2024年高考数学一轮复习《不等式》单元提升卷（解析版）

单元提升卷02不等式

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若。>0/>0,则下列不等式中不成立的是()

A.a1+b2>2abB.a+b>2-Jab

。。1。111

C.a2+b2>-(a+b)2D.-+-<——(a#b)

2aba-b

【答案】D

【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.

【详解】因为显然有〃+从22必，故A正确；

而。>0,6>0,所以a+故B正确；

222222

Xa+b--(a+b)=-a+-b-ab=-(a-b)>0,所以/+户2工(4+6)2,故C正确；

22222

1131

不妨令。=2,6=1,则雪;"，々或"力，故D错误.

ab2a-b

故选：D.

2.关于X的不等式％2—依-6片VO(QVO)的解集为()

A.(-00,2(7)U(-3(2,+00)

B.

C.(ro,3a)u(2〃,+8)

D.(3。,一2〃)

【答案】D

【分析】直接解一元二次不等式即可得到答案.

［详解］不等式f一改一6a?<。(av0)可化为(x-3〃)(x+2〃)<0.

*.*a<0,/.3a<x<—2a.

二原不等式的解集为(3。,-2〃).

故选：D

3.不等式3元2-7x+2>0的解集是（）

A.B.1-2，TC.~,如（2,+⑹D.（一叫一2）U（-；,+s

【答案】C

【分析】由因式分解结合一元二次不等式的解的特征即可求解.

【详解】由3尤Z_7X+2>0得（“2）（3X-1）>0,解得尤或X>2,

故不等式的解为，。£|U（2,+8）,

故选：C

4.不等式"+1）"3）20的解集为（）

2x+l

A.-1,-1U[3,+«>）B.-l,-^U（3,+«）

C.-I,-ju[3,+oo）D.1,——^U（3,+=°）

【答案】C

【分析】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集.

【详解】不等式”）（一嚏等价于月"3侬+1”。,

2x+l[2尤+1W0

利用数轴标根法可得或X23,所以不等式解集为>L-；[U[3,+⑹.

2L）

故选：C

5.已知。，力，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3,Q=2（a+b+c）,那么尸与。的大小关系是（）

A.P>QB.P>Q

C.P<QD.P<Q

【答案】A

【分析】利用作差法判断即可.

【详解】因为尸="+%2+02+3,Q=2{a+b+0

所以/一。=/+62+£2+3-2(a+b+c)=(a-l)2+3-l)2+(c-l)220,

当且仅当a=b=c=l时取等号，

b,。为不全相等的实数，因此等号不成立，即尸-。>0,

.P>Q.

故选：A

6.已知4・3"'=3・2"=1,则()

A.m>n>-\B.n>m>-\

C.m<n<-lD.n<m<—l

【答案】D

【分析】利用指数式和对数式的互换得到加，“，然后利用作差法和基本不等式比较大小即可.

【详解】由已知得加=Tog34<-l,w=-log23<-l,

22

Iog32+log348

1-I1-

2n<m<-}.

m-n=log23-log34=------------->-------------------------=--------—>U

log32log32log32

故选：D.

尤~—ax+440

7.设集合4=屏|14彳<3},集合B为关于x的不等式组，仆/“/A的解集，若人。3,贝

x~(2b+3)x+b~+3b<0

的最小值为(

D16-13

A.6C.5D.——

33

【答案】C

x2-+4<0

【分析】由已知可得42(Z在［1,3J上恒成立，由此可求的范围，再求a+b的最小值.

x-(^2b+3)x+b~+3b<0L」

x2-ax+4<0

【详解】因为不等式组2cQ,2*,八的解集8，A={X|1<X<3},A^B,

X-(2/7+3)x+/?+3Z?<0

所以不等式d一6+4VO在［1,3］上恒成立，

且不等式尤2-(力+3)龙+廿+3同0的解集包含集合A,

又不等式无2—(力+3)x+/J2+3bV0可化为(x-b)(x-6—3)W0,

所以不等式寸-(％+3■+廿+36<0的解集为[6力+3],

所以[1,3]=也6+3],所以6+3N3,B.b<l,所以OVbVL

不等式x+3〈a在［1,3］上恒成立，故Ma,其中xe［l,3］,

xVX/max

设=—，%E［1,3］,

则〃x）=x+：在［1,2）上单调递减，在（2,3］上单调递增，

又〃1）=5,〃3）=3+g=?,

所以当x=l时，函数〃x）=x+3,xe［l,3］取最大值，最大值为5,

X

所以〃之5,

所以当。=5,。=。时，a+人取最小值，最小值为5.

故选：C.

Q+6b+3曰［*、,,、

8.已知正数〃，/?满足〃+人=1,则——--最小值为（）

ab

A.25B.19+2#C.26D.19

【答案】A

a+6b+349

【分析】先进行化简得g=：+z,再利用乘“i”法即可得到答案.

abba

【详解】因为正数。，。满足Q+b=l,

〃+6/7+3〃+6b+3〃+3b_4〃+9Z?=出=[+如+6)

所以

ababab

=13+—+—>13+2)—=25,当且仅当殁=华，联立a+)=l,

abNabab

39

即〃时等号成立,

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若m,〃£R+,rm_^n-l=T_^-2n9则（）

111

A.m>nB.0<mn<-C.—+—>4D.2m+1+2n>3

8m2n

【答案】BC

【分析】根据函数单调性可得相/关系，特值法判断A,D选项，基本不等式求出B,C选项.

2n-1m1-2nm2n-11-2n

［详角牟］・.・25-2=3-32--T=2-3,

y=2一"一3'单调递减，/.m=l-2H,m+2n=l,

当m=；=〃时满足机+2〃=1,A选项错误；

,：m+2n=l>lyjlmn,1>8mn,/-0<mn<—,B正确；

8

「+11(11|/A、42nmi、c2几m入c十7丘

m,〃wR...—i-----=—i-----机+2〃)=1H--------1-------F122J—x----F2=41,1C；

mIn\m2n)m2n\m2n

2〃2ni--------------

m+in

・・2+2>3,...22一2〃+2〃=22一2〃+±^+±_>3寸22-2〃+〃+1-1=3,

’22

当机=-1,〃=1时取等号，与已知加,矛盾，D选项错误.

故选：BC.

10.已知函数/（%）=d+g+〃（m,neR）,关于1的不等式xv/（x）的解集为（一8,1）D（1,+8）,则下列

说法正确的是（）

A.m=-l,n=l

B.设g(x)=#，则g(x)的最小值为g⑴=1

C.不等式/（"</'（〃切的解集为（一8,0）3。，1）51，+8）

31

42且〃（x）<〃（2x+2）,则X的取值范围为，g,+s

D.若从x)=<

〃尤),x>；,

【答案】AC

【分析】由题意可得，x=l是/+（m-l）x+〃=0的唯一解，可求得加=-1,〃=1,从而求出/⑴解析式.再

逐一检验各个选项是否正确，从而得到结论.

【详解】对于A选项：f（x）=x2+mx+n（加，HGR）,关于元的不等式x</（九）,

即/+（"：—1）元+〃〉0,它的解集为（一°°，1）u（1，W），

.,.九=1是Jr?+（机一1）工+〃=0的唯一角轧

A=(m-1)2-4n=0m=-l.

所以、，故A选项正确;

l+(m-l)+n=O

由以上可得：f(x)=x2-x+l.

对于B选项：g(x)=/^,则g(%)=%+,-l(xwO),当XV。时，g(x)<0,故B选项错误;

x%

对于C项：不等式/(%)</(/(%)),EPX2-X+1<(X2-X+1)2-(X2-X+1)+1,

即卜2+1_〉0,gpx2-(x-1)2>0,解得xvO或Ovxvl或x〉l,

所以解集为(-00,o)u(0,1)u(l,+00),故C选项正确；

3,113/1

对于D选项：若可%)=/2]即〃(司=42]

/(x),x>—,x2-x+l,x>—,

、2、2

可知/l(x)在上是增函数，在卜co,；是常数函数，且X>!■时，//(%)>=

UI

173

所以〃(％)<妆2彳+2)得：一<x<2x+2或/,解得x>-3,

22x+2>-4

[2

则x的取值范围为故D选项错误；

故选：AC.

11.已知尤>0,y>0,且尤+y+孙-3=0,则下列结论正确的是()

A.孙的取值范围是(0,9]B.彳+，的取值范围是[2,3)

C.x+2y的最小值是4忘-3D.x+4y的最小值是3

【答案】BC

【分析】根据基本不等式可求得。〈孙W1，判断A,将x+y+移-3=0变形为3-(尤+了)=孙4[亨J结合

4

基本不等式，判断B,由x+y+母-3=0整理得到％=-1+—;结合基本不等式可判断CD.

【详解】对于A,因为％>0,y>0,

所以元十y之2向^,当且仅当尤二y时取等号,

由x+y+xy-3=0^>3-xy=x+y,

即3-xy2,解得0<y[xy<1,

即。〈孙Wl,A错误;

2

x+y

对于B,由x>0,y>0,3—（x+j）=xy<

2

当且仅当x=y时取等号，

得(x+y)-+4(x+y)-1220,

所以x+”2,

又3-(x+y)=»>。，

所以x+y<3,即2Vx+y<3,

故B正确；

对C选项，因为x>0,y>0,无+、+刈一3=0,

44I-

所以x+2y=-1+-----+2y=-+2（j+l）-3>4V2-3,

y+1y+l

当且仅当Q=2（y+1）,即》=忘-1时等号成立，C正确，

—y+34

对于D,C选项知：x=~^=-1+,

j+1y+l

44I4

贝（］x+4y=-1+——-+4y=——-+4（y+l）-5>2J-------4（v+l）-5=3,

y+lY+l\y+l7

4

当且仅当7y=4（y+l）,即y=o时等号成立，但y>0,

所以尤+4y>3.（等号取不到），故D错误；

故选：BC.

12.已知正实数。、b、c满足Iog3a=log53,log3b=log5c,其中。>1,贝！|()

2ac6+1

A.logflb=log35B.a>b>cC.aobD.2+2>2

【答案】ACD

【分析】利用换底公式可判断A选项；T^log3a=log5Z?=m>0,log5c=log3Z;=M>0,利用对数与指数的

互化，以及事函数的单调性可判断B选项；比较加、〃的大小，利用作商法结合幕函数的单调性可判断C

选项；利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为所以logs。〉。，

.,ijInaIn/7InbIn5.,<,心人

由logs。=logsb,可得不二=:二，贝!]>；—=—,所cr以Kllogab7=log35,故A对;

m3In5Inam3

m

对于B选项，-g：log3a=log5b=m>0,贝Ua=3m,b=5,

因为嘉函数y=x'"在（。,+℃）上为增函数，所以3"<5"',即a<6,

设log5c=log3°=">0,则6=3",c=5".

因为累函数y=x"在(0,+e)上为增函数,

所以3"<5"，即6<c,贝Ua<b<c,故B错；

对于C选项，因为。=5"，=3",且m>0,n>0,

所以〃21n5=〃ln3,所以‘^电工〉：！，贝(］根故机-〃<0,

mIn3

所以岑=12h/邛”>1,即以>凡故C对;

b25叫3〃⑸

对于D选项，由基本不等式，可得a+c>2疝>26,

所以，2fl+2C>>2A/2^=2h+1>故D对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为400cm2,它的两边都留有宽为acm的空白，顶部和底部都留

有宽为反m的空白，若。=1,6=4,则纸张的用纸面积最少为cm2.

1xT

【答案】576

【分析】设矩形的长和宽分别为羽儿得至IJ纸张面积为S=(x+2a)(y+26)=q+26x+2ay+4向，结合基本

不等式，即可求解.

【详解】由题意，设排版矩形的长和宽分别为x，'且孙=400,且。=11=4

贝I」纸张的面积为S=(X+2〃)(y+2b)=xy+2bx+lay+4ab

>xy+2^2bx-2ay+4ab=(y[xy+2y[ab)2=(20+2^)2=576

当且仅当2版=2殴时，即y=4无，即％=10,y=40时，等号成立,

所以纸张的用纸面积最少为576cm2.

1212

14.已知。>0,^>0,a>—+—,/?>—+—,贝Ua+人的最小值为

abba

【答案】2石

【分析】由已知可得。++结合基本不等式求(a+6)2的最小值，再求a+b的最小值.

ab

【详解】因为1+m9b>^-1+-2,

abba

~33

所以a+—F—,又〃>0,b>0,

ab

所以(a+6)2寸3+百(4+6)=6+改+装12,当且仅当。=〃=退时取等号.

\ab)ab

所以a+b22g',当且仅当a=b='时取等号.

所以a+b的最小值为2A/L

故答案为：2道.

15.若不等式f一5x+6<0的解集也满足关于尤的不等式2%2一9%+0<0,则a的取值范围是.

【答案】(-8,9]

【分析】解得不等式f一5尤+6<0的解集，4/(x)=2x2-9x+a,根据不等式f—5x+6<0的解集也满足

关于x的不等式2尤2—9x+a<0,列出不等式组，即可求得答案.

【详解】解不等式/_5%+6<0可得2Vx<3,即不等式尤2一5》+6<0的解集为(2,3)

因为不等式X2-5X+6<0的解集也满足关于x的不等式2/-9尤+a<0,

故令〃x)=2…,…,则[[f⑶(2)<.0%―[8-1827++aa<V0O,

解得a<9,

即〃的取值范围是(-8,9],

故答案为：(-8,9]

16.若不等式/+如+根2o恒成立，则实数机的最小值为.

【答案】-1/-0.5

【分析】构造新函数加x)=-上，(14x42),利用二次函数的性质求得以了)最大值，进而求得实数机的最

小值.

【详解】1WXW2时，不等式炉+〃优+〃亚0恒成立，即机上一工恒成立,

（14尤42）

1VXV2时，-<-<1,则+-1<2,

2x4卜2)4

411

-------<---------------------------------<--------1

则3—fl+lY1~2,则以2—相

\x2)4-

故实数机的最小值为-;

故答案为：-g

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.证明下列不等式：

(1)已知。>6，e>f,c>0,求证了-ac<e-bc

⑵已知a>6>0，c<"<0,求证：3—<J-.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)(2)利用不等式的基本性质即可证明.

【详解】(1)证明：,ra>b,c>0,

:.ac>bc,—ac<—be,

又因为e>/,即/<e,

所以/-ac<e-8c.

(2)证明：Q<?<6?<0,/.-->—>0；

dcdc

「,abab

又a>b>。,/.-->—，

acac

18.求下列不等式的解集:

(1)-3X2-2X+8>0;

【答案】(1)*一24尤4：1

(2)|x|-1<x<l!

【分析】(1)利用二次不等式的解法求解即可;

(2)利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】(1)因为-3X2-2X+8N0,

所以3尤?+2尤一840,则(3x—4)(x+2)V0,解得一

所以-3/-2%+820的解集为

3_r

(2)因为二7V1,

2x+1

所以3--1<0,则3A21V0,即卢二《0,

2x+l2x+l2光+1

(x-l)(2x+l)<0

故解得

2%+lwO

所以4的解集为［X|一:<XV11.

2x+l12J

19.已知关于x的不等式苏-3无+2>0的解集为｛小<1或x>耳S>1).

⑴求6的值；

db

⑵当尤>0,y>0,且满足一+―=1时，有2x+y2k?+左+2恒成立，求上的取值范围.

xy

a=l

【答案】⑴

b=2

(2)[-3,2]

【分析】(1)根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出。、人的值;

12

(2)由题可得一+—=1,结合基本不等式，求出2x+y的最小值，得到关于看的不等式，解出即可.

xy

【详解】(1)因为不等式加一3*+2>0的解集为｛中<1或%>耳。>1),

所以1和b是方程/-3尤+2=0的两个实数根且a>0,

所以[[a上—一3+326+=203解得[ab==l2或[ktz=1(舍)•

fa=112

(2)由(1)知7,于是有一+—=1,

[b=2xy

>2%+^=(2x+y)f-+—>1=4+—+—^4+2—=8

y)%yy

y4x121x=2

当且仅当上=一，一+—=1时，即,时，等号成立.

xyxy[y=4

22

依题意有(2x+y)1nhi>k+k+2,Bp8>k+k+2,

得人2+左-640=>-34左42,所以％的取值范围为b3,2].

20.“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为

代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具

有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的

科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该

高级设备的年产量为尤百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80

3x2+20x,0<x<40,xeN

百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本G(x)万元，且G(x)=18000,on，

205xH-----------3350,40<x<80,xeN

每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出.

(1)求企业获得年利润尸(x)(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式(利润=销售收入一成本);

(2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.

一3尤2+180x-1500,0<x<40

【答案】⑴尸(x)=

-5.x-+1850,40<x480

(2)当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元

【分析】（1）由条件根据利润和销售收入，成本之间的关系求出年利润与年产量之间的关系；

（2）分区间，结合二次函数性质和基本不等式求年利润的最大值.

3x2+20.x,0<x<40,xeN

【详解】（1）..,G（x）=<（18000，

205x+----------3350,40<xW80,尤eN

、龙

.•.当0VxV40时，

P（x）=200尤-（3X2+20X）-1500--3尤②+180尤一1500.

当40<xW80时，

P（无）=200犬一205_¥—^^+3350—1500=—5尤一^^+1850.

XX

'-3x2+180x-1500,0<x<40

综上所述，P（x）=<18000

'7一5龙------+1850,40<%<80

、无

'-3X2+180X-1500,0<%<40

（2）由（1）得P（无）=，18000

-5%----------+1850,40<x<80

.•.当0Wx440时，P（x）=-3x2+180x-1500=-3（x-30）2+1200

.,.当x=30时，P（x）a=1200（万元）

当40<x<80时，

P（x）=—