2022-2024北京重点校初二（上）期末数学汇编：角的平分线的性质

第1页/共1页2022-2024北京重点校初二（上）期末数学汇编角的平分线的性质一、单选题1．（2022北京朝阳初二上期末）点P在∠AOB的平分线上（不与点O重合），PC⊥OA于点C，D是OB边上任意一点，连接PD．若PC=3，则下列关于线段PD的说法一定正确的是（）A．PD=PO B．PD＜3 C．存在无数个点D使得PD=PC D．PD≥32．（2022北京北师大实验中学初二上期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，，垂足为点E，，，，则AC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024北京东城初二上期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（

）

A．的角平分线与边上中线的交点B．的角平分线与边上中线的交点C．的角平分线与边上中线的交点D．的角平分线与边上中线的交点二、填空题4．（2023北京东城初二上期末）如图，在是的平分线，于点E，．则的面积大小为．5．（2023北京北师大附中初二上期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是．6．（2022北京西城初二上期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有（填写序号）．7．（2022北京海淀初二上期末）如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为．8．（2024北京朝阳初二上期末）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为．三、解答题9．（2023北京朝阳初二上期末）阅读下面材料：直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法．方法一

利用直尺和圆规作角的平分线．已知：．求作：的平分线．作法：如图①，（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C．（3）画射线．射线即为所求．方法二

利用三角板画角的平分线．画已知的平分线．画法：（1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且．（2）画射线．射线即为所求．(1)请证明方法一中的是的平分线；(2)直接写出方法二中的是的平分线的依据．10．（2023北京东城初二上期末）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．

(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．

参考答案题号123答案DDA1．D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为3，再根据垂线段最短解答即可．【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PC=3，∴点P到OB的距离为3，∵点D是OB边上的任意一点，根据垂线段最短，∴PD≥3．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．2．D【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质，得出，根据三角形面积公式求出，根据，求出，根据三角形面积公式即可得出．【详解】解：过点D作于点F，如图所示：∵AD平分∠BAC，，∴，∵，∴，∵,∴，∵，∴，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，作出辅助线，求出，是解题的关键．3．A【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得的面积的面积，的面积的面积，然后利用等式的性质可得的面积的面积，即可解答．【详解】解：如图：作的平分线交于D，作的中线交于H，∵平分，点H在上，∴点H到、的距离相等，∵是边上的中线，∴的面积的面积，的面积的面积，∴的面积的面积的面积的面积，∴的面积的面积，∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．4．13.5【分析】根据角平分线的性质可得D到的距离为3即可求得的面积．【详解】∵是的平分线，∴D到的距离等于的长，∴，故答案为：13.5．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上．5．30【分析】作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：作于E，如图，由题意得平分，而∴，∴的面积．故答案为：30．【点睛】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．6．①③④【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．【详解】解：在中，和的平分线相交于点，，，，，；故②错误；在中，和的平分线相交于点，，，，，，，，，，，故①正确；过点作于，作于，连接，在中，和的平分线相交于点，，；故④正确；在中，和的平分线相交于点，点到各边的距离相等，故③正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．7．4【分析】过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可．【详解】解：过F作FG⊥BC于G，∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，∴FG=EF=2，∵AD为△ABC的BC边上的中线，∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，∴S△CDF=S△BFC=BC·FG=×8×2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．8．20【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作，交延长线于点，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后由四边形的面积求解，即可获得答案．【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点，∵平分，，，∴，∴四边形的面积．故答案为：20．9．(1)见解析(2)答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【分析】（1）先根据证明，得到，即可证明是的平分线；（2）在角平分线的性质中任选一条符合题意的依据作答即可．【详解】（1）证明：∵，∴．∴．∴是的平分线．（2）解：答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．10．(1)见解析(2)【