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文档简介
(7)空间向量与立体几何——2025高考数学一轮复习易混易错专项
复习
学校:___________姓名:班级:考号:
一、选择题
1.一个五面体ABC-DEF.已知AD〃班〃CF,且两两之间距离为1,AD=1,
BE=2,CF=3,则该五面体的体积为()
2.已知空间中有两个不重合的平面c,,和两条不重合的直线加n,则下列说法
中正确的是()
A.若m±a,n±)3,则
B.若oJ_〃,m±a,mLn,则〃_!_/?
C.若all/3,ml/a,nll/3,则
D.若all/3,mlIa,mlIn,则〃〃分
3.如图,四棱锥A-6CDE是棱长均为2的正四棱锥,三棱锥A-CD厂是正四面体,
G为BE的中点,则下列结论错误的是()
B.平面ABEH平面CDF
C.FGLCDDIG,平面ACD
4.如图,在正方体ABCD-AgGA中,。是AC中点,点P在线段AC上,若直线
0P与平面43G所成的角为,,贝1JSin。的取值范围是()
7273A/3正
A.B.C.
3'27至
5.已知RL△ABC中,AB=BC=6,。为AC的中点.将△ABC沿3。翻折,使点C
移动至点E,在翻折过程中,下列说法不正确的是()
A.平面BED,平面ADE
B.三棱锥5-AZ)E的体积为定值
C.当二面角A-§£>-石的平面角为四时,三棱锥石-ABD的体积为Y2
412
D.当二面角A-BD-石为直二面角时,三棱锥石-ABD的内切球表面积为上28兀
3
二、多项选择题
6.已知正方体4耳G。的棱长为%ER是棱A3上的一条线段,且EF=1,
点。是棱A2的中点,点P是棱G2上的动点,则下面结论中正确的是()
A.PQ与ER一定不垂直B.二面角尸-EF-Q的正弦值是雪
C.Z\PEF的面积是2夜D.点尸到平面QER的距离是定值
7.如图,在正方体ABCD-44G2中,点。在线段3G上运动,则下列判断中正确
的是()
A.平面PB1D1平面ACDl
B.A尸〃平面ACDt
C.异面直线4P与A2所成角的取值范围是1o,m
D.三棱锥Dt-APC的体积不变
三、填空题
8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A4GA中,M为棱A4的中点,AG与用。
相交于点N,P是底面ABCD内(含边界)的动点,总有APLMN,则动点P的轨迹
的长度为__________..
M_________C
A----------------B
9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面底面
ABCD,且B4=PB=4,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.
四、解答题
10.如图所示,圆台002的轴截面4ACC1为等腰梯形,AC=2M=24G=4,B为
底面圆周上异于A,C的点,且AB=BC,尸是线段3c的中点.
(1)求证:GP〃平面4A5.
(2)求平面AAB与平面£C6夹角的余弦值.
参考答案
1.答案:C
解析:因为AD,BE,CR两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个
侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1
的直三棱柱的体积,四棱锥的高为正,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,
2
故该五面体的体积V=LX1X1X1+LX3XYI=3,故选C.
223222
2.答案:A
解析:若<z_L分,m±cz,则机〃6或mu/7,又n工B,所以机_L〃,故A正确;
若tz_L〃,mVa,则m〃夕或mu/?,又〃z_L〃,则“u/7或〃与,斜交或/_!_/?均有
可能,故B错误;
若&///7,mlla,则〃zu/7或〃〃/月,又nll/3,因此机和〃的位置关系可能为平行、相
交或异面,故C错误;
若</〃/7,ml/a,mlIn,则“〃万或“u’,故D错误.
综上,选A.
3.答案:D
解析:A选项:如图,取CD的中点连接GH,FH,AG,AH,易得CDLGH,
CD±AH,CD1FH,则CD,平面AGH,CD,平面ARH,所以A,G,H,R四
点共面,由题意知AG="E=百,GH=AF=2,所以四边形AGHR是平行四边形,
所以GH//AF,因为BCHGH,所以BC//AF,所以A,B,C,R四点共面,故A正
确;
B选项:由选项A知AG//EH,又AGU平面FHu平面CDF,所以AG〃平面
CDF,因为CDHBE,且8后仁平面CDE,CDu平面CDF所以BE〃平面CDF又
AGu平面ABE,3Eu平面ABE,且AGD3E=G,所以平面ABE〃平面CDF故B
正确;
C选项:由选项A可得CD,平面AGHE又EGu平面AGHR,所以EGLCD,故C
正确;
D选项:假设FGL平面ACD,则FG_LAH,由选项A知四边形AGHR是平行四边
形,所以四边形AGHR是菱形,与AG=6,GH=2矛盾,故D错误.
4.答案:A
解析:如图,设正方体的棱长为1,4c=则4A=x祠.
4cl
以。为原点,以94,DC,所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系.
则41,。,。),C(O,1,O),O(|,1,0),^.A^q=AC=(-1,1,0),4?=(-2,2,0),又
A(i,o,1),则P(I—尢尢1),所以无='—尢%—川.
在正方体ABCD-ABIGA中,可知体对角线4。,平面ADG,所以力瓦=(i,i,i)是平
面43G的一个法向量,所以
sin9=卜05(OP,1=“।1.所以当」2
时,sin。取得最大值走,当;1=0或1时,sin。取得最小值也.所以
33
sin,e^-,―,故选A.
33
5.答案:B
解析:如图:
A选项,BD工DE,BD±AD,DE^AD=D,所以平面ADE,因为5DU平
面BED,故平面.平面ADE,A正确,不符合题意.
B选项,由A知3D,平面A£>E,但△ADE的面积不是定值,故三棱锥的体积不是定
值,B错误,符合题意.
7T
C选项,二面角A—BD—石的平面角为N/4DE,当NADE=一时,
4
c1111
SAABD=2X1X1=2,
三棱锥石-的体积为工xsin/ADE.lxL=立,C正确,不符合题意.
3212
D选项,当二面角A-皮)-石为直二面角时,ZADE=-,三棱锥石-ABD的表面积为
2
v_3+V3
3]一,
12
设内切球半径为厂,则由等体积法知/Am=^=LxS|Xr,解得「二三且,所以内切
636
71
球表面积S2=4兀/=--,D正确.
6.答案:BCD
解析:对于A,当点P与点A重合时,PQLEF,故选项A错误.
对于B,由于点P是棱G2上的动点,ER是棱A3上的一条线段,所以平面PER即为
平面ABQD,,平面QEF即为平面QAB.
建立如图所示的空间直角坐标系,则Q(2,0,4),A(4,0,0),5(4,4,0),D/0,0,4),
所以声=(2,0,-4),方=(0,4,0),西=(T,0,4).
设平面QAB的一个法向量为〃=&,%,zj,则〈"竺°'即</玉)
n-AB=0,14%=0,
令4=1,则〃=(2,0,1).
设平面ABCQi的法向量为nz=(々,%*2),
m-AD]=0,-4%+4z2-0,
则即<
m-AB-0,4y2=0,
令Z2=1,则帆=(1,0,1).
设二面角尸-历-。的大小为e,所以
।zuI/、।\m-n\2+13A/10,
cos0=cos〈肛n)=---------=—7=——产=-------,故+
\m\\n\72x7510
sin0=A/1-COS20=Jl-3A,故选项B正确.
对于C,由于平面BGu平面34C1C,所以所以
11
BC,1EF,所以BQ是△PEE的高,所以SApEF=3^EF^BCl=3xl义4e=2近,故
选项C正确.
对于D,由于G2//EE,且CQU平面QEF,EPu平面QEF,所以£'〃平面
QEF,又点尸在G2上,所以点P到平面QER的距离是定值,故选项D正确.故选
BCD.
7.答案:ABD
解析:对于A,连接。3,如图,因为在正方体ABCD-AgG。中,5耳,平面
ABCD,又ACu平面A3CD,所以又。5LAC,03与8月为平面。5与2
内的两条相交直线,所以AC,平面。§42,因为。4<=平面片A,所以
DBX1AC,同理可得。用,AD1,因为AR与AC为平面AC,内两条相交直线,可得
。耳,平面ACDi,又。与u平面P耳。,从而平面尸耳。,平面AC。,故A正确;
对于B,连接AB,4G,如图,因为ACi〃AC,AGU平面AC。,ACu平面
ACD1,所以4cl〃平面AC',同理BQ〃平面AC",又4G、BC1为平面gG内两
条相交直线,所以平面g£〃平面ACR,因为APu平面幽。,所以AP〃平面
ACD1,故B正确;
对于c,因为A2//3G,所以4尸与A"所成角即为4尸与3G所成的角,因为
==所以1G为等边三角形,当P与线段BG的两端点重合时,AP
与A2所成角取得最小值守;当P与线段5G的中点重合时,AP与AR所成角取得最
大值4,所以从尸与他所成角的范围是邑M,故c错误;
2|_32_
对于D,由选项B得3G〃平面A,C,故上任意一点到平面A。。的距离均相等,
即点P到平面A"C的距离不变,不妨设为〃,则/_APC=K1一仞c=^S△犯c•心所以三
1LJ\—txrLxr-r\LJyQ/\r\LJxC.
棱锥2-APC的体积不变,故D正确.故选ABD.
8.答案:2&
解析:如图,连接AC;,AXB,A.D,AC,BD,因为N,M分别是A41的中
点,所以“N〃AC].由正方体的性质易知CGAC±BD,CC^AC^C,所以
80,平面ACG,所以AG同理可证AG,45.又3。口45=3,所以AC1,平
面A3。,即肱V_L平面4友),因此当PeBD时,总有所以动点P的轨
迹是线段3D又正方体的棱长为2,所以8。=2VL
解析:设正方形A3CD的中心为。,△PA5的外心为G,取A3的中点E,连接EG,
EQ,OXC,则EG_LAB,EOX±AB,以EG,EQ为邻边作平行四边形EGOq,如
图.
因为侧面上钻,底面ABCD,GELAB,平面243。平面ABCD=AB,GEu平面
PAB,所以GEL平面A3CD,所以GE,E@.则OQ,平面A3CD,同理可知。G,平
面勿氏连接。4,OB,OC,OD,0P,则Q4=06=0。=O£>=OP,所以。就是该四
棱锥外接球的球心.连接BG,PE,由B4=PS=4,AB=2,得PE=病,
GE2+BE2=BG2=(V15-GE)2,解得GE=千5.设该四棱锥的外接球半径为R,在
2224Q79
Rt^OOjC中,OC=R=OO-+OlC~=GE+OlC-=^+2=^,则四棱锥P—ABCD
的外接球的表面积为4冰2=4兀义2=卫如.
1515
10.答案:(1)证明见解析
⑵工
7
解析:(1)取A3的中点连接A",PH,如图所示,
在等腰梯形4AC
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