广东省广州市天天向上联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市天天向上联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故选：C.3.下列函数中，既是偶函数又在0，+∞上单调递增的是（A. B. C. D.【答案】D【解析】对于定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选项错误；对于是偶函数，但是0，+∞是减函数，选项B对于是奇函数，选项C错误；对于的定义域为，满足，是偶函数，且在0，+∞是递增的，选项D正确故选：D.4.给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求；B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确；CD选项，对于，不妨设，此时，解得，故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误.故选：B.5.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.A选项是充要条件，不成立；B选项中，不可推导出，B不成立；C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.故选：C.6.已知，且，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.7.定义在0，+∞上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在0，+又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：A.8.已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数，则函数在上为增函数，因为对均有成立，则，即对恒成立，令，则，解得，因此，实数的取值范围是.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.若且，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于AB，因为，所以，，故AB正确；对于C，，当时，，此时，故C错误；对于D，因为，所以，又，所以，故D正确.故选：ABD.10.我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（）A.已知，则B.已知或，则或x≥4C.如果，那么D.已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则【答案】BCD【解析】根据差集定义即为且，由，可得，所以A错误；由定义可得即为且，由或，可知或x≥4，即B正确；若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确；易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.B.关于的方程有个不同的解C.在上单调递减D.当时，恒成立.【答案】ACD【解析】选项A：，判断正确；选项B：画出部分图像如下：当时，由，可得或，由，可得或；由，可得，即当时，由可得3个不同的解，不是5个，判断错误；选项C：当时，，若即，则则，为减函数；当时，，若即，则，则，为减函数；当时，，若即，则，则，为减函数；综上，在上单调递减，判断正确；选项D：当时，可化为，同一坐标系内做出与的图像如下：等价于，即，而恒成立，判断正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为____________．【答案】【解析】的定义域满足且，解得且.13已知幂函数单调递减，则实数_________.【答案】【解析】因为幂函数单调递减，所以，解得.14.已知，若对一切实数，均有，则___.【答案】【解析】由对一切实数，均有，可知，即，解之得，则，满足，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.集合，．（1）求，；（2）若集合，，求的取值范围．解：（1）因为，或，或，所以或，或.（2）当时，显然，此时，即；当时，由题意有或，解得，综上，.16.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．（1）求出当时，的解析式；（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；（3）结合函数图象，求当时，函数的值域．解：（1）依题意，设，则，于是，因为为R上的奇函数，因此，所以当时，的解析式．（2）由已知及（1）得函数的图象如下：观察图象，得函数的单调递减区间为：．（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值，当时，有最大值，而当时，有，所以，当时，函数的值域为.17.已知函数为奇函数，其中为常数．（1）求的解析式和定义域；（2）若不等式成立，求实数的取值范围．解：（1）由分式的定义可知即，又因为为奇函数，，所以，解得，所以，定义域为.（2）因为，当时，，且单调递增，所以单调递减，若不等式成立，则，即，解得.18.党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．（1）求a的值；（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；（3）求车辆密度q的最大值．解：（1）依题意，，即，故正数，所以，a的值为.（2）当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；当时，由，解得，即，所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．（3）依题意，，所以，当时，；当时，，由于，所以，当时，q取得最大值．因为，所以车辆密度q的最大值为．19.若存在常数k，b使得函数与在给定区间上任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数．（1）证明：函数在区间上单调递增．（2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．解：（1）任取，不妨设，则，由，则，，故，即，故函数在区间上单调递增．（2）当时，y=f