

平移同个单位平移㈤个单位

U

y=a（x-h）2Ay=a（x-h）2+k

向上go）【或下（%<0）］平移冏个单位---------

【知识拓展】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求

出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移,可根据顶点之间的平移求出变化后的解析

式.

真例引撷

1.抛物线》=-2/+1的对称轴是（）

A.直线x=LB.直线％=

C.直线x=2D.直线x=0

22

2.已知点（%,-7）和点（%,-7）（其中玉片々）均在抛物线y=«X2上，则当x=X］+无2时，y值是（）

A.0B.-3.5C.-7D.-14

3.已知二次函数y=o%2+bx+c的图像如图所示，则下列选项中正确的是（）

A.c<0B.b1-4«c>0C.—<-----<2D.4a—2b+cX)

22a

4.二次函数）=改2+笈+。（。。0）的图像如图所示，现有以下结论：①。>0；②出2<0；©4（7+2/7+c>0；

④〃-4QC>0；其中正确的结论有（）

5.已知二次函数y=-（x-3y+4,当-IV尤44时，该函数（）

A.有最大值、最小值，分别是3,0

B.最大值是4,无最小值

C.最小值是-12,最大值是3

D.最小值是-12,最大值是4

考向三：二次函数与一元二次方程

1.二次函数y=ax：2+6x+c（分0）,当y=0时，就变成了一元二次方程^^+法+/。（a/））.

2.ax2+bx+c=0（a#0）的解是抛物线y=a%2+bx+c（存0）的图象与无轴交点的横坐标.

3.（1）炉Tac>0g方程有两个不相等的实数根，抛物线与无轴有两个交点；

（2）〃口团力带方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）尻口ac<0O方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.

翼例引微

J-■________________I

1.一元二次方程/+foc+c=3的两个根分别为力和n（m<n）,若二次函数y=/+bx+c与x轴的交点为4,

巧（为<々）则对于了1，巧的范围描述正确的是（）

A.m<x}<x2<nB.\<m<n<x2C.m<n<<x2D.xx<m<x2<n

2.二次函数>=——3x-4的图像与x轴的两个交点间的距离是（）

A.3B.4C.5D.6

3.二次函数y=^2—"+C（QW0）的图象如图所示，其对称轴为1=i,下列结论中：

①QC>0；®2a-b=0；③人2一4ac>0；®a-b+c>G.

正确的是（）

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

4.根据下列表格的对应值：判断方程+&r+c=O一个解的取值范围是（）

0.590.600.610.620.63

2x2+bx+c-0.061-0.04-0.0170.00440.027

A.-0.017<x<0.0044B.0.60<x<0.61

C.0.61<%<0.62D.0.62<x<0.63

5.如图，在平面直角坐标系中，直线,二痛+〃与抛物线y=o?+—+c交于A、B两点,已知A、8两点的

1.下列各式中，y关于x的二次函数的是（）

12

A.y=4xB.y=3x-5C.y=一D.y=2x2+l

x

2.如图，已知抛物线丁=尔+。与直线，=履+相交于A（-3,yJ,3。,%）两点，则关于工的不等式

双？+。之丘+机的解集是（)

A.x<-3x>1B.尤（-1或尤23C.-3<x<1D.-1<%<3

3.（2022春•广东深圳•九年级期末）已知二次函数y=a/+2x-3,则该函数的图象可能为（）

4.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2/+1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则

经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（）

A.>=2（尤-3）气3B.y=2（x+3）2+2

C.y=-2（x-3）2+2D.y=-2（x-3），3

5.设A。，％）,B（-2,%）是抛物线y=-（x+iy+a上的两点，则%、%的大小关系为（）

A.%<%B.%>丫2C.%4%D.%2%

6.如图，二次函数y=o?+bx+c的图象经过点A（-3,0）,3（1,0）,与V轴交于点C.下列结论：①"c>0；

②3a-c=0；③当x＜。时，，随尤的增大而增大；④对于任意实数机，总有o-bNa/-Zwz.其中正确的

个数为()

A.1个B.2个D.4个

7.将抛物线y=2x?+l绕原点。旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为()

A.y——2厂+1B.y——2x~—1C.y=—/无？+1D.y———x~—1

8.点尸在二次函数y=(x-l『+3的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3,则点P的坐标为

9.已知实数。、6满足〃-/=4,则代数式4-3/+a-12的最小值是.

10.当xWl时，二次函数y=-(x-〃z)2+〃/+1有最大值4,则实数机的值为.

11.抛物线―江+bx+c经过点4(-3,0),3(4,0)两点，则关于尤的一元二次方程a(x-2)2+c=2》-fcv的

解是

12.将抛物线y=(x-2『+3绕坐标原点旋转180。，得到的抛物线解析式为.

13.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-2,1)、(1,1),抛物线^=苏+桁+。("0)的顶

点在线段AB上，与x轴相交于C、。两点，设点C、。的横坐标分别为不、演，且演＜马.若看的最小值

是-3,则巧的最大值是.

14.某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500

千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量

可增加50千克.

(1)直接写出工厂每天的利润y元与每千克降价x元之间的函数关系式(要求化为一般式);

(2)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？

(3)当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？

15.已知二次函数y=x2-2mx-l(机为常数)

(1)求证：不论机取何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

⑵当-14〃区2时，求该函数图像的顶点纵坐标z的取值范围.

16.如图，抛物线y=-Y+bx+c与x轴交于A,3(-3,0)两点，与，轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点P在抛物线上，点M在x轴上，若以5,C,P,M为顶点的四边形是以3c为边的平行四边形,

求点尸的坐标.

17.某著名索拉桥，在桥头立柱两侧拉着钢索，以其中一根立柱为y轴，以桥面为x轴建立平面直角坐标系,

如下图所示，左侧钢索近似于直线，底端在远离立柱200米的桥面上的8处固定，C处离桥面100米.右

侧钢索近似于抛物线，该抛物线最低处A离立柱300米，离桥面10米.

(1)求出抛物线和直线的函数关系式；(不要求写自变量的取值范围)

(2)现要在左右两条钢索上各加一条竖直钢索OE和FG进行加固，要求它们的水平距离相距200米，请问这

两条竖直钢索OE和尸G加在何处，使得它们的高度之和最小？高度之和最小是多少？

18.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2mx+m2-9.

(1)求证：无论加为何值，该抛物线与X轴总有两个交点；

(2)该抛物线与x轴交于A,B两点,点A在点8的左侧，且304=03,求优的值.

19.已知开口向上的抛物线解析式为y=a(x-l)2-2,回答下列问题：

(1)该抛物线的顶点坐标为.

(2)若该抛物线过(2,0),则a的值为.

(3)如图，点A、8的坐标分别为(3,1)、(5,1),若该抛物线与线段AB有公共点，则a的取值范围是

20.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线>=依2+法-4与x轴交于点A3,与y轴交于点C,

直线y=x-4经过8、c两点，03=404.

(1)如图1,求抛物线解析式；

(2)如图2,点尸为第一象限抛物线上一点，过点尸作PZJLx轴交8C于点。，交AB于点E,设点尸的横坐

标为好线段尸。的长为d,求d与，的函数关系式(不要求写出自变量，的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，当d=4时，点〃是直线PD上一点，BN//PM,连接过点A作

垂足为延长A"交BN于点F,交抛物线于点Q,当/HFN=2ZHMF,MN+NF=5时，求点。的坐

标.

t

0真题过关

1.（2022•江苏泰州・统考中考真题）已知点（-3,»）,（-1,%）,。,%）在下列某一函数图像上，且为<%<%那

么这个函数是（）

33

A.y=3xB.y=3x2C.y=-D.y=——

xx

2.（2021•江苏徐州・统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=Y的图像向左平移2个单位长度,

再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A.y=（x-2）2+1B.y=（尤+2'+1C.y=（x+2）?-lD.y=（x-2）2-l

3.（2021.江苏常州•统考中考真题）已知二次函数y=（a-l）f,当尤>0时，y随x增大而增大，则实数a的

取值范围是（）

A.a>0B.a>lC.awlD.a<\

4.（2022•江苏徐州・统考中考真题）若二次函数y=V-2》-3的图象上有且只有三个点到无轴的距离等于m,

则m的值为.

5.（2022・江苏盐城•统考中考真题）若点P（m,"）在二次函数y=/+2x+2的图象上，且点P到,轴的距离

小于2,则”的取值范围是.

6.（2022・江苏无锡・统考中考真题）把二次函数y=x2+4x+机的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个

单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么机应满足条件：.

7.（2022.江苏淮安.统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、3两种品牌的粽子，两次进

货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，总费用为7000元；

第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元.

（1）求A、8两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

（2）当3品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对5品牌粽子进行降价

销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当8品牌粽子每袋的销售价

降低多少元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

8.（2017•江苏扬州•中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量

忒千克）与销售价格双元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格尤（元/千克）3035404550

日销售量，千克)6004503001500

(1)请直接写出P与X之间的函数关系式：

(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出。元(a＞0)的相关费用，当40S烂45时，农经公司的日获利的

最大值为2430元，求a的值.

9.(2022•江苏南通・统考中考真题)定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函

数图像的‘为阶方点例如，点(〈，口是函数图像的";阶方点“；点(2」)是函数＞=2图像的“2阶方点”.

133)2x

(1)在①1-2,-,

；②(-L-1)；③(1,1)三点中，是反比例函数产工图像的“1阶方点”的有(填序

X

号);

⑵若y关于尤的一次函数y=6-3。+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求。的值;

(3)若y关于X的二次函数y=-(x-n)2-2"+1图像的“〃阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围.

10.(2022•江苏淮安・统考中考真题)如图(1),二次函数＞=-/+6尤+。的图像与无轴交于A、8两点，与，

轴交于C点，点8的坐标为(3,0),点C的坐标为(o,3),直线/经过8、C两点.

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标;

(2)点P为直线/上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M,再过点V作y轴的垂线

与该二次函数的图像相交于另一点N,当时，求点P的横坐标;

(3)如图(2),点C关于x轴的对称点为点D,点尸为线段5c上的一个动点，连接AP,点。为线段AP上一

点，且AQ=3PQ,连接。。，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出。。的长.

在模年检测

1.（2022.江苏苏州.苏州市振华中学校校考模拟）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于

y轴对称.轴，AB=4cm,最低点C在x轴上，高C"=lcm,3。=2cm.则右轮廓线OFE的函数解

析式为（）

AHBDE

co\~r

Li

1111

A.y=-（x-3）92B.y=-（.x+3）293.y=--（x+3）72D.j=-（x-4）29

44

2.（2022•江苏徐州•校考二模）二次函数y=ad+bx+c（aw0）的图像如图所示，则函数值y>。时，X的取

值范围是（）

\

A.x<-lB.x>3C.—lv%<3D.x<—1或尤>3

3.（2012.江苏淮安.统考一模）在同一坐标系中一次函数丁=仆+。与二次函数>=以2+。的图象可能是（）

7W

A.B.

y-1/

C.D.

4.（2022•江苏徐州•校考二模）关于抛物线y=--4x+4,下列说法错误的是（）

A.开口向上B.与尤轴有两个重合的交点

C.对称轴是直线x=2D.当尤＞2时，y随尤的增大而减小

5.（2022•江苏徐州•校考二模）下列抛物线，顶点坐标为（1,g）的是（）

,1,1

A.y=（x+ir+-B.y=（x-I）2--

C.y=-（x-l）2+-D.y=-（x+l）2--

6.（2022•江苏南通•校联考一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离无（单位：m）

17S

之间的关系是＞=-32+$+：.则他将铅球推出的成绩是m.

7.（2022•江苏无锡•校考二模）若二次函数y=，砒2+2（加_1）尤+加，当加=时，与x轴有唯一的交点.

8.（2022•江苏泰州•校联考三模）小明经探究发现：不论字母系数相取何值，函数

的图像恒过一定点P,则尸点坐标为.

9.（2022・江苏盐城•校考二模）将二次函数y