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文档简介

专一次函数背景下的

将军饮马问题

模型介绍

口方法点拨

一、求线段之和的最小值

1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;

(1)点A、B在直线m两侧:

•'•

BB

(2)点A、B在直线同侧:

*

B

A、A'是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)两个点都在直线外侧:

(2)一个点在内侧,一个点在外侧:

(3)两个点都在内侧:

(4)、台球两次碰壁模型

变式一:已知点A、B位于直线m,n的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周

长最短.

变式二:已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

O

例题精讲

【例矩形0ABe在平面直角坐标系中的位置如图所示,点8的坐标为(3,4),。是OA的中点,点E

在上,当△CDE的周长最小时,点£的坐标为.

A变式训练

【变17].已知菱形。4BC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),。8=4病,点尸是对角

【变1-2].如图,在平面直角坐标系中,矩形ABC。的顶点3在原点,点A、C在坐标轴上,点。的坐标

为(6,4),E为的中点,点P、。为BC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,

则点P的坐标应为.

【例2].如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),点2坐标为(4,1),点C在x轴上,点。在

y轴上,则以A、B、C、。为顶点的四边形的周长的最小值是.

A变式训练

【变27].如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是线

段A8,上的动点,则△CDE的周长的最小值是()

C.4&+4D.12

【变2-2].如图,正比例函数的图象与反比例函数y更在第一象限的图象交于A点,过A

点作无轴的垂线,垂足为已知的面积为1.如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点

8与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点尸,使研+P8最小.

实战演练

1.如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于点A,8,点C(-2,0)是x轴上一点,点E,F

分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点,当周长最小时,点、E,E的坐标分别为(

B.E(-2,2),F(0,2)

D.E(-2,2),F(0,2)

3

2.如图所示,直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,点C是02的中点,D,£分别是直线AB和y

轴上的动点,则△CZJE周长的最小值是

4.如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OA上

的动点,则△CDE周长的最小值是.

5.如图,在中,ZOBA=90°,A(4,4),点C在边A8上,且空_=上,点。为。8的中点,

CB3

点P为边上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PD8C周长最小的点P的坐标为P(,)

6.如图,平面直角坐标系中,直线y='x+8分别交x轴,y轴于A,8两点,点C为。8的中点,点。在

第二象限,且四边形AOCD为矩形.动点尸为C。上一点,PHLOA,垂足为H,点。是点8关于点A

的对称点,当BP+/W+8Q值最小时,点尸的坐标为.

7.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的顶点上.

(1)在图中画出与△A3C关于直线/成轴对称的△ABC;

(2)在直线/上找一点P,使出+尸8的长最短.

8.如图,已知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,4),8(-2,-2),C(3,0),点尸在线段AC上移动.当

点P坐标为(1,也)时,请在y轴上找点。使△PQC周长最小.

9.如图,直线/1的解析表达式为y=-3x+3,且/i与x轴交于点。,直线/2经过点A、B,直线人、力交于

点C.

(1)求点D的坐标;

(2)求直线/2的解析表达式;

(3)在无轴上求作一点使8M+CM的和最小,直接写出M的坐标.

10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2尤+10与x轴交于点8,与y轴交于点C,与直线交于

点A,点M是y轴上的一个动点,设m).

(1)若MA+MB的值最小,求机的值;

(2)若直线AM将△AC。分割成两个等腰三角形,请求出机的值,并说明理由.

11.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A、

B、C三点不在同一条直线上.

(1)求的长;

(2)求△ABC的周长的最小值;

(3)若。(3,4),连接AD、CD,是否存在点C,使得△AC。的面积与6?若存在,求出点C,若不

存在,说明理由.

12.如图,一次函数y=-|x+2的图象分别与尤轴、y轴交于A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰

RtAABC,使/BAC=90°.

(1)分别求点A、C的坐标;

(2)在无轴上求一点P,使它到8、C两点的距离之和最小.

13.如图,一次函数〉=区+6的图象与无轴,y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).

(1)求该一次函数的表达式.

(2)。为坐标原点,。为A8的中点,OC=L点尸为y轴上的动点,求尸C+P。的最小值,并求出此

时点P的坐标(用两种不同的方法求解).

14.已知一次函数y=fcv+b的图象经过点A(-1,-1)和点3(1,-3).求:

(1)求一次函数的表达式;

(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积;

(3)请在x轴上找到一点P,使得弘+PB最小,并求出尸的坐标.

15.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,ZBAC=90°,且A

(2,0)、B(3,3),BC交y轴于

(1)求点C的坐标;

(2)连接AM,求的面积;

(3)在无轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时P的坐标.

备用图

16.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y=fcc+8分别交无轴,y轴于A、8两点,已知A点坐标(6,

0),点C在直线AB上,横坐标为3,点。是无轴正半轴上的一个动点,连接。,以C£)为直角边在右

侧构造一个等腰Rtz^CDE,且/。£=90°.

(1)求直线AB的解析式以及C点坐标;

(2)设点。的横坐标为m,试用含m的代数式表示点E的坐标;

(3)如图2,连接OC,OE,请直接写出使得AOCE周长最小时,点E的坐标.

17.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0),ABM轴,且AB=10,点C(0,b),a,b满足b=,a-25

+V25-a+15.点P(t,0)是线段AO上一点(不包含A,。).

(1)当f=5时,求尸8:PC的值;

(2)当尸C+PB最小时,求t的值;

(3)请根据以上的启发,解决如下问题:正数〃z,〃满足小+"=10,且正数+9+«/+25,则

正数P的最小值=.

Bj5|模型介绍

口方法点拨

一、求线段之和的最小值

1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;

(1)点A、B在直线m两侧:

(2)点A、B在直线同侧:

A、A'是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)两个点都在直线外侧:

A

A

m

(2)一个点在内侧,一个点在外侧:

(4)、台球两次碰壁模型

变式一:已知点A、B位于直线m,n的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的

四边形ADEB周长最短.

变式二:已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最

0

例题精讲

【例1】.矩形0A8C在平面直角坐标系中的位置如图所示,点3的坐标为(3,4),D是

OA的中点,点E在A8上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为(3,&)

3-

解:如图,作点。关于直线的对称点",连接C8与的交点为E,此时△CDE的

周长最小.

;D(旦,0),A(3,0),

2

:.H(20),

2

直线CH解析式为尸-柒+4,

;.x=3时,j=—,

-3

二点E坐标(3,—),

3

故答案为:(3,A).

3

A变式训练

【变17].已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4疾,

点尸是对角线02上的一个动点,。(0,1),当CP+DP最短时,点尸的坐标为()

解:如图,连接AC交于K,作KHJ_OA于凡

:四边形ABC。是菱形,

:.ACLOB,A、C关于对角线。8对称,

:.PC=PA,

:.PC+PD^PA+PD,

...当Q、P、A共线时,PC+尸。的值最小,

在Rt/XOAK中,,:OK=2疵,0A=5,

22

;•AK=VOA-OK=遥,

':KH±0A,

=2,°^=V0K2-KH2=4-

:.K(4,2),

直线OK的解析式为y=/x,

直线AD的解析式为尸--1x+l,

'-JP.

X=

zT

由,解得,匚,

ly=7b

.•.08与AD的交点P华,

最短时,点尸的坐标为(卫,),、

,当点P与P'重合时,CP+ZJP

7

【变1-2].如图,在平面直角坐标系中,矩形A8CD的顶点8在原点,点A、C在坐标轴

上,点。的坐标为(6,4),E为CZ)的中点,点P、。为BC边上两个动点,且PQ=2,

要使四边形APQE的周长最小,则点尸的坐标应为(足,0)

3

点E关于BC的对称点R连接交于Q,

此时MQ+EQ最小,

,;PQ=2,DE—CE—2,AE=J$2+22=2V10,

要使四边形APQE的周长最小,只要AP+E。最小就行,

即AP+EQ=MQ+EQ,过M作MNLBC于N,

设CQ=x,贝!INQ=6-2-x=4-x,

「△MN0s△FC°,

.•M•N--=N-Q--

CFCQ

<MN=AB=4,CF=CE=2,CQ=x,QN=4-尤,

•.•—4=-4---x,

2x

解得:x=4,

3

:.BP^6-2-9=旦,

33

故点P的坐标为:(出■,0).

3

故答案为:(反,0).

3

【例2].如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),点B坐标为(4,1),点C在

x轴上,点。在y轴上,则以A、8、C、。为顶点的四边形的周长的最小值是_、/]§土历_.

解:如图,作点A关于y轴的对称点A',点B关于无轴的对称点8,,连接A'B'交

x轴于C,交y轴于。,连接A。,CD,BC,AB,四边形ABCD的周长最小.

由作图可知:AD=DA',BC=CB',A'(-1,3),B'(4,-1)

四边形A8CQ的周长=AB+BC+C£>+AO

=AB+B'C+CD+DA'

=AB+A'B'

=VS2+22+

=+V4i,

故答案为“13+V41-

A变式训练

【变2-1].如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,

D,£分别是线段AB,上的动点,则△CDE的周长的最小值是()

C.4&+4D.12

解:作点C关于y轴的对称点C,作点C关于y=-x+7的对称点C,连接CC',则4

CDE的周长的最小值为CC的长;

VC(1,0),

:.C(-1,0),

设CCm,"),则有

n=-m+l+7;-^―=1,

22IR-1

••根=7,〃=6,

:.C'(7,6),

故选:B.

正比例函数」的图象与反比例函数(左)在第一象限的图象

[变2-2].如图,vvv*W0

'2**'X

交于A点,过A点作无轴的垂线,垂足为已知△OAM的面积为1.如果B为反比例

函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且8点的横坐标为1,在x轴上求一

解:设A点的坐标为(。,b),则b」二,

a

・・ab=k.

viab=1,

:.k=2,

...反比例函数的解析式为了上.

根据题意画出图形,如图所示:

联立得,

Y=1

解得,

为(2,1),

设A点关于无轴的对称点为C,则C点的坐标为(2,-1).

令直线BC的解析式为y=mx+n

■:B为(1,2),

将8和C的坐标代入得:12m书

lm+n:

解得:(m3

ln=5

:.BC的解析式为y=-3x+5,

当y=0时,,

点为(且,0).

3

故答案为:(§,0).

3

1.如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,点C(-2,0)是无轴上

一点,点、E,尸分别为直线>=尤+4和y轴上的两个动点,当△CEP周长最小时,点E,F

的坐标分别为()

C.E(一且,W),F(0,2)D.£(-2,2),F(0,2)

2233

解:作C(-2,0)关于y轴的对称点G(2,0),作C(2,0)关于直线y=x+4的对称

点。,连接AO,连接。G交AB于E,交y轴于凡如图:

Z.CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG,此时△CEF周长最小,

由y=x+4得A(-4,0),B(0,4),

:.OA=OB,ZVIOB是等腰直角三角形,

:.ZBAC=45°,

VC>。关于AB对称,

:.ZDAB=ZBAC=45°,

:.ZDAC^9Q°,

VC(-2,0),

.,.AC^OA-OC=2=A£>,

:.D(-4,2),

由。(-4,2),G(2,0)可得直线£>G解析式为y=-

在>=-工x+2中,令x=0得y=2,

33-3

:.F(0,—),

3

,5

x-3

由得,

3

y=I

:.E(-反,旦),

22

的坐标为(-c,3),尸的坐标为(0,—

223

故选:C.

2.如图所示,直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,点C是的中点,D,E分

别是直线AB和y轴上的动点,则△CDE周长的最小值是2^-10.

解:如图,作点C关于A3的对称点尸,关于4。的对称点G,连接。尸,EG,

.直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点,点C是的中点,

AA(0,4),B(-4,0),C(-2,0),

.♦.20=4,0G=2,BG=6,OA=OB,

:.ZABC=45°,

...△BCF是等腰直角三角形,

:.BF=BC=2,

由轴对称的性质,可得£>B=Z)C,EC=EG,

当点凡D,E,G在同一直线上时,△COE的周长=CO+OE+CE=OF+£>E+EG=FG,

此时△£>£(:周长最小,

•/RtABFG中,FG=^Bp2+BG2=2y5,

周长的最小值是2丁元.

故答案为:2r.

3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+3&的图象与x轴交于点A,与y轴交于点

2,点尸在线段上,PCrr轴于点C,则△「(%)周长的最小值为3+3芯.

解:设点P(,W,m+3&),则PC=〃?+36,0C=-m,

△PCO周长=0P+0C+PC=0P+,〃+3&-m=3近+PO,

即△PCO周长取得最小值时,只需要。尸最小即可,

故点。作ODLAP,当点。、尸重合时,OP(。。)最小,

△AOB为等腰直角三角形,则BOD也为等腰三角形,

设:OD=a,则。O=8O=a,

由勾股定理得:2a2=(35/2)2,解得:a=3=OD=OP,

故△产(%)周长的最小值=3&+尸。=3+3如,

故答案为:3+3近.

4.如图所示,已知点C(l,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,8两点,D,E分

别是AB,0A上的动点,则△CDE周长的最小值是10.

解:如图,点C关于OA的对称点C'(-1,0),点C关于直线AB的对称点C〃,

,/直线AB的解析式为y=-x+7,

直线CC"的解析式为y=x-1,

由[y=-x+7解得,

ly=x-l

直线AB与直线CC”的交点坐标为K(4,3),

:K是CC"中点,

可得C"(7,6).

连接C'C"与AO交于点E,与AB交于点。,此时周长最小,

△DEC的周长=£>E+EC+C£)=EC'+ED+DC"=C'C"=^g2+g2=io.

故答案为10.

蚂」点。

5.,A(4,4),点C在边AB上,且.

CB3

为08的中点,点尸为边。4上的动点,当点P在。1上移动时,使四边形尸。BC周长

最小的点P的坐标为P(旦,区)

3一3一

ZOBA=90°,A(4,4),

:.AB=OB=4,ZAOB=45°,

•.•蚂=工,点。为。8的中点,

CB3

:.BC=3,OD=BD=2,

:.D(2,0),C(4,3),

作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,

则此时,四边形PO2C周长最小,E(0,2),

•.•直线0A的解析式为y=x,

设直线EC的解析式为y=kx+b,

b=2

4k+b=3

解得:,4,

b=2

直线EC的解析式为y=^x+2,

/8

y=xx=y

解<1得,,o,

卜?+2y4

o

:.p,旦),

33

故答案为:(旦,1).

33

6.如图,平面直角坐标系中,直线y=4x+8分别交无轴,y轴于A,2两点,点、C为0B

3

的中点,点。在第二象限,且四边形49C。为矩形.动点尸为CD上一点,PH±OA,

垂足为H,点。是点B关于点A的对称点,当BP+PH+HQ值最小时,点P的坐标为(-

4,4).

解:BP+PH+H。有最小值,

理由是::直线y=^x+8分别交x轴,y轴于A,8两点,点C为的中点,

3

.•.08=8,OA=6,OC=4,

连接P8,CH,HQ,则四边形PHCB是平行四边形,如图,

•.•四边形PHCB是平行四边形,

:.PB=CH,

:.BP+PH+HQ=CH+HQ+4,

;BP+P/Z+H。有最小值,即CH+HQ+4有最小值,

,只需CH+HQ最小即可,

:两点之间线段最短,

当点C,H,。在同一直线上时,CH+H。的值最小,

过点。作QMLy轴,垂足为M,

,/点Q是点B关于点A的对称点,

0A是的中位线,

:.QM=2OA=12,0M=0B=8,

:.Q(-12,-8),

设直线CQ的关系式为:y=kx+b,

将C(0,4)和。(-12,-8)分别代入上式得:

(b=4

1-12k+b=_8

解得:产4.

lk=l

直线C。的关系式为:y=x+4,

令y=0得:x—-4,

:.H(-4,0),

轴,

:.P(-4,4),

故答案为:(-4,4).

7.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形

的顶点上.

(1)在图中画出与△ABC关于直线/成轴对称的△A8C;

(2)在直线/上找一点P,使丛+PB的长最短.

解:(1)如图,B'C即为所求.

8.如图,己知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,4),2(-2,-2),C(3,0),点P在

线段AC上移动.当点尸坐标为(1,m)时,请在y轴上找点。使△PQC周长最小.

设直线AC的解析式为y=kx+b,

b=4,解得,

3k+b=0b=4

直线AC的解析式为y=--|x+4;

:点尸在线段AC上移动,点尸坐标为(1,m),

'.m—-Ax1+4=—,

33

:.P(1,—

3

作尸点关于y轴的对称点p,连接PC交y轴于。,此时PQ+QC=PC,根据两点

之间线段最短,。就是使△PQC周长最小的点;

贝I]P'(-1,1),

3

设直线P'C的解析式为

_8.2

F4n一不,解得.m,,

3m+n=0n=2

,直线PC的解析式为尸-尹2,

二。点的坐标为(0,2).

9.如图,直线/1的解析表达式为y=-3尤+3,且与无轴交于点D,直线h经过点A、B,

直线/1、/2交于点C.

(1)求点D的坐标;

(2)求直线/2的解析表达式;

(3)在x轴上求作一点使8M+CM的和最小,直接写出M的坐标.

解:(1)•.•直线的解析表达式为y=-3x+3,且/i与x轴交于点。,

当y=0时,x=l,

:.D(1,0).

2

3k+b==

(2)设直线/2的解析式为y=fcv+b,则有,

4k+b=0

解得,

2尤-8

33

17

V----------

y=-3x+311

(3)如图,由,解得,

28,18

噌密

直线BC'的解析式为y=-工2无+至,

1212

:.M(组0).

19

10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2X+10与无轴交于点2,与y轴交于点C,与

直线y=£x交于点A,点M是y轴上的一个动点,设M(0,m).

(1)若MA+MB的值最小,求m的值;

(2)若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形,请求出机的值,并说明理由.

解:(1)直线y=-2x+10与x轴交于点8,与y轴交于点C,

:.B(5,0),C(0,10),

y=-2x+10

解,1得,

AA(4,2),

点关于y轴的对称点A'(-4,2),

如图1,连接A'B,交y轴的交点为

此时MA=M4',MA+MB=MA'+MB=A'B,K4+M8的值最小,

设直线A'8的解析式为y=fcv+b,

把A'(-4,2),B(5,0)代入得,

解得%=-2,6=独,

99

...直线A'8的解析式为y=-Zx+独,

99

把M(0,m)代入得,机=」与;

9

(2)如图2,VA(4,2),B(5,0),C(0,10),

.•.OA2=42+22=20,AC2=(4-0)2+(2-10)2=80,OC2=102=100,

.•.OA2+AC2=OC2,

...△OAC是以OC为斜边的直角三角形,

若M点是OC的中点,则AM=<OC,此时直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形,

2

:.M(0,5),

・・"1=5.

11.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的

一个动点,且A、8、C三点不在同一条直线上.

(1)求的长;

(2)求△ABC的周长的最小值;

(3)若。(3,4),连接AD、CD,是否存在点C,使得△ACZ)的面积与6?若存在,

求出点C,若不存在,说明理由.

解:(1)作AO_LOB于。,如图1所示:

图1

则,。。=1,4。=4,。2=3,

,8£)=3-1=2,

••AB—422+42=2V5•

要使△ABC的周长最小,A3一定,

则AC+BC最小,

作A关于y轴的对称点A',连接8A'交y轴于点C,

点C即为使AC+BC最小的点,

作A'ELc轴于E.

由对称的性质得:AC=A'C,

则AC+BC=A'B,A'E=4,OE=1,

:.BE=4,

由勾股定理得:A'B==4近,

.,.△ABC的周长的最小值为2遥+4圾.

由题意:yX2X|m-4|=6,

解得加=10或-2,

J满足条件的点。的坐标为(0,10)或(0,-2).

如图,一次函数了=的图象分别与轴、轴交于、B,

12.4^+2XyA以线段AB为边在第一

象限内作等腰Rt^ABC,使/54C=90°.

(1)分别求点A、C的坐标;

(2)在x轴上求一点尸,使它到3、C两点的距离之和最小.

解:(1)作CD_L尤轴,

':ZOAB+ZCAD=90°,ZCAD+ZACD=90°,

:.ZOAB^ZACD,

在△AB。和△CAO中,

.♦.△ABO丝△CW(AA5)

:.AD=OB,CD=OA,

•”-_|x+2与x轴、y轴交于点A、B,

:.A(3,0),B(0,2),

.•.点C坐标为(5,3);

£

则E点坐标为(5,-3),将(0,2)(5,-3),代入y=or+c中,

f5a+c=-3

jc=2,

解得:

1c=2

直线BE解析式为y=-x+2,

设点尸坐标为(尤,0),

则(x,0)位于直线8E上,

二点尸坐标为(2,0).

13.如图,一次函数了=依+人的图象与x轴,y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).

(1)求该一次函数的表达式.

(2)0为坐标原点,。为A3的中点,OC=1,点P为y轴上的动点,求PC+PO的最

小值,并求出此时点尸的坐标(用两种不同的方法求解).

解:(1)设一次函数表达式为y=fcc+6,

将A(4,0)B(0,2)代入得4k+b,

I2=b

解得:2,

b=2

所以一次函数表达式为>=--1x+2;

(2)法1:过点。作交04于点E,

VA(4,0),B(0,2),

,。4=4,02=2,

又:。为A3中点,DE//OB,

:.DE为LBOA的中位线,

:.DE^—OB^1,0£=工04=2,

22

:.D(2,1),

作点。关于y轴的对称点。',连接C交y轴于点P,即为所求,

:.D'(-2,1),

":ZD'=/尸'CO,ZD'HP'=/POC,

;.△»HP's»OC,

.D'H_HP'—

••--------;--乙,

OCOP'

:.OP'=」,

3

••P坐标为(0,—最小值为J(1+2)2+12=710;

3

法2:求点的坐标部分同方法一,也可用中点坐标公式直接可得,

设直线CD'的表达式为y=mx+n,

把。'(-2,1),C(1,0)代入得:

I0=m+n

1

m="y

解得:[]

n=~3

当x=0时,y=—,

3

14.已知一次函数y=fcx+Z?的图象经过点A(-1,-1)和点3(1,-3).求:

(1)求一次函数的表达式;

(2)求直线A8与坐标轴围成的三角形的面积;

(3)请在x轴上找到一点P,使得出+PB最小,并求出P的坐标.

解:(1)设y与x的函数关系式为丁=履+。,

把A(-l,-1)5(1,-3)代入得:-k+b=-1,k+b=-3,

解得:k=-1,b=-2,

,一次函数表达式为:y=-x-2;

(2)设直线与x轴交于C,与y轴交于Q,

把y=0代入y=-X-2,

解得x=-2,

・•・0C=2,

把x=0代入y=-x-2,

解得:y--2,

:.0D=2,

/.SACOD=-xOCXOD=Ax2X2=2;

22

(3)作A与4关于X轴对称,连接A1B交X轴于P,则P即为所求,

由对称知:4(-1,1),

设直线45解析式为y=〃x+c,得-〃+c=l,a+c=-3,

解得:a=-2,c=-1,

・・y=-2x-1,

令y=0得-2x-1=0,

解得:X=-—,

2

:.p(-A,o).

2

15.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上,AB=AC,Z

BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y轴于M,

(1)求点C的坐标;

(2)连接AM,求△AM2的面积;

(3)在无轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时,求此时尸的坐标.

备用图

解:(1)如图1,作CO_Lx轴于。,BE_Lx轴于E,

:.ZCAD-^ZDCA=90°,

VZBAC=90°,

:.ZCAD+ZBAE=90°,

:.ZBAE=ZACDf

在△CDA和AAEB中,

.,.△CDA^AAEB(A4S),

:.CD=AE,AD=BE,

\'A(2,0)、B(3,3),

:.OA=2,OE=BE=3,

:.CD=AE=1,OD=AD-04=1,

;.C的坐标是(-1,1);

(2)如图2,作笈ELt轴于作

设直线BC的解析式为y=kx+b,

点的坐标为(3,3),C点的坐标是(-1,1),

.J3k+b=3,

l-k+b=l)

[k=l

2

解得,,Q,

b=>2r

直线BC的解析式为尸产|,

当尤=0时,y=3,

-2

2

:.^AMB的面积=梯形MOEB的面积-△AOM的面积-4AEB的面积

=Ax(3+3)义3-2义2义旦-工义1X3

22222

V

(3)如图3,作M关于x轴的对称点(0,-S),连接BAT,交x轴于点尸,此时

2

PB+PM的值最小,

设直线BM'的解析式为y=iwc+nf

3m+n=3

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