广西南宁市某中学2024-2025学年高一年级上册月考（一）数学试卷【含解析】

南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合拉=3一2<、<2},集合N={T0,1,2},贝/皿=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{x|-l<x<2}D,^x|-l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的定义直接求解即可.

【详解】因为M={H—2<X<2},N={-l,0,l,2},

所以McN={—1,0』},故A正确.

故选：A

2.如果则正确的是（）

A.若a>b,则，<一B.若a>b,贝

ab

C.若a>b,c>d,则a+c>6+dD.若a>b,d>d,则

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A:取a=2,b=—1则工〉工，故A错，

ab

对于B:若c=0,则4o2=加2,故B错误，

对于C:由同号可加性可知：a>b,c>d,贝Ia+c>6+d,故C正确，

对于D:若a=2/=l,c=-2,d=-3,则ac=-4,bd=-3,ac<bd,故D错误.

故选：C

3.设命题甲为“0<x<3"，命题乙为“年一1|<2"，那么甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先解绝对值不等式得到命题乙，再根据充分条件、必要条件判断即可；

【详解】解：因为,一1|<2,所以—2<x—1<2,解得—l<x<3,

命题乙为“上一1|<2"，即命题乙：—l<x<3

因为命题甲为"0<x<3"

二甲n乙，乙推不出甲，

故甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

4.已知实数x,了满足一l<x<4,2<y<3,则2=》一_};的取值范围是（）

A.{z|-3<z<1}B.{z|-4<z<2}C.{z|-3<z<2}D.[z\-4<z<-3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式性质即可得到答案.

【详解】由题意得一3<一了<一2,则一4<x—y<2,

所以{z|-4<z<2}.

故选：B

5.若不等式X?+ax+b>0的解集是{x|x<-3或%>2},则°,6的值为（）

A.a=l,b=6B.a=-1,b=6

C.6z—1»b——6D.a——1,b=-6

【答案】C

【解析】

【分析】-3,2是方程必+"+6=0的两个根，由韦达定理得到答案.

2

【详解】由题意得-3,2是方程x+ax+b^0的两个根,

故一3+2=_a,-3x2=6,解得a=1,6=-6.

故选：C

6.二次函数y=a/+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=?与正比例函数y=（b+c）x在同一坐标系

【答案】B

【解析】

【分析】

由二次函数图象可知4>0,c<0,再根据对称轴和x=l时的值，可得b+c〈O,从而可判断.

【详解】由二次函数图象可知Q>0,c<0,

由对称轴x------->0,可知6<0,

2a

当x=l时，a+b+c<Of即Z?+c<0,

所以正比例函数〉=（b+c）x经过二四象限，且经过原点，

反比例函数了=区图象经过一三象限，

故选：B.

7.在R上定义运算：。㊉b=（〃+l）b.已知10烂2时，存在x使不等式（冽一%）㊉（加+x）<4成立，则实数加的

取值范围为（）

A.{m\—2<m<2}B.{m\—l<m<2}

C.{m\—3<m<2}D.{m\l<m<2}

【答案】c

【解析】

【分析】根据定义求出（加一x）㊉（加+x）=/—N+m+x,将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成

立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.

【详解】依题意得(加一X)㊉(加+x)=("Z—x+l)("z+x)=%2—x2+"z+x,

因为1三区2时,存在x使不等式(心一x)㊉(7〃+X)<4成立，

所以存在l<x<2,使不等式m2+m<x2—x+4成立，

22—

即当13烂2时，m+m<(xx+4)max.

因为1W烂2,所以当x=2时，x2—x+4取最大值6,

所以加2+加<6,解得一3<%<2.

故选：C.

【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一

元二次不等式的解法，属于中档题.

8.若“必-3x-4〉0”是“/-3◎-的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

A.一3尚

B.-2,t

4

C.-3]U[1，+°°)D.—co,-2]U[->+℃>

【答案】D

【解析】

【分析】将必-3x-4>0的解集记为A,V-3"-10/的解集记为8,由题意可知3是A的真子

集，由子集的定义求解即可.

【详解】将——3x—4〉0的解集记为A,工2-3"-10/>0的解集记为瓦

由题意一一3》一4〉0是Y一3办-10/>。的必要不充分条件可知8是A的真子集.

X2-3X-4>0,解得4={xh>4或x<—1},

x?-3办-10/>o,则(x-5a)(x+2a)>0,

(1)当a20时，8={x|x<-2a或x>5a},

5a>44

则c,(等号不能同时成立)，解得—.

~2a<-15

(2)当a<0时，8={》|》<5。或工>一2研，

—2ct>4

则u,（等号不能同时成立），解得a4—2.

5a<-1

4

由（1）（2）可得。或aW—2.

故选：D.

【点睛】将两个不等式之间的必要不充分性转化为其解集之间的包含关系是本题解题的关键，解题过程中

注意分类讨论思想的运用.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.XwN是xe的必要不充分条件

B.“。〉1力〉1”是“仍>1”成立的充分条件

C.若夕：加eN,“2〉2",则—i/j:eN,«2<2"

D.x,y为无理数是X+N为无理数的既不充分也不必要条件

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD,根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断

C.

【详解】对于A,若xwN,则xeNuB,但由xeNuB不能推出xeN,

所以xe/是xeNuB的充分不必要条件，故A错误；

对于B,。〉1力〉1时，ab>l一定成立，

所以。〉1力〉1是ab>l成立的充分条件，故B正确；

对于C,命题夕：〉2",则「夕：\/〃€电/42",故C正确；

对于D,当x=0,y=—正时，x+y=Q,

当x=2,y=®时，x+N为无理数，

所以x，V为无理数是x+N为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确.

故选：BCD.

10.已知a,6均为正实数，且a+6=l,则（）

A.ab的最大值为了B.—I—的最小值为2

4ab

2D2r21

C./+2〃的最小值为§M+占的最小值为I

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用基本不等式即可解得；

对于B,—+—="+—=—+——1结合a+3=1代换即可用基本不等式解决;

ababab

对于C,消元变为给定范围内二次函数最值问题；

上+—=2-2）结合代换即可用基本不等式解决.

对于D,（"++伍+a+2+b+l=4

a+2b+\a+2b+1

【详解】对于A,

因为a,6均为正实数,且a+6=1,

a+b)21

所以abW

~4

当且仅当Q=b=，时,

等号成立，故A正确;

2

对于B,

621—a21

--1—=----1—=--1--1

ababa1

2

a+"T=3+?+1

b算-

>3+2^---1=2+2^2,

当且仅当？="即1力=2—近时，等号成立，故B错误;

ab

对于C,

a2+262=(l-Z))2+2Z>2=362-26+l=3^-1^+g,

122

当6=3，。=］时，/+2〃的最小值为§,故C正确；

对于D,

a2b1_(a+2-2)2(6+1-1)2

Q+2b+1Q+2b+1

4i

=(a+2)-4+------+(6+1)—2+——

V7Q+2V7b+1

=»+」一+「

a+2b+\

2+b+l)-2

』5+3+52

4Q+2b+1

/5+2HM.£12_2=1(

4Va+2b+\4

当且仅当4("D=g即a=21=」时,等号成立，故D正确.

a+2b+\33

故选：ACD.

11.已知关于x的不等式组aV—丁―3x+44b,下列说法正确的是（）

4

A.当a<l<b时，不等式组的解集是0

B.当a=l,6=4时，不等式组的解集是｛x|04xV4｝

C.如果不等式组的解集是｛x|aVx<b｝,贝同-。=4

D.如果不等式组的解集是｛x|a<x<6｝,则a=g

【答案】BC

【解析】

3,

【分析】因为二次函数y=—/一3》+4最小值为1,由一元二次不等的求法可判断A错误;当a=1,b=4

4

时，可解出不等式组的解集，判断B错误；当不等式组。41――3x+4<b的解集是｛x[a<x<6｝时，

—3x+41,即a4l,再由因此x=a,x=b时，二次函数y=（——3x+4的值都等于b,可

解出b的值，从而求出a的值，可判断C正确，D错误.

【详解】因为二次函数y=/x2—3x+4最小值为1,又。<1<6,

由一元二次不等的求法可知不等式组a<-x2-3x+4</7解集不是0,故A错误；

4

3,

当a=l时，不等式aV：x2—3x+4即为J—4》+420,解集为R，

4

3

当6=4时，不等式:一一3》+4<6即为——4x<0,解集为|x[0<x<4],

4

所以不等式组的解集是｛x|0Wx<4｝,故B正确；

当不等式组aw1/—3x+4<b的解集是｛x[a<x<6｝时,

2

Q«1-x-3x+4j,即QW1,

I4/min

3、

因此x=Q,x=b时，二次函数夕二^%—3x+4的值都等于6,

34

所以:"—36+4=6,解得6=_或6=4,

43

434

当6=一时，由一a?—3Q+4=6=—,

343

42

解得或。=g,不满足不符合题意；

3,,

当6=4时，由一/一3。+4=Z)=4,解得a=0或a=4,

4

因为a=0满足所以a=0,此时6-。=4一0=4,

所以C正确，D错误.

故选：BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.命题，以21,/一1<0"的否定是.

【答案】3x0>l,x^-l>0

【解析】

【分析】由命题否定的定义即可求解.

【详解】由命题否定的定义，可知命题“Vx21,x2—1<0”的否定是“3/21,另一120”.

故答案为：3x0>1,XQ-l>0.

13.函数y=(x+5)(x+2)a〉—1)的最小值为.

x+1

【答案】9

【解析】

【分析】由题意得x+l>0,原函数表达式可化为关于x+1的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等

式求最值的问题，即可得答案.

【详解】因为x>—l,则x+l>0,

所以x~+7x+10(x+1)"+5(x+1)+4

'x+1x+1

44

=(x+l)+——+5>2.(x+1)------+5=9,

x+1\x+1

4

当且仅当x+l=——即X=1时等号成立，

x+1

...已知函数的最小值为9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行

配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.

14.设方>0,且jm+b=2,则q的最小值为___________.

b

【答案】26-4##-4+26

【解析】

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】因为而1+6=2,所以。=(2—6)2—1=/—46+3,

所以*=6+3—422。^—4=2百—4,当且仅当a=6—46)=G时取等号.

故答案为：2G-4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)已知x>0,y>0,且2x+3歹=6,求孙的最大值；

19

(2)已知1>0/>0,—+—=1,求x+歹的最小值.

xy

【答案】|；16.

【解析】

【分析】(1)根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果；

(2)根据已知条件，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求得结果.

【详解】(1)因为x〉0,y〉0,则2x+3y=622而3，则孙三之，

3

当且仅当2x=3y,且2x+3y=6,即x=万j=1时取得等号.

故9的最大值为|.

19

(2)因为x>0,y>0,।—=1,

^y

故x+y=(x+y)—+—=10+—+—>10+2J—x^-=16,

\xy)yxyyx

9xv19

当且仅当一=」，且一+—=1,即x=4,y=12时取得等号.

yxxy

故x+y的最小值为16.

16.设集合尸={x卜2<x<3},。={x[3a<xVa+1}.

(1)若。w0且。仁尸，求。的取值范围;

(2)若尸no=0,求a的取值范围.

【答案】(1)|

L32；

(2)(-00,-3]U；，+0°]

【解析】

【分析】(1)根据。W0且。口尸，列不等式组求a的取值范围;

(2)分0=0和。70两种情形进行讨论，根据尸「0=0,列不等式组求。的取值范围.

【小问1详解】

3。2—2

21

因为。之尸，且所以。+1<3,解得，——<a<-

32f

3。<a+1

综上所述，a的取值范围为一二二].

L32；

【小问2详解】

由题意，需分为0=0和。H0两种情形进行讨论：

当0=0时，3a>a+l,解得，«>-,满足题意；

2

a+1V—23ct23

当。*0时，因为尸口。=0,所以7,，解得aW—3,或〈，无解;

3a<a+1\3a<a+l

综上所述，。的取值范围为(一吗—3]u

17.解关于x的不等式ax?-(a+4)x+4＞0(oeR).

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】对于一元二次不等式⑪2一伍+4)》+420,当。=0时，不等式变为一次不等式；当时，

可根据二次函数＞=办2一仅+4卜；+4的图像性质求解.先将二次函数因式分解，再分情况讨论a的取值范

围来求解不等式.

【详解】(1)当a=0时，此时不等式化为—4x+420,移项可得—4x2—4,两边同时除以—4,根据不等

式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得到xWl.

(2)当awO时，将a/—(a+4)x+4因式分解，得到(ax—4)(x—1)»0.

4

(i)当。＜0时，二次函数歹=("—4)('—1)开口向下，方程(av—4)(x—1)=0的两个根为1=1和1=—,

a

44

且一vl.不等式的解为一WxVl.

aa

4

(ii)当。＞0时，二次函数＞=(QX—4)(x—1)开口向上，方程(QX—4)(x—1)=0的两个根为1=1和%=—.

a

4

当一二1,即。=4时，不等式化为(4x—4)(x—1)20,即(％—1)2»0,此时XER.

a

44

当一〉1,即0VQ＜4时，不等式的解为xWl或％＞一.

aa

44

当一＜1,即。＞4时，不等式的解为XV—或

aa

综上所得，

当。=0时，不等式的解为｛x|x〈l｝；

4

当。＜0时，不等式的解为—VxVl｝；

a

4

当0＜。＜4时，不等式的解为或｝；

a

当。二4时，xGR；

4

当Q＞4时，不等式的解为｛x|xV—或％21｝.

a

18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为

x元，朱古力蜂果蛋糕单位为p元，现有两种购买方案：

方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为。个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为6个，花费记为月；

方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为6个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为。个，花费记为S2.

(其中y>x>4,b>a>4)

(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；

(2)若a,b,x,y同时满足关系y=2x-2j/Z,b=2a+—d_,求这两种购买方案花费的差值S最

a-4

小值(注：差值5=花费较大值-花费较小值).

【答案】(1)采用方案二；理由见解析

(2)24

【解析】

【分析】(1)列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；

(2)根据题意，得到邑-E=(x-2j^M>(a+'一)，利用换元法和基本不等式，即可求解.

。一4

【小问1详解】

解：方案一的总费用为百=ax+勿(元)；

方案二的总费用为S2=云+4(元)，

由S2-S{=bx+ay-{ax+by}=a(y-x)+b(x-y)=(y~-b),

因为V>x>4]>Q>4,可得)；一%>0,4-6<0,所以(y<0,

即S?-S]<0,所以S2<S],所以采用方案二，花费更少

【小问2详解】

解：由(1)可知S]_§2=(y—x)(6_Q)=(x_~1---,

令，=y/x-4，则x=r+4，

所以x—2'+4=«—iy+323,当，=1时，即x=5时，等号成立，

又因为。>4,可得。一4>0,

44I4~~

所以Q+——=(a-4)+——+4>2J(a-4)x——+4=8,

a-4a-4\a-4

4

当且仅当a—4=——时，即。=6/=14时，等号成立，

a-4

所以差S的最小值为3x8=24,当且仅当》=5,歹=8,。=61=14时，等号成立，

所以两种方案花费的差值S最小为24元.

19.对于一个函数给出如下定义：对于函数若当函数值>满足机且满足

n-m=k(b-a),则称此函数为“左属和合函数”.例如：正比例函数y=-2x,当l