河北省邯郸市多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，圆心，半径，故圆C方程为.故选：B.2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】因为，所以，所以，解得．故选：B.3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直线与直线平行，∴，解得，∴直线，又∵直线可化为，∴两平行线之间的距离．故选：C．4.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以．故选：A．5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即.故选：C.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点，则，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为.故选：C.7.已知实数满足，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知，点满足关系式，且，可得点在线段上移动，且，，如图所示，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是.故选：D.8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值，即为点到平面的距离，因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又因为，所以三棱锥为正三棱锥，取等边的中心为，连接，可得平面，所以即为点到平面的距离，在等边，因为，可得，在直角中，可得，即点到平面的距离为，所以的最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间向量且，则下列说法正确的是（）A.B. C. D.【答案】ABD【解析】，故A正确；由于，设，则，故B正确；，故C错误；，故D正确．故选：ABD．10.直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（）A. B. C.4 D.5【答案】BC【解析】曲线表示圆在轴的上半部分，当直线与圆相切时，，解得，当点在直线上时，，所以由图可知实数m的取值范围为.故选：BC.11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面所成角的正切值的最大值为D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，因为，即，所以，即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A错误；对于B，在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角，因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；对于D，到直线的距离为，当点落在上时，，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若一条过原点的直线被圆所截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为___________.【答案】60°或120°【解析】圆的圆心，半径为2，由题意，直线斜率存在，设直线方程为，因为直线被圆所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，解得，所以该直线的倾斜角为60°或120°.13.已知向量若共面，则____________.【答案】【解析】因共面，所以存在实数，使得，即，即，解得．14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________．【答案】【解析】取中点，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，，设，则，，故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即.（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值.解：（1）因是直三棱柱，则，又因点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因平面平面，故平面.（2）如图，因直三棱柱中，故可以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则，故直线与直线的夹角的余弦值为.17.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形.（2）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为n=x,y,z，所以，故可取，设直线与平面所成角的大小为，所以即直线与平面所成角的正弦值为.18.已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为．（1）求此圆的标准方程；（2）若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围．解：（1）由题意可设此圆方程为，把点坐标代入得，则，所以圆的标准方程为．（2）直线l方程为，即，则有，可得定点，取线段BC中点为，则，令原点为O，，即，化简可得，即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为，所以的取值范围为．19.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角的正弦值为.①求的长；②求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）在矩形中，，且是的中点，，故，又，则，即，如图，记，连接，因是矩形，故是的中点，又，所以，又平面平面，平面平面平面，故平面，又平面，所以，又平面，所以平面.（2）①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，过