2024-2025学年冀教版初中数学八年级（上）教案 第14章 实数

第十四章实数

14.1平方根

第1课时平方根

教学目标教学反思

1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；

2.探究平方根的性质，并能灵活运用；

3.了解开平方与平方互为逆运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的平方

根.

教学重难点

重点：了解开平方与平方互为逆运算，会利用这个互逆运算关系求非负数

的平方根；

难点：探究平方根的性质，并能灵活运用.

教学过程

旧知回顾

1.会计算一个数的平方.

2.互为相反数的两个数的平方有什么特点？

导入新课

1.平方根

问题情境：小明家有面积为100itf的正方形花圃，花圃周围要用护栏围起来，则需

要护栏多少米？你能帮小明解决这个问题吗？

教师引导，学生分析：要求出护栏的长，需要知道正方形花圃的边长，即找到一个

平方等于100的数.

师：这里涉及平方运算，那我们先来练习一下吧.

问题1：2和-3的平方等于多少？io和-io的平方等于多少？

55

Q

问题2：平方等于二的数有哪些？平方等于100的数呢？

25

问题3：满足/=25的x的值是多少？

学生自主完成，教师评价.

答案：

师：那么我们把之，--,10-10,5,-5叫做什么呢？

55

定义：一般地，如果一个数x的平方等于即/=。，那么这个数x就叫做a

的平方根，也叫做a的二次方根.

你能举例吗？

QQ3

如16的平方根为4和-4,—的平方根为-和--，100的平方根为10和T0.

2555

练习：1.判断下列说法是否正确.

(1)49的平方根是7；()

(2)2是4的平方根；()

(3)-5是25的平方根；()

(4)64的平方根是±8；()

(5)-16的平方根是-4.()教学反思

教师引导，学生分析：一个正数的平方根有两个；负数没有平方根.

答案：(1)X(2)V(3)V(4)V(5)X

2.填空.

(=4,(()2=虱)2=025

教师引导，学生分析：一个正数的平方根有两个.

4

答案：±2,±—,0,±0.5

9

2.平方根的性质

填表

X_33

-3-1013

~22

X2

学生自主完成.

观察填写后的表格，探究：

(1)正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？

(2)0有平方根吗？如果有，它是什么数？

(3)负数有平方根吗？

教师引导学生观察会发现：

平方根的性质：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

0只有一个平方根，是0本身.

负数没有平方根(非负数才有平方根).

一个非负数的平方根怎样表示呢？

平方根的表示方法：

正数。的正的平方根记作后，负的平方根记作.这两个平方根合起来可以记

作士8，读作"正、负根号其中，。称为被开方数.

根号］

Ja被开方数

读作:根号a

练习：1.判断下列语句是否正确.

①3是9的平方根.

②9的平方根是3.

③-9的平方根是-3.

④(-3)2的平方根是-3.

答案：①J②X③X@X

2.已知正数x的两个平方根分别为a+2和2a-8,求x的值.

学生分析：一个正数的两个平方根互为相反数.

解：根据题意，得a+2+2a-8=0,解得a=2.

所以x=(a+2)2=(2+2)2=42=16.

1.求平方根

观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的

关系.

底数一=%2一一指数根节一~£/不》——被开方数

___I-a=x2x-±Ja-H____教学反思

\a为方的平方g为a的平方根|

暴@的平方）a的平方根

教师指导学生观察：它们互为逆运算.

定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方.

例求下列各数的平方根：

（1）81；（2）—；（3）0.04.

121

(1)V(±9)2=81,81的平方根为±9,即土a=±9.

••也的平方根为土色，即土

(2)V=±

12111JBn

(3)V(±0.2『=0.04,004的平方根为±0.2,±^/a04=±0.2.

81

练习:1.的平方根是（)

16

B2C±D

411

2.±Jx+5表示.，被开方数是

注勺取值范围是

3.若a?=4,"=9,且ab>0,贝!Ja-b=.

学生独立完成，教师评价答案.

答案：1.C2.x+5的平方根，x+5,%2-53.±1

课堂练习

1.“土的意义是（）

A.。的平方根B.当a20时，土&是。的平方根C.以上均不正确

2.下列说法正确的有（）

①-2是-4的一个平方根；②a2的平方根是a；

③2是4的一个平方根；④4的平方根是-2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.若2%-4与3mT是同一个数的平方根，则机的值是（）

A.-3B.-1C.1D.-3或1

4.计算下列各式的值：

⑴方；（2）-7049

参考答案

1.B2.A3.D

4.(1)^=3,(2)-<49=-0.7,(3)±=±1.

Vol9

课堂小结

1.平方根的定义；

2.平方根的性质；

3.求平方根.

布置作业

完成教材第62页练习.

板书设计

14.1平方根

教学反思

第1课时平方根

定义：一般地，如果一个数x的平方等于

a,即x=a,那么这个数x就叫做a

的平方根，也叫做。的二次方根

性质：（1）正数有两个平方根，它们互

平方根

为相反数.（2）0的平方根还是

0.（3）负数没有平方根.

开平方及相关运算

第十四章实数

14.1平方根

第2课时算术平方根

教学目标教学反思

1.了解数的算术平方根的概念，并会求一个非负数的算术平方根；

2.知道后表示非负数a的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性；

3.探究的化简，并能简单运用.

教学重难点

重点：会求一个非负数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性；

难点：探究J户的化简，并能简单运用.

教学过程

旧知回顾

L平方根的定义；

2.平方根的性质.

导入新课

1.算术平方根

问题情境：学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9dm2的正方形画布,

临摹自己最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

学生回答：因为3?=9,所以这个正方形画布的边长应取3dm.

我们知道3是9的一个平方根，在这里它还有另外一个名字-----算术平方根，今

天我们就来学习算术平方根.

活动一：填表

正方形的194

1636

面积/dn?25

正方形的

边长/dm

学生分析：

上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.

算术平方根的定义：正数。有两个平方根±&,我们把正数”的正的平方根夜,

叫做。的算术平方根.

算术平方根的记法：a（。20）的算术平方根记为夜,读作“根号。叫

做被开方数.

算术平方根的性质：正数的算术平方根为正数；0的算术平方根是0;

负数没有算术平方根；

算术平方根具有双重非负性：a^O.

活动二：做一做

求下列各数的算术平方根：

(1)144；(2)0.01；(3)白；(4)(-13)2；(5)(-16)2；

学生自主完成，教师规范步骤._

答案：(1)144的算术平方根是&石，即5/1万="=12；

(2)o.oi的算术平方根是VooT,即向所二血正二。1；

(3)汽的算术平方根是、巨，即"=舟=2；

49V49V49V77

(4)(-13)2的算术平方根是"(-是)2,即,(-13)2=的；

(5)(-16『的算术平方根是"(-16)2,即"(-16)2=16.

对此你有什么发现？

2.病的化简

当心。时,=a；

当a<0时——Q.

因此合起来就是"=同=]"竟

-a(a<0).

这是算术平方根的一个性质，常用于算术平方根的化简.

例1计算下列各式：

(1)71?69；(2)-V225；(3)±,

教师指导，学生分析:可以先把血化为万的形式，然后开方.

教师提示：注意式子前面的符号，结果符号应与式子前的符号是一致的.

W：(l)7L69=713r=1.3.

3

(4)-'(-17)2=-T177=-17.

例2某小区有一块长方形草坪，为了加强保护，小区管理人员准备用篱笆沿草坪

边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900m2.求所需

篱笆的长度.

教师指导，学生分析:可设宽为羽则长为4x从而得到方程4/=900,即求史2的算

术平方根.

解：设这块长方形草坪的宽为xm,则长为4xm.由题意得

4xgx=900,x2=225.

'：x>0,：.x=y/225=15.

4x=60,2(15+60)=150(m),

答：所需篱笆的长度为150m.

练习：1.求下列各式的值：(步骤要规范)

(1)7256；(2)^^；6)土伸；0)-A/0?16；(5),2500；(6)-10.0049.

解：(1)A^=A/^=16.

⑵底

教学反思

(4)-A/0?16=-A/O4T=-0.4.

(5)72500=A/507=50.

(6)-V0.0049=-A/0.072=-0.07.

2.木工师傅把两个小的正方形木板，拼成了一个面积为169dn?的大正方形桌面,

已知一个小正方形木板的边长为5dm,则另一个小正方形木板的边长是多少？

解：设另一个小正方形木板的边长是xdm.由题意可得

X2+52=169,

x2=144.

Vx>0,

.>>%=Vi44=12.

答：另一个正方形的边长为12dm.

3.拓展

(1)如果y=Jx-5+j5-x+16,求4x+y的算术平方根.

展一

教师引导，学生分析：由被开方数20,可得L5、20八，解得，x=5,y=16,

[5-

J4x+y=/4x5+16=底=6.

(2)一个数的算术平方根为2x-4,平方根为土(x-1),求这个数.

教师引导，学生分析：一个数的正的平方根是它的算术平方根；由于不能确定

(xT)和-(k1)的正负，，分两种情况.

解：①2x-4=x-l,

解得尤=3,

2x—4=2,

这个数=2?=4.

②2x-4=-(xT),

解得尤=9,

3

2x-4=--<0,

3

由于算术平方根不能为负，因此这种情况不成立.

师：还有其他解法吗？

思路二：一个数的算术平方根为非负数，2『420,解得尤22.

/.%-1>0(即为这个数的算术平方根)，

2x-4=x-l,解得x=3,2x-4=2.

二这个数=22=4.

课堂练习

1.填一填

(1)9的算术平方根是;

(2)次的算术平方根是;

(3)0.01的算术平方根是;

(4)10一6的算术平方根是；

(5)(-4)2的算术平方根是；

(6)10的算术平方根是.

2.若若<a<M，则下列结论中正确的是()

A.l<a<3B.l<a<4C.2<a<3D.2<a<4

3.若C+J"=O,求苫289+>2。2。的值.

教学反思

4.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9,那么

图中阴影部分的面积为—.

参考答案__

1.(1)3(2)A/3(3)0.1(4)10-3(5)4⑹丽2.B

3.解：V4^^0,4y+i^0,4x^+y/y+i=0,

••x—1—0,y+1=0,••x—y——1,

A%2019+372020=12019+(_1)2020=Z

4.2

课堂小结

1.算术平方根的记法；

2.算术平方根的性质；

3.算术平方根的计算.

布置作业

完成教材第64页练习.

板书设计

14.1平方根

第2课时算术平方根

定义：正数a有两个平方根土石，我们把正数。的正的

平方根,叫做a的算术平方根，记作《

性质：(1)非负数才有算术平方根，正数的算术平方根是正

算术平

数,。的算术平方根是0;(2)算术平方根具有双重

方根

非负性2,。20).

算术平方根的计算：册=|<2

第十章实数

14.2立方根

教学目标教学反思

1.了解数的立方根的概念，会表示一个数的立方根；

2.探究立方根的性质，并能灵活运用；

3.了解开立方和立方互为逆运算，会利用这个互逆运算求一个数的立方根.

教学重难点

重点：探究立方根的性质，并能灵活运用；

难点：了解开立方和立方互为逆运算，会利用这个互逆运算求一个数的立方根.

教学过程

旧知回顾

L整式的立方运算；

2.平方根的性质.

导入新课

1.立方根

问题情境：如图，已知小正方体的棱长为2,那么它的体积是多少？反过来，如果大

正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长x呢？

学生自主完成：

V=23=8；因为33=27,所以，这个大正方体的棱长为3.同样地，我们把3叫做

27的立方根.

立方根的定义：一般地，如果一个数尤的立方等于即x3=a,那么这个数尤就叫

做a的立方根，也叫做。的三次方根.

你能举几个例子吗？例：

(-1)3=-1,贝U-1是一1的立方根.

43=64,则4是64的立方根

0.23=0.008,贝1J0.2是0.008的立方本艮.

2.立方根的性质

根据立方根的定义完成下列填空：

(1=27,()3=备()=_&()3=-0.001,()=0.

学生独立完成，教师评价：

从立方根的个数及符号上，你发现了什么结论？

立方根的性质：

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.

你怎样理解它们？(学生发表自己的观点)

解读：①任意数都有一个立方根；②一个非0数与其立方根的符号相同.教学反思

平方根与立方根的区别

完成下列填空(学生自主完成)

被开方数平方根立方根

正数

负数

零

归纳：只有非负数才有平方根，而任意数都有立方根.

练习：判断下列语句是否正确：

①负数没有立方根；

②一个数的立方根不是正数就是负数；

③一个非0数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；

④立方根等于其本身的数是1或0；

⑤-3是27的负的立方根.

学生自主完成

答案：①X②X③J@X⑤X

立方根的符号表示

。的立方根用我来表示，读作：三次根号〃这里的根指数3不能省略.

3.求立方根

定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

开立方和立方是互逆的，借助立方运算，可以求一个数的立方根.

例1求下列各数的立方根：

Q

(1)—；(2)-8；(3)-0.064.

27

解:⑴•.•[2]=&,.♦.&的立方根是2；

I3J27273

(2)\,(-2)3=-8,-8的立方根是-2；

(3)：(-OH)'=一0.064,-0.064的立方根是-0.4.

练习：求下列各数的立方根.(按要求写步骤)

Q97

(1)—；(2)0.008；(3)-125；(4)—.

“2764

的立方根为当82

解:(1)即mN—=--

'll273V273

(2),/0.23=0.008,/.0.008的立方根为0.2,即西丽=0.2.

(3)V(-5)3=-125,125的立方根为-5,即犷而=-5.

(4)vf-T=—,二卫的立方根为3,艮庐=3.

⑷64644V644

4.立方根的化简

(1)完成下列问题，并说出你的发现.

?

A/F=()；址-2>=()；^O3=()忠-0.33=()而=().

学生计算并得出结论：^=a.

(2)完成下列问题，并说出你的发现.

耳-1=()；—=()；4-64=()；_\/64=()处-125=()；-%25=().

学生计算并得出结论：&=-指.

例2求下列各式的值：

⑴占0.027；⑵,嘘教学反思

解：(1)寻-0.027=一如.027=-弧亨*=-0.3.(2)

6

拓展：

1Nx-8与#y-8互为相反数，贝k+y=.

2际77«2.872,#23700»28.72,贝用0.0237«.

3.-8的立方根与VI%的平方根之和是.

教师指导，学生讨论分析：

(1)由题意可得x-8与厂8互为相反数，因此犷8+厂8=0,解得x+y=16.

(2)由题意可得规律：被开立方数的小数点向右移动3位，该数的立方根的小数点

向右移动一位，反之亦然；所以现).0237「0.2872.

(3)-8的立方根是-2,J语=4的平方根是±2,所以-2+2=0,~2+(-2)=-4,答

案为0或-4.

课堂练习

1.判断下列说法是否正确.

(1)也的立方根是±2；(2)25的平方根是5；(3)-64没有立方根；

273

(4)-4的平方根是±2；(5)0的平方根和立方根都是0.

2.求下列各式的值：

(1)^64；(2)寻-125；(3)J--1.

V64

参考答案：1.(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

273

2.(0^64=4；(2)V-125=-5；(3)棉一1=

644

师：注意2(3)的解法：先计算三次根号内的算式，再求立方根.

课堂小结

1.立方根的定义；

2.立方根的性质；

3.立方根的化简.

布置作业

完成教材第68页练习.

板书设计

14.2立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么

这个数尤就叫做a的立方根，也叫做。的三次方根

立方根的性质：■一个正数有'一个正的立方根；■一个

立方根

负数有一个负的立方根；零的立方根是零

立方根的化简：=a;N—a=—\[a~

第十四章实数

14.3实数

第1课时实数的定义

教学目标教学反思

i.认识数的扩充的必要性；

2.认识无理数的本质特征，知道无理数的不同形式；

3.能将实数按要求进行分类.

教学重难点

重点：认识数的扩充的必要性；

难点：认识无理数的本质特征，知道无理数的不同形式.

教学过程

旧知回顾

有理数的定义及分类.

导入新课

有理数的新分类

我们知道有理数可以分为整数和分数，还有其他分法吗？

教师提示：都化为小数试试.学生按照教师的提示完成有理数新的分类.

整数：都可化为有限小数；分数：可化为有限小数和无限循环小数.

因此有理数还可以分为有限小数和无限循环小数.

总结：整数、分数、有限小数、无限循环小数一定是有理数.

思考：生活中的数一定都是有理数吗？你见过与刚才不一样的数吗？举例说明.

探究新知

探究一无理数

问题1：如图⑴所示，在半透明纸上画一个两条直角边都是2cm的直角三角形ABC,

然后剪下这个三角形，再沿斜边上的高CD剪开后，拼成如图(2)所示的正方形.

(1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？

(2)如果设正方形的边长为xcm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系？

教师指导，学生观察.

通过观察可得：(1)相等.面积是2cm2.

(2)如果设正方形的边长为尤cm,那么/=2.因为正方形的边长是正数，所以x

是2的算术平方根，即无=应.

问题2：尤是有理数吗？

教师指导，学生讨论.

通过讨论可知后既不是整数也不是分数，因此不是有理数，那么也是什么数呢？

借助计算器可以得到：夜“1.414213562-,它是一个无限不循环小数.

类似地，我们早就认识的兀，也是一个无限不循环小数，

7t=3.141592653589793238—.

结：教学反思

1.无理数的定义：我们把无限不循环小数叫做无理数.

2.无理数有无数个，它可以以不同的形式存在：

（1）以小数形式出现：例如，1.212212221…（每两个1之间依次多一个2）；

（2）以根号形式出现：例如，夜，也,石等；

（3）以兀的形式出现：例如，271,F等.

注意：无理数分为正无理数和负无理数.

教师提问，学生思考后回答：

1.带根号的数一定是无理数吗？

2.带分数线的数一定是分数吗？

学生分析：带根号的数不一定是无理数，例如4,后它们能开方，所以它们是有理

数；带分数线的数不一定是分数，例如诋，虽然有分数线，但是&是无理数，乘

3

工后仍然是无理数.

3

探究二实数

实数的定义：我们把有理数和无理数统称为实数.即实数分为有理数和无理数.

例1在下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？_

0,炳,U,殳,0.01001000100001…（每两个1之间依次多1个0）,712,3.14,-./-,1.2.

77V9

分析：牢牢抓住无理数的几种存在形式.

解:有理数有0,。,1,3.14,-、口,12；

7Y9

无理数有2,0.01001000100001-（每两个1之间依次多1个0）,痘.

7

练习：1.下列说法正确的有.

①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数；

④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数.

教师指导，学生分析：

①正确，无理数是实数；②不正确，实数包含无理数和有理数；③不正确，无限循

环小数是有理数，无限不循环小数是无理数；④不正确，石,囱是有理数；⑤不正

确，兀不带根号，但是它是无理数.正确的是①.

答案：①

2.下列说法正确的有______.

⑴-3是有理数；（2）孝是分数；

（3）3.131131113-（每两个3之间依次多一个1）是有理数；

（4）兀是无理数.

教师指导，学生分析：（1）正确；（2）是无理数，而分数是有理数，故（2）不正确；

（3）是无理数，不正确；（4）正确.

答案：（1）（4）

3.在实数3.1415,版，-同史,0,祖4中:

7教学反思

无理数有一个；

有理数有个；

正数有一个；

分数有一个；

整数有一个.

学生分析：无理数有-同，百，共2个;

有理数有3.1415,痫，卫,0,4个；

7

正数有3.1415,版，丝,共3个；

7

分数有3.1415,乌，共2个；

7

整数有咽,0,共2个.

4.如图，若开始输入的尤的值为512,则最后输出的结果为.

教师引导，学生分析：第一次输入512,计算512的立方根是8,8是有理数，所以

第二次输入8,计算8的立方根是2,2是有理数，第三次输入2,计算2的立方根

是蚯，是无理数，所以最后输出的结果是蚯.

答案：血

课堂练习

1.判断：

(1)实数不是有理数就是无理数.()

(2)无理数都是无限不循环小数.()

(3)无理数都是无限小数.()

(4)无理数一定都带根号.()

(5)两个无理数之积不一定是无理数.()

(6)两个无理数之和一定是无理数.()

2.以下各正方形的边长不是有理数的是()

A.面积为25的正方形B.面积为16的正方形

C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形

3.把下列各数填入相应的大括号内：

-7,0.32」,3.4,0,而jLo.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐渐加1),

3V2

71

“

一

有»

无

蝇

正

取

实

物

学生独立完成，教师评价

参考答案

1.(1W(2)4(3)4(4)x(5)4(6)x2.C

3.解：有理数］一7,0.32,；,3.14,O,；教学反思

无理数［返£,0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐渐加1）,五,-三；

正实数，0.32,g,3.俸点正,0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐渐加1）,正］

实数17,0.32；3.如）,痣30.1010010001（相邻两个1之间0的个数逐渐加1）,将

3

课堂小结

1.无理数的定义；

2.实数的定义；

3.判别无理数和有理数.

布置作业

完成教材第71页习题.

板书设计

14.3实数

第1课时实数的定义

无理数无限不循环小数叫做无理数

实数

实数有理数和无理数统称为实数

第十章实数

14.3实数

第2课时实数的性质和分类

教学目标

1.认识无理数存在的普遍性，知道实数与数轴上的点是一一对应的;

2.理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义；

3.会根据不同的标准对实数进行分类.

教学重难点

重点：认识无理数存在的普遍性;知道实数与数轴上的点是一一对应的.

难点：理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义.

教学过程

旧知回顾

回忆有理数中相反数、绝对值、倒数的定义：

相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数.

绝对值：数轴上表示数。的点到原点的距离叫做数。的绝对值，用IaI表示.

倒数：若两个数的积是1,则这两个数互为倒数.

导入新课

(1)如图，图中每个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分(正方形)的面积为

-3-2-101A2

将阴影正方形放置在数轴上，使其一个顶点与原点重合，一条边恰好落在数轴的正

方向上，其另一顶点落在数轴上的点A处.则点A表示的数是多少？

教师指点，学生观察：阴影正方形的面积为2,点A表示的数是0.

若将阴影正方形放置在数轴上，使其一个顶点与原点重合，一条边恰好落在数轴的

负方向上，其另一顶点落在数轴上的点B处,则点B表示的数是多少？

-3-2-1

学生回答：点8表示的数是-0.

(2)如图，图中每个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分(正方形)的面积为

将阴影正方形放置在数轴上，使其一个顶点与原点重合，一条边恰好落在数轴

的正方向上，其另一顶点落在数轴上的点C处.则点C表示的数是多少？

若将阴影正方形放置在数轴上，使其一个顶点与原点重合，一条边恰好落在数

轴的负方向上，其另一顶点落在数轴上的点D处.则点D表示的数是多少？

-3-2-1

教师引导，学生观察：阴影正方形的面积为5,点C表示的数是指,点。表示的

数是-君.

(3)如图，设一枚5角硬币的直径为1个单位长度，将这八

枚硬币放置在一个数轴上，使硬币边缘上的一点尸与原点

重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周.这时点-10i―L

P转到数轴上的点M处，则点M表示的数是多少呢？

学生观察：点M表示的数是n,那么一口能在数轴上找到吗？答案是肯定的.

通过几个实例的学习，你从中感悟或发现了什么？说说你的看法.教学反思

探究新知

探究一实数与数轴

学生通过上面几个实例会发现：无理数和有理数一样，也可以用数轴上的点来

表示.

结论：数轴上的点表示的数是有理数或无理数.

教师归纳：实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.

解读“一一对应”：

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实

数.

探究二实数的相反数、绝对值、倒数

(类比有理数中的相反数、绝对值、倒数来学习)

相反数：绝对值相等，符号不同的两个数.0的相反数是。.例如：

-正的相反数是指.

一个实数a的相反数是-a；互为相反数的两数的和为0.

绝对值：在数轴上表示一个实数的点到原点的距离就是这个实数的绝对值.

一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数.

।,J。(心0),

0\-a(a<0).

求一个实数的绝对值时，应先判断它的正负，再根据绝对值的性质求出结果.

倒数：乘积为1的两个实数互为倒数.

。的侄擞是0).

a

例1求下列各数的相反数、倒数、绝对值.

(DJ—；(2)^6；(3)1.2.

V16

学生独立完成，教师评价.

提示：能化简的先化简，小数先化为分数.

解：(1)、瓦相反数是-L倒数是4；绝对值是L

V1644

(2)2的相反数是私；倒数是-靠；绝对值是通.

⑶1.2的相反数是-1.2；侄(I数是上；绝对值是12

6

练习：

1.在数轴上，到原点的距离为网点所表示的数是

学生分析：己知|尤|=豆，求X.

答案：土百

2.国二6_1,贝!lx=.

学生分析：此题同1.

答案：X=75-M1-A/5

3.后的倒数是,绝对值是，相反数是

学生分析：按照相反数、绝对值、倒数的定义来求.

答案：--^-;A/3;A/3

探究三实数的分类

(请你尝试从不同角度对实数进行分类)

教师提示：可以按定义分类；可以按性质符号分类，学生进行分类，教师点拨.

按定义分类：教学反思

「整数〕

、火有理数有限小数或无限循环小数

实数［分数j

.无理数一无限不循环小数

按性质符号分类：

正有理数

正实数

正无理数

实数”

负有理数

负实数

负无理数

例2把下列各数分别填在相应的括号内.

--,13,-12,46,-,0.0.8,4-,-4.2.

386

正数：｛

负数：｛

正整数：｛

正分数：｛

负整数：｛

负分数：｛

学生独立完成，教师评价

解:正数:13,+6,1,0.8,41,-

负数出，一12,一4.2,…

正整数:｛13,+6,…｝;

正分数和84得一［;

负整数:{-12,…};

负分数:卜g,-4.2,…

课堂练习

1.下列说法正确的是（）

A.正实数和负实数统称实数

B.正数、零和负数统称有理数

C.带根号的数和分数统称实数

D.无理数和有理数统称实数

2.”的绝对值是（）

A.2B.-2C.-4D.4

3.—y/6是A/6的（）

A.相反数B.倒数C.负平方根D.绝对值

4.2-遥的绝对值是（）

A.2-45B.>/5-2C.2+逐D.±(2-A/5)

5.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到

点B,再爬到点C停止.已知点A表示-夜，点C表示

2,设点8所表示的数为“，则机=.

学生独立完成，教师评价

参考答案教学反思

1.D2.A3.A4.B5.2-72

课堂小结

1.实数与数轴的关系：

实数和数轴上的点是一一对应的.

2.实数的性质：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

3.实数的分类：

整数

有理数有限小数或无限循环小数

按定义分类：实数分数

无理数f无限不循环小数

正有理数

正实数

正无理数

按性质符号分类：实数0

负有理数

负实数

负无理数

布置作业

完成教材第74页练习.

板书设计

14.3实数

第2课时实数的性质和分类

实数与数轴上的点的关系：一一对应

实数一实数的性质

实数及其分类

第十四章实数

14.3实数

第3课时实数的运算

教学目标教学反思

1.能够对实数进行大小比较；

2.掌握估算的基本方法，会用有理数估计一个无理数的大致范围.

教学重难点

重点：对实数进行大小比较；

难点：会用有理数估计一个无理数的大致范围.

教学过程

旧知回顾

回忆有理数中比较大小的方法：

1.利用数轴，在数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.

2.正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数；

两个正数作比较，绝对值大的数大；

两个负数作比较，绝对值大的反而小.

导入新课

在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数.

请你根据如图所示的数轴上点的位置,将下列各数用连接起来：

~\/3,V2,3,V3,0,V5,-\/8,-V5.

,演二®,,，厘5,一

-JT°63

教师对土有,、用的表示做适当的指导，学生独立完成.

-^<-A/5<-A/3<0<72<75<3.

思考:两个实数的比较,除了利用数轴比较之外,还有没有其他的方法？

探究新知

探究一与带根号的无理数比较大小

问题：(1)面积为2和5的两个正方形的边长分别是多少呢？

(2)由正方形的面积=边长2，从下图中你发现了什么？

学生通过观察并计算得到：

(点)2=2,(后=5,(&¥=a.

(3)正方形的面积越大，边长就越大吗？

结论：正方形的面积越大，边长就越大.即一个正数的平方越大，这个数就越大.

(4)由止匕你能判断我与巧的大小吗？

教师引导，学生发现：

•；g2=2,(府=5,2<5,.•.在〈退.

当时，

教师解读：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.

应用：可以化去根号将无理数问题转化为有理数问题.

这样就解决了怎样比较带根号的无理数的大小问题了.

师生归纳：比较带根号的无理数大小时先比较它们的平方，正数平方大的数大，负

数平方大的反而小.

例1比较下列各组数中两个数的大小：

(1)21和J7；(2)-炳和一兀；(3)-5和一卮.教学反思

教师指点，学生分析：(1)和(3)都可以先比较它们的平方，然后比较两数，负数

平方大的反而小；(2)由于兀是一个无限不循环小数，我们可以把它放大，再与所

比较.

2

解：(1)Vf2-Y=—,(T7)=7=—

I99

6463.r-

993

(2)兀取3.15,

(A/10)2=10,3.152=9.9225,

X10>9.9225,痴>3.15,M>n.二一业<一兀.

(3)；5?=25,(后y=23,25>23,

：.5>屑,：.-5〈-屑

练习：

1.在实数0,-2,卜占2中，最大的数是.

学生分析：正数大于一切非正数，5>4.

答案：卜石|

2比较大小:仓匚―

22

学生分析：比较若-1与1的大小，可用作差法，即君-1-1=君-2>0.

答案:>

3.将2,6,近用连起来

学生分析：如果平方的话，而不能化为有理数，因此要将它们6次方,

才能够将它们全部化为有理数._

解:Q=64,(后=5'=125,(-^7)6=72=49,

125>64>49,.,.而<2<石.

探究二估算无理数的范围

例2判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间：

(1)石；(2)-g.

教师指导，学生分析：

(1)找到5在哪两个整数的平方之间；

(2)先确定其绝对值的范围，再确定相反数的范围.

解：⑴V22=4,(A/5)2=5,32=9,

Z.4<5<9,，2<百<3,

即君在2和3之间.

⑵；0』,(序=尹=1,

0<—<1,/.0<J—<1,

3V3

即一Jl在一1和0之间.

・•・0>-

练习:教学反思

⑴比一比，看谁找得快.

判断而而-同-后在哪两个整数之间.

答案：分别在4和5,2和3,-5和-6,-4和-5之间.

（2）在课本76页的数轴上标出表示*,M，-应的数.

学生分析：先估算出它们在哪两个整数之间，然后估算更接近哪个整数.

⑶_而■与卡之间的整数是.

教师指导，学生分析：__

在-3与-4之间，面在2和3之间，所以-疝而面之间的整数有-3,-2,-1,0,12

学生分析：_

要想求绝对值，先判断近一1•的正负，即判断也与工的大小，而且〈上

62

探究三拓展

1.求网整数部分和小数部分.

教师指导，学生分析：估算相勺整数范围，找到整数部分，小数部分为原数减去整

数部分即可.

解：22<（逐）2<32,；.2<^5<3,

/.百的整数部分是2,眉勺小数部分是如-2.

练习：

6+3的整数部分是，小数部分是.

10-石的整数部分是，小数部