2025中考数学专项复习：一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”（含答案）

一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不

归”2025中考数学专项复习含答案

一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”

一、解答题

题目jJ已知一次函数u=4fcr+5k+1_(A;A0).

图1图2

(1)无论k为何值,函数图象必过定点，求该定点的坐标；

⑵如图1,当k=—］时，一次函数V=4fcz；+5A:+詈的图象交立轴，夕轴于4B两点，点Q是直线aV

—x+1上一点,若S^IBQ—6,求Q点的坐标；

⑶如图2,在⑵的条件下，直线6夕=0+1交48于点「，。点在力轴负半轴上，且强，动点”

的坐标为(a,a),求CM+MP的最小值.

（1）无论A：为何值，函数图象必过定点，则该定点的坐标;

（2）如图1,当k=―时，该直线交c轴，"轴于4B两点，直线l2：y—x+1交AB于点P,点T是。上一

点，若ABT~9,求T点的坐标；

（3）如图2,在第2问的条件下，已知。点在该直线上,横坐标为1,C点在,轴负半轴，NABC=45°,点M

是工轴上一动点,连接BA7,并将线段BA/绕点M顺时针旋转90°得到MQ,

①求点。的坐标；

②CQ+Q。的最小值为

题目区如图，一次函数u=+2的图象分别与C轴、g轴交于点A、5,以线段AB为边在第二象限内作

等腰R力△ABC,/BAC=90°.（可能用到的公式:若A（g,明），B（g，3），①AB中点坐标为

（夸，中:②=?+（%—仇户

（1）求线段AB的长；

（2）过B、。两点的直线对应的函数表达式.

（3）点。是BC中点,在直线AB上是否存在一点P,使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；

若不存在,则说明理由.

航目⑷已知一次函数沙=fcr+b（A;WO）与2轴交于点人⑶。）,且过点（7,8）,回答下列问题.

（1）求该一次函数解析式；

（2）一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式y^kx+b我们只需要将y向右移项就可以

得到for—夕+b=0,将名前的系数k替代为未知数4将y前的系数1替代为未知数将常数项b替代为

未知数。，即可得到方程Ar+By+C=0,该二元一次方程也称为直线的一般方程（其中A一般为非负整

数，且4、B不能同时为0）.一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求

解：

点P（g，u。）到直线Ax+By+C^0的距离（d）公式是：d=坐+"°|

VA2+B2

如:求:点P（l,1）到直线y=—9+等的距离.

题目⑸如图，一次函数g=+b的图象交力轴于点A,04=4,与正比例函数g=3/的图象交于点_B,B

点的横坐标为1.

(1)求一次函数沙—kx+b的解析式；

(2)若点。在y轴上,且满足S"=^S^OB，求点。的坐标；

⑶若点0(4,—2),点P是沙轴上的一个动点，连接BD,PB,PD,是否存在点P,使得LPBD的周长有最

小值？若存在，请直接写出周长的最小值.

题目因在平面直角坐标系xoy中，一次函数沙=菖2+3的图像分别与2轴、夕轴交于A、B两点，点C为①

轴正半轴上的一个动点，设点。的横坐标为九

(1)求A、B两点的坐标；

(2)点。为平面直角坐标系cog中一点，且与点A、B、。构成平行四边形ABCD.

①若平行四边形ABCD是矩形，求t的值；

②在点。运动的过程中，点。的纵坐标是否发生变化,若不变，求出点。的纵坐标；若变化，说明理由;

③当t为何值时,BC+BD的值最小,请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值.

（题目|7）已知，一次函数g=（2-t）加+4与9=一。+1）加一2的图像相交于点P,分别与y轴相交于点A,B.

其中土为常数，tr2且力力一1.

歹个

4-

3-

2-

1-

।_________।।1_____________________।_______।।।♦

-4-3-2-101234x

-1■

-2-

⑴求线段的长；

（2）试探索的面积是否是一个定值？若是，求出的面积;若不是，请说明理由;

（3）当t为何值时,△ABP的周长最小，并求出周长的最小值.

mi8〕如图1,已知一次函数9=2+3与2轴，沙轴分别交于B点，人点，立正半轴上有一点C,AACO=

60°,以A,B,。为顶点作平行四边形ABCD.

图1

(1)求。点坐标.

(2)如图2,将直线AB沿y轴翻折,翻折后的直线交CD于E点、，在y轴上有一个动点P,x轴上有一动点

Q,当DP+PQ+QE取得最小值时,求此时(DP+PQ+QE)2的值.

图2

⑶如图3,将△A。。向左平移使得点。与坐标原点。重合，A的对应点为A,O的对应点为O',将△A。

O绕点O顺时针旋转,旋转角为a(0°4a4180°)，在旋转过程中，直线AB与直线、月。交于“，G两

点，在旋转过程中，△WMG能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的a,若不能，请说明理由.

图3

题目ID

(1)问题解决:如图1,在平面直角坐标系xOy中，一次函数沙=:2+1与2轴交于点A,与y轴交于点B,

以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC,乙氏4。=90°,点A、B、。的坐标分别为、、

(2)综合运用:①如图2,在平面直角坐标系必。V中，点A坐标(0,-6),点B坐标(8,0),过点B作，轴垂线

Z,点P是，上一动点，点。是在一次函数9=—22+2图像上一动点，若△APD是以点。为直角顶点的等腰

直角三角形，请求出点。的坐标.

②如图2,在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接4A1,把AM绕M点逆时针旋转90°至线段

NM,ON+AN的最小值是.

7

题目也已知一次函数y^kx+3V2的图象与2轴交于点4与？/轴交于点区点河的坐标为(0,馆)，其中

0<m<3V2.

(1)若点A(-3V2,0),过点。作QP_LAM,连接BP并延长与，轴交于点C,

①求k的值；

e七fBP_OM

。求।：~PC~OC'

⑵若点4(—2,0),求，^4河+BM■的最小值.

（1）则点A的坐标为，点B的坐标为；

（2）如图2,点P为夕轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧,与BA的延长线交于点E，连接PE,已

知PB=PE,求证：ZBPE=2ZOAB；

（3）在（2）的条件下，如图3,连接PA,以PA为腰作等腰三角形PAQ,其中PA=PQ,/APQ=2AOAB.

连接OQ.

①则图中（不添加其他辅助线）与NEPA相等的角有；（都写出来）

②试求线段OQ长的最小值.

［题目|12）如图一次函数协=%巡+3的图象与坐标轴相交于点人（一2,0）和点_8,与反比例函数%=*（，＞

0）的图象相交于点。（2,巾）.

（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；

⑵若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交°轴正半轴于点。，若PD-.CP=1:2时，求

△COP的面积；

（3）在（2）的条件下,在y轴上是否存在点Q,使PQ+CQ的值最小，若存在请直接写出PQ+CQ的最小

值，若不存在请说明理由.

10

题目【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度.当直线Z的斜率存在时，对于一次函数?

+6/W0),k即为该函数图象(直线)的斜率.当直线过点31,阴)、(出，S)时，斜率％=义匚近，特别的，若

/2一

两条直线，2，则它们的斜率之积阮也=T，反过来，若两条直线的斜率之积阮•心=—1,则直线Zj±12

【运用】请根据以上材料解答下列问题：

(1)已知平面直角坐标系中，点41,3)、B(m,—5)、C(3,n)在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值；

(2)在(1)的条件下，点P为？/轴上一个动点，当/4PC为直角时,求点P的坐标；

(3)在平面直角坐标系中另有两点0(3,2)、E(T,—6),连接DA并延长至点G,使DA=AG,连接GE交

直线48于点F,河为线段况4上的一个动点，求OM+咯的最小值.

5

->

oX

备用图备用图

11

题目口&］如图，矩形OABC的顶点4C分别在2、y轴的正半轴上,点B的坐标为(273,4),一次函数y=

—空7+b的图象与边OC、AB,x轴分别交于点D、E、F,2DFO=30°,并且满足OD=BE,点M是线

段。F上的一个动点.

⑴求6的值；

(2)连接OM,若AO。河的面积与四边形的面积之比为1:3,求点河的坐标；

(3)求(W+小施的最小值.

12

题目五如图1,一次函数9=1^一6的图象与坐标轴交于点4B,BC平分/。氏4交工轴与点C,CD，

AB,垂足为D.

(1)求点A,_B的坐标；

(2)求CD所在直线的解析式；

(3)如图2,点石是线段上的一点，点F是线段上的一点，求EF+OF的最小值.

13

题目313如图，一次函数g=far+6的图象与c轴交于点A,与9轴交于点B(0,2),与正比例函数沙=得工的

图象交于点。(4,c).

⑴求％和b的值.

(2)如图1,点P是夕轴上一个动点，当|凡4—PC\最大时，求点P的坐标.

⑶如图2,设动点D,E都在①轴上运动，且DE=2,分别连结BD,CE,当四边形BDEC的周长取最小值

时直接写出点。和E的坐标.

题目K在平面直角坐标系中，一次函数9=—言。+4的图象与c轴和？/轴分别交于A、B两点.动点P从

点A出发,在线段49上以每秒1个单位长度的速度向点。作匀速运动，到达点O即停止运动.其中A、

Q两点关于点P对称，以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为秒.如图①.

⑴当力=2秒时，OQ的长度为；

（2）设MN、PN分别与直线y=一白+4交于点C、。，求证：=NC；

⑶在运动过程中，设正方形PQMN的对角线交于点E,A1P与Q。交于点F,如图2,求OF+EN的最小

值.

••

题目|18］已知一次函数u=+5k+粤(k片0),

(1)无论k为何值,函数图像必过定点,求该点的坐标；

(2)如图1,当k——时，该直线交立轴，v轴于4,B两点，直线l2:y=a;+1交AB于点P,点Q是上一

点，若SD4BQ=6,求Q点的坐标；

(3)如图2,在第2问的条件下，已知。点在该直线上,横坐标为LC点在/轴负半轴，E)ABO=45°，动点

河的坐标为(％(1),求。河+皿。的最小值.

图1图2

题目叵J如图,在平面直角坐标系中，一次函数9=心工+6的图像经过点4—2,0）,B（0，-2-）、过。（1，0）

作平行于y轴的直线Z;

（1）求一次函数g=fcr+b的表达式；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接,则yFB+PD的最小值为.

（3）M（s,t）为直线，上的一个动点，若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则求M,

N点的坐标；

（备用图）

17

^^(国3规定:把一次函数9—kx+b的一次项系数和常数项互换得y=+%,我们称y—kx+b^Wy—bx

+%(其中加6/0,且同/历［))为互助一次函数，例如：y=—2x+3和沙=3±—2就是互助一次函数.如图

1所示，一次函数沙=fcr+b和它的互助一次函数的图象交于点P，与，轴、。轴分别交于点4B

和点C,。.

⑴如图1所示，当k=—l,b=5时，直接写出点P的坐标是.

⑵如图2所示，已知点M(—1,L5),N(-2,0).试探究随着鼠b值的变化，MP+NP的值是否发生变化,

若不变，求出皿尸+AP的值;若变化，求出使皿尸+AP取最小值时点P的坐标.

题目21］规定:把一次函数"—kx-\-b的一次项系数和常数项互换得"=b力+k,我们称y—kx-\-b^\y—bx

+k(其中k・bW0,且IMW|b|)为互助一次函数，例如g=―|~力+2和g=2］一卷就是互助一次函数.如

图，一次函数g=fcc+b和它的互助一次函数的图象。必交于P点，。,给与立轴，。轴分别交于AB点和

C,。点.

(1)如图⑴，当k=—1,6=3时，请回答下列问题：

②Q是射线CP上一点(与。点不重合)，其横坐标为求四边形OCQB的面积S与m之间的函数关系

式,并求当&BCQ与XACP面积相等时m的值；

(2)如图(2),已知点M(-l,2),N(—2,0).试探究随着瓦6值的变化，皿P+NP的值是否发生变化？若不

变，求出MP+NP的值;若变化，求出使A1P+NP取最小值时的P点坐标.

•M

如图1,等腰直角三角形ABC中，乙4cB=90°,CB=CA,直线DE经过点。，过A作AD

±DE于点D,过B作BEYDE于点H,则△BEC第△CD4我们称这种全等模型为“K型全等”.

（不需要证明）

【模型应用】若一次函数y=A:a?+4（A:片0）的图像与x轴、夕轴分别交于B两点.

⑴如图2,当％=—1时，若点B到经过原点的直线I的距离BE的长为3,求点A到直线I的距离

AD的长；

图2

（2）如图3,当k=—4时，点M在第一象限内，若是等腰直角三角形，求点

O

M的坐标；

图3

（3）当k的取值变化时，点A随之在，轴上运动,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接

OQ,求OQ长的最小值.

20

一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”

一、解答题

题目jJ已知一次函数u=4fcr+5k+^（A;A0）.

图2

（1）无论k为何值,函数图象必过定点，求该定点的坐标；

⑵如图1,当k=—］时，一次函数沙=4•+5^+号的图象交多轴，沙轴于4、3两点，点曜是直线册y

=c+1上一点,若S^IBQ—6,求Q点的坐标；

⑶如图2,在⑵的条件下，直线69=2+1交48于点？，。点在①轴负半轴上，且甲，动点”

O

的坐标为（a,a）,求CM+MP的最小值.

【答案】⑴（号，普）

⑵（3,4）或（—1,0）

⑶可

【分析】（1）整理得y=（4a;+5）k+5（k丰0）,根据题意，得当4a?+5=0,求解得函数图象必过定点

（一旦世〉

14,2八

（2）确定解析式V=如2+5A:+苧为y=-2z+4,点人坐标为（2,0）,点B坐标为（0,4）;设点Q坐标为

（m,m+l）,分情况讨论:①当点。位于4B右侧时，根据题意得S^QQ+S^OQ^S^OB+S^ABQ,^方程解得

馆=3,点Q坐标为（3,4）;②当点。位于左侧时，过点Q作QN//0轴，交AB于点N,点N的纵坐标为

（小+1）,QN=_^（m-1），于是S^AQN+SgQN=y义［―|-（m一1）］x4=6,解得m=-l,m+1=

0,Q坐标为（-1,0）;

⑶联立得卜=一?j4,得pq⑵，设eg,。），由s41so=空，求得C的坐标为（-4,0），点M在直线9=

。上，点。关于直线沙=2对称的点F的坐标为（0,—，连接MF,PF,则MF=MC,CM+MP=FM+

MP>PF,作PG_Lg轴，垂足为G,在放APGF中，PF=邛里，所以CM+MD的最小值为邛

【详解】（1）解:整理得g=（4/+5）fc+普（卜#0）

不论k取何值时，上式都成立

/.当4/+5=0,即/=—^-时,g=-y-

・,.无论k为何值，函数图象必过定点(一亳考)；

(2)当k―—时，一次函数g=4kc+5k+整为y=—2x+4,

当力=0时，y=4;当g=0时，-2c+4=0,6=2;

・••点A坐标为(2,0);点B坐标为(0,4);

丁点。在直线L：g=力+1上，

设点Q坐标为(m,m+1);

①如图，当点Q位于右侧时，根据题意得S,OQ+S的Q=SMOB+

S^ABQ.

：.-1-x2(m+l)+yX4m=yX2x4+6.

解得？n=3.

点Q坐标为(3,4)；

②如图，当点Q位于AB左侧时，此时5曲=6,

过点。作QN〃力轴，交AB于点N,则点N的纵坐标为(山+1),

由y——2x+4,得？n+1=—2力+4,T=--—(m—3),

/.QN——^-(m—3)—m=--^-(m—1).

x

•**S“BQ=]QN.\yB-yA\=y[—|-(m-l)]x4=6,

解得m=—l,m+1=0,

Q恰好位于c轴上，此时Q坐标为(一1,0);

综上所述：若$^均=6,。点的坐标为(3,4)或(-1,0);

⑶由⑵可得直线AB:y=-2x+4,联立得[y=—?'+4,

〔沙=，+1

解得[工=；

5=2

.••^(1,2)

•.•点。在c轴的负半轴，设C(c,0)

则AC=2—c,

•••OB=4，S/W

制(2-c)x4=^

解得c=_.

O

・••点C的坐标为(—

，・,动点"的坐标为(Q,Q).

・••点在直线g=力上.

・,.点。关于直线0=]对称的点F的坐标为(°，一日)，

连接MF,PF,则MF=MC,CM+MP=FM+MP>PF

则PF为C/0+M尸的最小值；

作轴，垂足为G,

在RtNPGF中，PF=VPG2+FG2=，仔+（2+

.♦.CM+MD的最小值为上驶.

【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求

解线段是解题的关键.

（1）无论k为何值,函数图象必过定点,则该定点的坐标______;

⑵如图1,当k=—/时，该直线交c轴，g轴于4B两点，直线近。=。+1交AB于点P，点T是，2上一

点，若SAABT=9,求T点的坐标；

（3）如图2,在第2问的条件下，已知。点在该直线上，横坐标为1,。点在①轴负半轴，/ABC=45°,点M

是c轴上一动点,连接BA7,并将线段绕点"■顺时针旋转90°得到MQ,

①求点。的坐标；

②CQ+QD的最小值为.

【答案】⑴（号，*

（2）7点的坐标为（4,5）或（-2,-1）;

⑶（甘，。），亨

【分析】（1）将一次函数变形4fcr—g=—5k—3,根据图像过定点，得到与%值无关，求出％,进而求出定点

坐标；

（2）求出直线解析式，设点T坐标为+分点T在AB两侧分类讨论即可；

⑶先根据题意，求出点。坐标,根据将线段BM绕点、M顺时针旋转90°得至MQ,得至U点Q所在直线解析

式，求出点。对称点。，连接求出。。的长即可.

【详解】（1）解：一次函数o=4fac+5k+?=%（4a;+5）+5"，

・•・4。+5=0时，g=5，

解得：/=一,,。=兽

/.无论k为何值，函数g=4%力+5k+萼（kW0）图像必过定点（一|-,雪）；

（2）当k=―会时，一次函数y=4far+5fc+粤为y=—2x+4,

当力=0时，。=4;当g=0,时，一2/+4=0,T=2;

・••点A坐标为(2,0);点8坐标为(0,4)；

•・•点T在直线，2：9=力+1上，

设点T坐标为(m,m+1);

①如图，当点T位于AB右侧时，连接OT,

=S^ABT

根据题意得S^AOT+S^30T

yX2x(m+l)+yX4m=yX2x4+9

解得m=4,

・••点T坐标为(4,5);

②如图，当点T位于AB左侧时，

根据题意得SAAOT+S^QOT+S^AOB~SAABT

yx2x(-m-1)+yx4x(-m)+yx2x4=9

解得m=-2,

.•.点T坐标为(-2,—1);

综上所述：若隈方=9,T点的坐标为(4,5)或(一2,—1);

(3)如图，将△Q4B沿直线4B翻折,得到4NAB,将/\OCB沿直线3。翻

折，得至I/XHCB，延长H。、M4交于点E,则四边形BHEN为正方形，

：.BN=BH=HE=NE=OB=4,

NA=OA=2,AE=NE—AN=2,

设OC=n，则HC=n,CE=4—n,

在Rt^ACE中，2?+(4—n)2=(2+n)2,

解得九=春，

o

所以点c坐标为(—"，o),

②解：・・・。点在直线上g=—2/+4上，横坐标为1,

/.y=-2X1+4=2,

所以点。坐标为(1,2);

设动点河的坐标为(a,0),

如图所示，过点。作力轴，

・・・将线段W绕点加顺时针旋转90°得至UMQ,

：.BM=QM,ABMQ=90°,

・•.ZOMB+ZQMH=90°

又/BOM=ZMHQ=90°,

・•.AOMB+AMBO=90°,

・•・/QMH=/MBO,

・•・/\QMH^/\AMBO,

：.QH=OMfMH=OB=4

/.Q(Q+4,Q)

・••点Q在直线g=力-4上运动，

如图所示，设直线g=C一4与力轴交于点K,与g轴交与点G,则K(4,0),

4

•••欧=告+4=*

oo

作C'KA.2轴，且C'K=CK=号，

则△CC'K是等腰直角三角形，KG，。。，

则C,。关于y=，-4的对称，则C'Q+QD^CQ+QD>C'D,

此时如图所示，则。（4,学）

CD=J（4—10+（号+2?=

故答案为：乂耍.

O

【点睛】本题考查了一次函数与面积问题，求一次函数点的坐标，根据点的特点确定函数解析式，将军饮马

问题，半角模型等知识，综合性强，难度较大.解题的关键是要深刻理解函数的意义，能从复杂的图形中确

定相应的解题模型.

题目另如图，一次函数v+2的图象分别与立轴、沙轴交于点4B,以线段4B为边在第二象限内作

等腰放△ABC,ZBAC=90°.（可能用到的公式:若人（0，m），B（x2,纺），①AB中点坐标为

（&；刈，叱％）；②AB=◎>+（%—取）

（1）求线段的长；

（2）过B、C两点的直线对应的函数表达式.

（3）点。是BC中点,在直线AB上是否存在一点P,使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；

若不存在,则说明理由.

【答案】⑴AB=2瓶

（2）y=~x+2

o

（3）存在，最小值是5V2

【分析】（1）求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；

⑵先证明△ACF第△BA。,得出点。坐标，再根据待定系数法求解即可；

（3）作点。关于AB的对称点“，连接MD交直线于点P,则此时PC+有最小值，即为MD的长,

根据中点坐标公式分别求出点。、”的坐标，再根据两点距离公式求解.

【详解】（1）对于夕=看2+2,令劣=0,则夕=2,

令y=0,则£±+2=0,解得立=一4,

.••4—4,0）,5（0⑵，

AAB=A/22+42=2V5;

⑵作CF_L6轴于点F,如图，则NCFA=AAOB=90°,

・・・^^Rt/XABC,ZBAC=90°,

AAC=AB,ZACF=90°-ACAF=ABAO,

：.AACF^ABAO,

I.CF=04=4,AR=BO=2,

*，•C(—6,4),

设直线BC的解析式为g=mx+n,

则「61+九=4,解得卜=T,

6=2辰=2

直线BC的解析式为y=~x+2;

O

(3)v。是BC中点，

.•.点。的坐标是(一3,3),

作点。关于AB的对称点M,连接MD交直线AB于点P,则此时PC+PD

有最小值，且PC+PD=PD+PM=MD,即PC+PD的最小值是AiD的

长，

•.•ZCAB=90°,

力、河三点共线，且A是CM中点，

设M(p,q),则=—4,节2=0,

解得p=-2,q=-4,

Af(—2,—4),

故PC+PD存在最小值,是5V2.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段

和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解

题关键.

题目@已知一次函数沙=krr+b(k20)与，轴交于点4(3,0)，且过点(7,8),回答下列问题.

(1)求该一次函数解析式；

(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程,如解析式y^kx+b我们只需要将y向右移项就可以

得到版一夕+b=0,将，前的系数k替代为未知数4将9前的系数1替代为未知数6,将常数项b替代为

未知数C,即可得到方程Ar+53+。=0,该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A一般为非负整

数,且力、B不能同时为0).一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求

解：

点P(如如到直线Ax+By+C=0的距离(d)公式是：d=/3+即+0

VA2+B2

如：求：点P(l,1)到直线y——9c+的距禺.

解:先将该解析式整理为一般方程：

(1)移项一-9r—?/+-1-=0

o/

(〃)将A化为非负整数即得一般式方程：2/+69-9=0

2xl6xl

由点到直线的距离公式，得d=l+^l=s=噜

V2WV4020

①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离.

已知(1)中的解析式代表的直线与直线2c—夕+9=0平行，试求这两条直线间距离；

②已知一动点F(t2,t)(t为未知实数)，记％为点P到直线3c—49+7=0的距离(点P不在该直线上)，求

h的最小值.

【答案】(1)夕=2c—6;

⑵①3居;②圣.

15

【分析】(1)利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；

⑵根据平行线间距离处处相等可知，点人到直线2/—9+9=0的距离即为两条平行线间距离，再利用点

到直线的距离公式，即可求出这两条直线间距离；

(3)利用点到直线的距离公式，得到h='T+7I，令馆=3^—4t+7,利用二次函数的性质，求得最小

5

值,进而即可求出九的最小值.

［详解】⑴解：:一次函数y=kx+b(kW0)与力轴交于点4(3,0),且过点(7,8),

(3k+b=0解得.9=2

J17k+6=8,牛于.讪=_6，

该一次函数解析式为夕=2/一6;

(2)解:①T一次函数解析式为g=26一6,

整理得：2/一g—6=0,

•・,点A(3,0)在直线g=26一6,

・••点A到直线2力一g+9=0的距离即为两条平行线间距离，

将点A代入距离公式，得：d=忆0坦:萃=3日

/2+(—V5

这两条直线间距离为3/5;

令m=31-4t+7=3”制+号，

当t="|■时，7rl有最小值为与＞0,

oJ

h的最小值为=与~

515

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，读懂题意，掌握点到直线的距

离公式是解题关键.

题目可如图，一次函数"=for+6的图象交力轴于点A,OA=4,与正比例函数g=3/的图象交于点_B,B

点的横坐标为1.

yjk

OfX

y=kx+b

(1)求一次函数y—kx-\-b的解析式；

(2)若点。在U轴上,且满足S^BOC=，求点。的坐标；

⑶若点。(4,—2),点P是沙轴上的一个动点，连接BD,PB,PD,是否存在点P,使得4PBD的周长有最

小值？若存在，请直接写出△PBD周长的最小值.

【答案]⑴y=_/+4

(2)0(0,6)或。(0,—6)

(3)存在，5V2+V34

【分析】(1)根据待定系数法求出一次函数解析式即可；

(2)设点。的坐标为(0,4),则OC—|t|,再根据点B的坐标，得出\xB\=1,|沙』=3,再根据三角形的面积公

式，得出心。。二皿产二号下田产三笋=6,再根据题意，列出方程，解出即可得出答案；

⑶根据两点间的距离公式，得出6。=俯，再根据三角形的周长，得出要使△PBD周长的最小值，只需

求的最小值，作点B关于9轴的对称点M■，则M的坐标为(一1,3),连接DM，根据线段最短，得

出DM为PB+PD的最小值，再根据两点间的距离公式，计算得出DM=5V2,再根据三角形的周长公式,

计算即可.

【详解】(1)解：:点"8是g=3/的图象上的点，横坐标为1,

・•・点石坐标为(1,3).

•・•OA=4,

・,•点4坐标为(4,0).

将4,B两点坐标分别代入g=far+b,

p/0=4k+b

仔(3=k+b'

解得仁丁

:.一次函数的解析式为“=—c+4;

(2)解:设点C的坐标为(0工)，则OC=\t\,

•••5(1,3),

|遍=1,|调=3,

•：OA—4：,

_|t|xl_|t|_4x3_R

••DABOC—2一~2'^^03~2一0，

•*S^BOC=，

.4=]x6,

r.|4=6,

；.t=6或力——6,

.♦.0(0,6)或。(0,—6)；

(3)解:存在点P,使得中打。的周长有最小值，理由如下：

V5(1,3),£)(4,-2),

BD=V(l-4)2+(3+2)2=V34,

•//\PBD的周长=PB+PD+BD,

要求△PBD周长的最小值，只需求PB+PD的最小值.

如图，作点B关于y轴的对称点Al,则M的坐标为（一1,3）,连接DM,

则PB+PD^DW,即DM为PB+PD的最小值.

DM=V（-l-4）2+（3+2）2=V50=5V2,

4PBD周长的最小值为:PB+PD+BD=5V2+V34.

【点睛】本题考查了求一次函数解析式、坐标与图形、两点间的距离、点关于坐标轴的轴对称点、线段最短，

解本题的关键在熟练掌握两点之间的距离公式.

题目回在平面直角坐标系砌;中，一次函数V=*E+3的图像分别与2轴、夕轴交于4B两点，点。为2

轴正半轴上的一个动点，设点。的横坐标为九

（1）求A、B两点的坐标；

（2）点。为平面直角坐标系cog中一点，且与点A、B、。构成平行四边形ABCD.

①若平行四边形ABCD是矩形，求t的值；

②在点。运动的过程中，点。的纵坐标是否发生变化,若不变，求出点。的纵坐标；若变化，说明理由;

③当t为何值时,BC+BD的值最小,请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值.

【答案】⑴4-4,0）,B（0,3）

（2）①,;②点。的纵坐标不变，是一3;③t=2时，BC+BD最小值为9

【分析】（1）根据坐标轴上点的特点直接代值求解即可；

⑵①矩形可知90°,证明相似三角形后直接通过边的关系列方程求解即可；

②根据平行四边形的平移规律直接写出。点纵坐标即可；

③求最短路径的题，与造桥选址类似，平移后三点共线即为最小值.

【详解】（1）沙=日c+3中，令0=0,则g=3

令g=0,则x=-4

AA(-4,0),B(0,3)

(2)①若平行四边形ABCD是矩形

—

则8。-LAB

・・・AO_LBO

：./XABO-^BCOO46A

.OB_PC

"~OA~~OB

vA(-4,0),B(0,3)D

-4-

:.OA=4,OB=3

:.OC—t=-7-;

4

②点。的纵坐标不变，

4B、。构成平行四边形ABCD.

4—4,0)/。3),。《,0)

AA向上平移3个单位长度得到8,则。向下平移3个单位长度得到D

.•.£)点纵坐标为-3.

③将NBCD平移至AC'BA

。'(—t,6),D(t—4,—3)

(BC+BZ?)min=DC—y/(—t—1-\-4)2+(6+3)2=yj(2t—4)2+81,

当力=2时，(8O+BO)min=V§T=9

246X

【点睛】此题考查一次函数与相似三角形的综合题型，解题关键是找到相似的三角形，得到边长之间的数量

关系，难点是判断此题为造桥选址的同类型题.

(题目|7［已知，一次函数y=(2-+4与9=一(土+1)，一2的图像相交于点P,分别与y轴相交于点A.B.

其中t为常数，tW2且t片一1.

y

4

-4-3-2-10

(1)求线段AB的长；

(2)试探索4ABP的面积是否是一个定值？若是，求出AABP的面积;若不是，请说明理由；

(3)当t为何值时，AABP的周长最小,并求出周长的最小值.

【答案】⑴6

⑵是，6

(3)t=J,A4BP周长最小值为2，m+6

【分析】⑴分别令劣=0,求出v值，得到A和B的坐标，从而可得48的长;

(2)求出点P坐标，利用三角形面积公式求出△4BP的面积即可;

(3)画出图形，分析得出要&ABP的周长最小，则要AP+BP最小，作点人关于直线/=一2对称的点A

(-4,4),连接AB,找到此时点P的位置，求出直线4B的表达式，可得点P坐标，可得t值,再根据点的坐

标求出周长的最小值.

【详解】(1)解:在g=(2—t)x+4中，

令6=0,则g=4,

在y=—(t+1)%一2中，

令力=0,则y=-2,

.-.A(0,4),B(0,-2),

・•.AB=4—(—2)=6;

(2)・・•图像相交于点P,

令(2—t)x+4=—(t+1)⑦一2,

解得：x=—2，代入g=(2—t)x+4中，

y——2(2—t)+4=2%,

P(—2,2力),

*e•S4ABp=]x\xP\xAB=x|—2|x6=6;

⑶如图，・・・P(—2,2。，

・••点P在直线1=—2上，

若要△ABP的周长最小，而AB=6,

・・・当AP+BP最小即可，

作点Z关于直线力=-2对称的点A(—4,4),连接48,与直线力=-2交于点P,

此时AP+BP,设直线AB的表达式为y=kx+bf

则匕—*6,解得:上小，

「2=6[b^-2

直线_A'_B的表达式为y=—一2,

令x=-2，则沙=1,即P(-2,1),

则2i=1,解得:t=/，

此时AP=V22+32=V13,BP=V22+32=V13,

/\ABP的周长最小值为PA+PB+AB=2V13+6.

【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意⑶