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文档简介
专一次函数背景下的
将军饮马问题
模型介绍
口方法点拨
一、求线段之和的最小值
1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;
(1)点A、B在直线m两侧:
•'•
BB
(2)点A、B在直线同侧:
*
B
A、A'是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
(1)两个点都在直线外侧:
(2)一个点在内侧,一个点在外侧:
(3)两个点都在内侧:
(4)、台球两次碰壁模型
变式一:已知点A、B位于直线m,n的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周
长最短.
变式二:已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
O
例题精讲
【例矩形0ABe在平面直角坐标系中的位置如图所示,点8的坐标为(3,4),。是OA的中点,点E
在上,当△CDE的周长最小时,点£的坐标为.
A变式训练
【变17].已知菱形。4BC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),。8=4病,点尸是对角
【变1-2].如图,在平面直角坐标系中,矩形ABC。的顶点3在原点,点A、C在坐标轴上,点。的坐标
为(6,4),E为的中点,点P、。为BC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,
则点P的坐标应为.
【例2].如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),点2坐标为(4,1),点C在x轴上,点。在
y轴上,则以A、B、C、。为顶点的四边形的周长的最小值是.
A变式训练
【变27].如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是线
段A8,上的动点,则△CDE的周长的最小值是()
C.4&+4D.12
【变2-2].如图,正比例函数的图象与反比例函数y更在第一象限的图象交于A点,过A
点作无轴的垂线,垂足为已知的面积为1.如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点
8与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点尸,使研+P8最小.
实战演练
1.如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于点A,8,点C(-2,0)是x轴上一点,点E,F
分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点,当周长最小时,点、E,E的坐标分别为(
B.E(-2,2),F(0,2)
D.E(-2,2),F(0,2)
3
2.如图所示,直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,点C是02的中点,D,£分别是直线AB和y
轴上的动点,则△CZJE周长的最小值是
4.如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OA上
的动点,则△CDE周长的最小值是.
5.如图,在中,ZOBA=90°,A(4,4),点C在边A8上,且空_=上,点。为。8的中点,
CB3
点P为边上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PD8C周长最小的点P的坐标为P(,)
6.如图,平面直角坐标系中,直线y='x+8分别交x轴,y轴于A,8两点,点C为。8的中点,点。在
第二象限,且四边形AOCD为矩形.动点尸为C。上一点,PHLOA,垂足为H,点。是点8关于点A
的对称点,当BP+/W+8Q值最小时,点尸的坐标为.
7.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△A3C关于直线/成轴对称的△ABC;
(2)在直线/上找一点P,使出+尸8的长最短.
8.如图,已知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,4),8(-2,-2),C(3,0),点尸在线段AC上移动.当
点P坐标为(1,也)时,请在y轴上找点。使△PQC周长最小.
9.如图,直线/1的解析表达式为y=-3x+3,且/i与x轴交于点。,直线/2经过点A、B,直线人、力交于
点C.
(1)求点D的坐标;
(2)求直线/2的解析表达式;
(3)在无轴上求作一点使8M+CM的和最小,直接写出M的坐标.
10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2尤+10与x轴交于点8,与y轴交于点C,与直线交于
点A,点M是y轴上的一个动点,设m).
(1)若MA+MB的值最小,求机的值;
(2)若直线AM将△AC。分割成两个等腰三角形,请求出机的值,并说明理由.
11.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、
B、C三点不在同一条直线上.
(1)求的长;
(2)求△ABC的周长的最小值;
(3)若。(3,4),连接AD、CD,是否存在点C,使得△AC。的面积与6?若存在,求出点C,若不
存在,说明理由.
12.如图,一次函数y=-|x+2的图象分别与尤轴、y轴交于A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰
RtAABC,使/BAC=90°.
(1)分别求点A、C的坐标;
(2)在无轴上求一点P,使它到8、C两点的距离之和最小.
13.如图,一次函数〉=区+6的图象与无轴,y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).
(1)求该一次函数的表达式.
(2)。为坐标原点,。为A8的中点,OC=L点尸为y轴上的动点,求尸C+P。的最小值,并求出此
时点P的坐标(用两种不同的方法求解).
14.已知一次函数y=fcv+b的图象经过点A(-1,-1)和点3(1,-3).求:
(1)求一次函数的表达式;
(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积;
(3)请在x轴上找到一点P,使得弘+PB最小,并求出尸的坐标.
15.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,ZBAC=90°,且A
(2,0)、B(3,3),BC交y轴于
(1)求点C的坐标;
(2)连接AM,求的面积;
(3)在无轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时P的坐标.
备用图
16.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y=fcc+8分别交无轴,y轴于A、8两点,已知A点坐标(6,
0),点C在直线AB上,横坐标为3,点。是无轴正半轴上的一个动点,连接。,以C£)为直角边在右
侧构造一个等腰Rtz^CDE,且/。£=90°.
(1)求直线AB的解析式以及C点坐标;
(2)设点。的横坐标为m,试用含m的代数式表示点E的坐标;
(3)如图2,连接OC,OE,请直接写出使得AOCE周长最小时,点E的坐标.
17.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0),ABM轴,且AB=10,点C(0,b),a,b满足b=,a-25
+V25-a+15.点P(t,0)是线段AO上一点(不包含A,。).
(1)当f=5时,求尸8:PC的值;
(2)当尸C+PB最小时,求t的值;
(3)请根据以上的启发,解决如下问题:正数〃z,〃满足小+"=10,且正数+9+«/+25,则
正数P的最小值=.
Bj5|模型介绍
口方法点拨
一、求线段之和的最小值
1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;
(1)点A、B在直线m两侧:
(2)点A、B在直线同侧:
A、A'是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
(1)两个点都在直线外侧:
A
A
m
(2)一个点在内侧,一个点在外侧:
(4)、台球两次碰壁模型
变式一:已知点A、B位于直线m,n的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的
四边形ADEB周长最短.
变式二:已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最
0
例题精讲
【例1】.矩形0A8C在平面直角坐标系中的位置如图所示,点3的坐标为(3,4),D是
OA的中点,点E在A8上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为(3,&)
3-
解:如图,作点。关于直线的对称点",连接C8与的交点为E,此时△CDE的
周长最小.
;D(旦,0),A(3,0),
2
:.H(20),
2
直线CH解析式为尸-柒+4,
;.x=3时,j=—,
-3
二点E坐标(3,—),
3
故答案为:(3,A).
3
A变式训练
【变17].已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4疾,
点尸是对角线02上的一个动点,。(0,1),当CP+DP最短时,点尸的坐标为()
解:如图,连接AC交于K,作KHJ_OA于凡
:四边形ABC。是菱形,
:.ACLOB,A、C关于对角线。8对称,
:.PC=PA,
:.PC+PD^PA+PD,
...当Q、P、A共线时,PC+尸。的值最小,
在Rt/XOAK中,,:OK=2疵,0A=5,
22
;•AK=VOA-OK=遥,
':KH±0A,
=2,°^=V0K2-KH2=4-
:.K(4,2),
直线OK的解析式为y=/x,
直线AD的解析式为尸--1x+l,
'-JP.
X=
zT
由,解得,匚,
ly=7b
.•.08与AD的交点P华,
最短时,点尸的坐标为(卫,),、
,当点P与P'重合时,CP+ZJP
7
【变1-2].如图,在平面直角坐标系中,矩形A8CD的顶点8在原点,点A、C在坐标轴
上,点。的坐标为(6,4),E为CZ)的中点,点P、。为BC边上两个动点,且PQ=2,
要使四边形APQE的周长最小,则点尸的坐标应为(足,0)
3
点E关于BC的对称点R连接交于Q,
此时MQ+EQ最小,
,;PQ=2,DE—CE—2,AE=J$2+22=2V10,
要使四边形APQE的周长最小,只要AP+E。最小就行,
即AP+EQ=MQ+EQ,过M作MNLBC于N,
设CQ=x,贝!INQ=6-2-x=4-x,
「△MN0s△FC°,
.•M•N--=N-Q--
CFCQ
<MN=AB=4,CF=CE=2,CQ=x,QN=4-尤,
•.•—4=-4---x,
2x
解得:x=4,
3
:.BP^6-2-9=旦,
33
故点P的坐标为:(出■,0).
3
故答案为:(反,0).
3
【例2].如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),点B坐标为(4,1),点C在
x轴上,点。在y轴上,则以A、8、C、。为顶点的四边形的周长的最小值是_、/]§土历_.
解:如图,作点A关于y轴的对称点A',点B关于无轴的对称点8,,连接A'B'交
x轴于C,交y轴于。,连接A。,CD,BC,AB,四边形ABCD的周长最小.
由作图可知:AD=DA',BC=CB',A'(-1,3),B'(4,-1)
四边形A8CQ的周长=AB+BC+C£>+AO
=AB+B'C+CD+DA'
=AB+A'B'
=VS2+22+
=+V4i,
故答案为“13+V41-
A变式训练
【变2-1].如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,
D,£分别是线段AB,上的动点,则△CDE的周长的最小值是()
C.4&+4D.12
解:作点C关于y轴的对称点C,作点C关于y=-x+7的对称点C,连接CC',则4
CDE的周长的最小值为CC的长;
VC(1,0),
:.C(-1,0),
设CCm,"),则有
n=-m+l+7;-^―=1,
22IR-1
••根=7,〃=6,
:.C'(7,6),
故选:B.
正比例函数」的图象与反比例函数(左)在第一象限的图象
[变2-2].如图,vvv*W0
'2**'X
交于A点,过A点作无轴的垂线,垂足为已知△OAM的面积为1.如果B为反比例
函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且8点的横坐标为1,在x轴上求一
解:设A点的坐标为(。,b),则b」二,
a
・・ab=k.
viab=1,
:.k=2,
...反比例函数的解析式为了上.
根据题意画出图形,如图所示:
联立得,
Y=1
解得,
为(2,1),
设A点关于无轴的对称点为C,则C点的坐标为(2,-1).
令直线BC的解析式为y=mx+n
■:B为(1,2),
将8和C的坐标代入得:12m书
lm+n:
解得:(m3
ln=5
:.BC的解析式为y=-3x+5,
当y=0时,,
点为(且,0).
3
故答案为:(§,0).
3
1.如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,点C(-2,0)是无轴上
一点,点、E,尸分别为直线>=尤+4和y轴上的两个动点,当△CEP周长最小时,点E,F
的坐标分别为()
C.E(一且,W),F(0,2)D.£(-2,2),F(0,2)
2233
解:作C(-2,0)关于y轴的对称点G(2,0),作C(2,0)关于直线y=x+4的对称
点。,连接AO,连接。G交AB于E,交y轴于凡如图:
Z.CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG,此时△CEF周长最小,
由y=x+4得A(-4,0),B(0,4),
:.OA=OB,ZVIOB是等腰直角三角形,
:.ZBAC=45°,
VC>。关于AB对称,
:.ZDAB=ZBAC=45°,
:.ZDAC^9Q°,
VC(-2,0),
.,.AC^OA-OC=2=A£>,
:.D(-4,2),
由。(-4,2),G(2,0)可得直线£>G解析式为y=-
在>=-工x+2中,令x=0得y=2,
33-3
:.F(0,—),
3
,5
x-3
由得,
3
y=I
:.E(-反,旦),
22
的坐标为(-c,3),尸的坐标为(0,—
223
故选:C.
2.如图所示,直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,点C是的中点,D,E分
别是直线AB和y轴上的动点,则△CDE周长的最小值是2^-10.
解:如图,作点C关于A3的对称点尸,关于4。的对称点G,连接。尸,EG,
.直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点,点C是的中点,
AA(0,4),B(-4,0),C(-2,0),
.♦.20=4,0G=2,BG=6,OA=OB,
:.ZABC=45°,
...△BCF是等腰直角三角形,
:.BF=BC=2,
由轴对称的性质,可得£>B=Z)C,EC=EG,
当点凡D,E,G在同一直线上时,△COE的周长=CO+OE+CE=OF+£>E+EG=FG,
此时△£>£(:周长最小,
•/RtABFG中,FG=^Bp2+BG2=2y5,
周长的最小值是2丁元.
故答案为:2r.
3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+3&的图象与x轴交于点A,与y轴交于点
2,点尸在线段上,PCrr轴于点C,则△「(%)周长的最小值为3+3芯.
解:设点P(,W,m+3&),则PC=〃?+36,0C=-m,
△PCO周长=0P+0C+PC=0P+,〃+3&-m=3近+PO,
即△PCO周长取得最小值时,只需要。尸最小即可,
故点。作ODLAP,当点。、尸重合时,OP(。。)最小,
△AOB为等腰直角三角形,则BOD也为等腰三角形,
设:OD=a,则。O=8O=a,
由勾股定理得:2a2=(35/2)2,解得:a=3=OD=OP,
故△产(%)周长的最小值=3&+尸。=3+3如,
故答案为:3+3近.
4.如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,8两点,D,E分
别是AB,0A上的动点,则△CDE周长的最小值是10.
解:如图,点C关于OA的对称点C'(-1,0),点C关于直线AB的对称点C〃,
,/直线AB的解析式为y=-x+7,
直线CC"的解析式为y=x-1,
由[y=-x+7解得,
ly=x-l
直线AB与直线CC”的交点坐标为K(4,3),
:K是CC"中点,
可得C"(7,6).
连接C'C"与AO交于点E,与AB交于点。,此时周长最小,
△DEC的周长=£>E+EC+C£)=EC'+ED+DC"=C'C"=^g2+g2=io.
故答案为10.
蚂」点。
5.,A(4,4),点C在边AB上,且.
CB3
为08的中点,点尸为边。4上的动点,当点P在。1上移动时,使四边形尸。BC周长
最小的点P的坐标为P(旦,区)
3一3一
ZOBA=90°,A(4,4),
:.AB=OB=4,ZAOB=45°,
•.•蚂=工,点。为。8的中点,
CB3
:.BC=3,OD=BD=2,
:.D(2,0),C(4,3),
作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,
则此时,四边形PO2C周长最小,E(0,2),
•.•直线0A的解析式为y=x,
设直线EC的解析式为y=kx+b,
b=2
4k+b=3
解得:,4,
b=2
直线EC的解析式为y=^x+2,
/8
y=xx=y
解<1得,,o,
卜?+2y4
o
:.p,旦),
33
故答案为:(旦,1).
33
6.如图,平面直角坐标系中,直线y=4x+8分别交无轴,y轴于A,2两点,点、C为0B
3
的中点,点。在第二象限,且四边形49C。为矩形.动点尸为CD上一点,PH±OA,
垂足为H,点。是点B关于点A的对称点,当BP+PH+HQ值最小时,点P的坐标为(-
4,4).
解:BP+PH+H。有最小值,
理由是::直线y=^x+8分别交x轴,y轴于A,8两点,点C为的中点,
3
.•.08=8,OA=6,OC=4,
连接P8,CH,HQ,则四边形PHCB是平行四边形,如图,
•.•四边形PHCB是平行四边形,
:.PB=CH,
:.BP+PH+HQ=CH+HQ+4,
;BP+P/Z+H。有最小值,即CH+HQ+4有最小值,
,只需CH+HQ最小即可,
:两点之间线段最短,
当点C,H,。在同一直线上时,CH+H。的值最小,
过点。作QMLy轴,垂足为M,
,/点Q是点B关于点A的对称点,
0A是的中位线,
:.QM=2OA=12,0M=0B=8,
:.Q(-12,-8),
设直线CQ的关系式为:y=kx+b,
将C(0,4)和。(-12,-8)分别代入上式得:
(b=4
1-12k+b=_8
解得:产4.
lk=l
直线C。的关系式为:y=x+4,
令y=0得:x—-4,
:.H(-4,0),
轴,
:.P(-4,4),
故答案为:(-4,4).
7.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形
的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线/成轴对称的△A8C;
(2)在直线/上找一点P,使丛+PB的长最短.
解:(1)如图,B'C即为所求.
8.如图,己知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,4),2(-2,-2),C(3,0),点P在
线段AC上移动.当点尸坐标为(1,m)时,请在y轴上找点。使△PQC周长最小.
设直线AC的解析式为y=kx+b,
b=4,解得,
3k+b=0b=4
直线AC的解析式为y=--|x+4;
:点尸在线段AC上移动,点尸坐标为(1,m),
'.m—-Ax1+4=—,
33
:.P(1,—
3
作尸点关于y轴的对称点p,连接PC交y轴于。,此时PQ+QC=PC,根据两点
之间线段最短,。就是使△PQC周长最小的点;
贝I]P'(-1,1),
3
设直线P'C的解析式为
_8.2
F4n一不,解得.m,,
3m+n=0n=2
,直线PC的解析式为尸-尹2,
二。点的坐标为(0,2).
9.如图,直线/1的解析表达式为y=-3尤+3,且与无轴交于点D,直线h经过点A、B,
直线/1、/2交于点C.
(1)求点D的坐标;
(2)求直线/2的解析表达式;
(3)在x轴上求作一点使8M+CM的和最小,直接写出M的坐标.
解:(1)•.•直线的解析表达式为y=-3x+3,且/i与x轴交于点。,
当y=0时,x=l,
:.D(1,0).
2
3k+b==
(2)设直线/2的解析式为y=fcv+b,则有,
4k+b=0
解得,
2尤-8
33
17
V----------
y=-3x+311
(3)如图,由,解得,
28,18
噌密
直线BC'的解析式为y=-工2无+至,
1212
:.M(组0).
19
10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2X+10与无轴交于点2,与y轴交于点C,与
直线y=£x交于点A,点M是y轴上的一个动点,设M(0,m).
(1)若MA+MB的值最小,求m的值;
(2)若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形,请求出机的值,并说明理由.
解:(1)直线y=-2x+10与x轴交于点8,与y轴交于点C,
:.B(5,0),C(0,10),
y=-2x+10
解,1得,
一
AA(4,2),
点关于y轴的对称点A'(-4,2),
如图1,连接A'B,交y轴的交点为
此时MA=M4',MA+MB=MA'+MB=A'B,K4+M8的值最小,
设直线A'8的解析式为y=fcv+b,
把A'(-4,2),B(5,0)代入得,
解得%=-2,6=独,
99
...直线A'8的解析式为y=-Zx+独,
99
把M(0,m)代入得,机=」与;
9
(2)如图2,VA(4,2),B(5,0),C(0,10),
.•.OA2=42+22=20,AC2=(4-0)2+(2-10)2=80,OC2=102=100,
.•.OA2+AC2=OC2,
...△OAC是以OC为斜边的直角三角形,
若M点是OC的中点,则AM=<OC,此时直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形,
2
:.M(0,5),
・・"1=5.
11.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的
一个动点,且A、8、C三点不在同一条直线上.
(1)求的长;
(2)求△ABC的周长的最小值;
(3)若。(3,4),连接AD、CD,是否存在点C,使得△ACZ)的面积与6?若存在,
求出点C,若不存在,说明理由.
解:(1)作AO_LOB于。,如图1所示:
图1
则,。。=1,4。=4,。2=3,
,8£)=3-1=2,
••AB—422+42=2V5•
要使△ABC的周长最小,A3一定,
则AC+BC最小,
作A关于y轴的对称点A',连接8A'交y轴于点C,
点C即为使AC+BC最小的点,
作A'ELc轴于E.
由对称的性质得:AC=A'C,
则AC+BC=A'B,A'E=4,OE=1,
:.BE=4,
由勾股定理得:A'B==4近,
.,.△ABC的周长的最小值为2遥+4圾.
由题意:yX2X|m-4|=6,
解得加=10或-2,
J满足条件的点。的坐标为(0,10)或(0,-2).
如图,一次函数了=的图象分别与轴、轴交于、B,
12.4^+2XyA以线段AB为边在第一
象限内作等腰Rt^ABC,使/54C=90°.
(1)分别求点A、C的坐标;
(2)在x轴上求一点尸,使它到3、C两点的距离之和最小.
解:(1)作CD_L尤轴,
':ZOAB+ZCAD=90°,ZCAD+ZACD=90°,
:.ZOAB^ZACD,
在△AB。和△CAO中,
.♦.△ABO丝△CW(AA5)
:.AD=OB,CD=OA,
•”-_|x+2与x轴、y轴交于点A、B,
:.A(3,0),B(0,2),
.•.点C坐标为(5,3);
£
则E点坐标为(5,-3),将(0,2)(5,-3),代入y=or+c中,
f5a+c=-3
jc=2,
解得:
1c=2
直线BE解析式为y=-x+2,
设点尸坐标为(尤,0),
则(x,0)位于直线8E上,
二点尸坐标为(2,0).
13.如图,一次函数了=依+人的图象与x轴,y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).
(1)求该一次函数的表达式.
(2)0为坐标原点,。为A3的中点,OC=1,点P为y轴上的动点,求PC+PO的最
小值,并求出此时点尸的坐标(用两种不同的方法求解).
解:(1)设一次函数表达式为y=fcc+6,
将A(4,0)B(0,2)代入得4k+b,
I2=b
解得:2,
b=2
所以一次函数表达式为>=--1x+2;
(2)法1:过点。作交04于点E,
VA(4,0),B(0,2),
,。4=4,02=2,
又:。为A3中点,DE//OB,
:.DE为LBOA的中位线,
:.DE^—OB^1,0£=工04=2,
22
:.D(2,1),
作点。关于y轴的对称点。',连接C交y轴于点P,即为所求,
:.D'(-2,1),
":ZD'=/尸'CO,ZD'HP'=/POC,
;.△»HP's»OC,
.D'H_HP'—
••--------;--乙,
OCOP'
:.OP'=」,
3
••P坐标为(0,—最小值为J(1+2)2+12=710;
3
法2:求点的坐标部分同方法一,也可用中点坐标公式直接可得,
设直线CD'的表达式为y=mx+n,
把。'(-2,1),C(1,0)代入得:
I0=m+n
1
m="y
解得:[]
n=~3
当x=0时,y=—,
3
14.已知一次函数y=fcx+Z?的图象经过点A(-1,-1)和点3(1,-3).求:
(1)求一次函数的表达式;
(2)求直线A8与坐标轴围成的三角形的面积;
(3)请在x轴上找到一点P,使得出+PB最小,并求出P的坐标.
解:(1)设y与x的函数关系式为丁=履+。,
把A(-l,-1)5(1,-3)代入得:-k+b=-1,k+b=-3,
解得:k=-1,b=-2,
,一次函数表达式为:y=-x-2;
(2)设直线与x轴交于C,与y轴交于Q,
把y=0代入y=-X-2,
解得x=-2,
・•・0C=2,
把x=0代入y=-x-2,
解得:y--2,
:.0D=2,
/.SACOD=-xOCXOD=Ax2X2=2;
22
(3)作A与4关于X轴对称,连接A1B交X轴于P,则P即为所求,
由对称知:4(-1,1),
设直线45解析式为y=〃x+c,得-〃+c=l,a+c=-3,
解得:a=-2,c=-1,
・・y=-2x-1,
令y=0得-2x-1=0,
解得:X=-—,
2
:.p(-A,o).
2
15.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,Z
BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y轴于M,
(1)求点C的坐标;
(2)连接AM,求△AM2的面积;
(3)在无轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时尸的坐标.
备用图
解:(1)如图1,作CO_Lx轴于。,BE_Lx轴于E,
:.ZCAD-^ZDCA=90°,
VZBAC=90°,
:.ZCAD+ZBAE=90°,
:.ZBAE=ZACDf
在△CDA和AAEB中,
.,.△CDA^AAEB(A4S),
:.CD=AE,AD=BE,
\'A(2,0)、B(3,3),
:.OA=2,OE=BE=3,
:.CD=AE=1,OD=AD-04=1,
;.C的坐标是(-1,1);
(2)如图2,作笈ELt轴于作
设直线BC的解析式为y=kx+b,
点的坐标为(3,3),C点的坐标是(-1,1),
.J3k+b=3,
l-k+b=l)
[k=l
2
解得,,Q,
b=>2r
直线BC的解析式为尸产|,
当尤=0时,y=3,
-2
2
:.^AMB的面积=梯形MOEB的面积-△AOM的面积-4AEB的面积
=Ax(3+3)义3-2义2义旦-工义1X3
22222
V
(3)如图3,作M关于x轴的对称点(0,-S),连接BAT,交x轴于点尸,此时
2
PB+PM的值最小,
设直线BM'的解析式为y=iwc+nf
3m+n=3
则
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