空间向量与立体几何-2025高考数学一轮复习易混易错专项复习

（7）空间向量与立体几何——2025高考数学一轮复习易混易错专项

复习

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.一个五面体ABC-DEF.已知AD〃班〃CF,且两两之间距离为1,AD=1,

BE=2,CF=3,则该五面体的体积为（）

2.已知空间中有两个不重合的平面c,，和两条不重合的直线加n,则下列说法

中正确的是（）

A.若m±a,n±）3,则

B.若oJ_〃，m±a,mLn,则〃_!_/?

C.若all/3,ml/a,nll/3,则

D.若all/3，mlIa,mlIn,则〃〃分

3.如图，四棱锥A-6CDE是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A-CD厂是正四面体，

G为BE的中点，则下列结论错误的是（）

B.平面ABEH平面CDF

C.FGLCDDIG,平面ACD

4.如图，在正方体ABCD-AgGA中，。是AC中点，点P在线段AC上，若直线

0P与平面43G所成的角为，，贝1JSin。的取值范围是（）

7273A/3正

A.B.C.

3'27至

5.已知RL△ABC中，AB=BC=6,。为AC的中点.将△ABC沿3。翻折，使点C

移动至点E,在翻折过程中，下列说法不正确的是（）

A.平面BED，平面ADE

B.三棱锥5-AZ）E的体积为定值

C.当二面角A-§£>-石的平面角为四时，三棱锥石-ABD的体积为Y2

412

D.当二面角A-BD-石为直二面角时，三棱锥石-ABD的内切球表面积为上28兀

3

二、多项选择题

6.已知正方体4耳G。的棱长为%ER是棱A3上的一条线段，且EF=1,

点。是棱A2的中点，点P是棱G2上的动点，则下面结论中正确的是（）

A.PQ与ER一定不垂直B.二面角尸-EF-Q的正弦值是雪

C.Z\PEF的面积是2夜D.点尸到平面QER的距离是定值

7.如图，在正方体ABCD-44G2中，点。在线段3G上运动，则下列判断中正确

的是（）

A.平面PB1D1平面ACDl

B.A尸〃平面ACDt

C.异面直线4P与A2所成角的取值范围是1o，m

D.三棱锥Dt-APC的体积不变

三、填空题

8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A4GA中，M为棱A4的中点，AG与用。

相交于点N,P是底面ABCD内（含边界）的动点，总有APLMN,则动点P的轨迹

的长度为__________..

M_________C

A----------------B

9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面底面

ABCD,且B4=PB=4,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.

四、解答题

10.如图所示，圆台002的轴截面4ACC1为等腰梯形，AC=2M=24G=4,B为

底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,尸是线段3c的中点.

(1)求证：GP〃平面4A5.

(2)求平面AAB与平面£C6夹角的余弦值.

参考答案

1.答案：C

解析：因为AD,BE,CR两两平行，且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个

侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1

的直三棱柱的体积，四棱锥的高为正，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，

2

故该五面体的体积V=LX1X1X1+LX3XYI=3,故选C.

223222

2.答案：A

解析：若＜z_L分，m±cz,则机〃6或mu/7,又n工B,所以机_L〃，故A正确；

若tz_L〃，mVa,则m〃夕或mu/?,又〃z_L〃，则“u/7或〃与,斜交或/_!_/?均有

可能，故B错误；

若&///7,mlla,则〃zu/7或〃〃/月，又nll/3,因此机和〃的位置关系可能为平行、相

交或异面，故C错误；

若＜/〃/7,ml/a,mlIn,则“〃万或“u’,故D错误.

综上，选A.

3.答案：D

解析：A选项：如图，取CD的中点连接GH,FH,AG,AH,易得CDLGH,

CD±AH,CD1FH,则CD,平面AGH,CD,平面ARH,所以A,G,H,R四

点共面，由题意知AG="E=百，GH=AF=2,所以四边形AGHR是平行四边形，

所以GH//AF,因为BCHGH,所以BC//AF,所以A,B,C,R四点共面，故A正

确；

B选项：由选项A知AG//EH,又AGU平面FHu平面CDF,所以AG〃平面

CDF,因为CDHBE,且8后仁平面CDE,CDu平面CDF所以BE〃平面CDF又

AGu平面ABE,3Eu平面ABE,且AGD3E=G,所以平面ABE〃平面CDF故B

正确；

C选项：由选项A可得CD,平面AGHE又EGu平面AGHR,所以EGLCD,故C

正确；

D选项：假设FGL平面ACD,则FG_LAH,由选项A知四边形AGHR是平行四边

形，所以四边形AGHR是菱形，与AG=6，GH=2矛盾,故D错误.

4.答案：A

解析：如图，设正方体的棱长为1,4c=则4A=x祠.

4cl

以。为原点，以94,DC,所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系.

则41,。,。)，C(O,1,O),O(|,1,0),^.A^q=AC=(-1,1,0),4?=(-2,2,0),又

A(i,o,1),则P(I—尢尢1),所以无='—尢％—川.

在正方体ABCD-ABIGA中，可知体对角线4。，平面ADG，所以力瓦=(i,i,i)是平

面43G的一个法向量，所以

sin9=卜05(OP,1=“।1.所以当」2

时，sin。取得最大值走，当;1=0或1时，sin。取得最小值也.所以

33

sin，e^-，―,故选A.

33

5.答案：B

解析：如图：

A选项，BD工DE,BD±AD,DE^AD=D,所以平面ADE,因为5DU平

面BED,故平面.平面ADE,A正确，不符合题意.

B选项，由A知3D，平面A£>E,但△ADE的面积不是定值，故三棱锥的体积不是定

值，B错误，符合题意.

7T

C选项，二面角A—BD—石的平面角为N/4DE,当NADE=一时,

4

c1111

SAABD=2X1X1=2,

三棱锥石-的体积为工xsin/ADE.lxL=立，C正确，不符合题意.

3212

D选项，当二面角A-皮）-石为直二面角时，ZADE=-,三棱锥石-ABD的表面积为

2

v_3+V3

3］一,

12

设内切球半径为厂，则由等体积法知/Am=^=LxS|Xr,解得「二三且，所以内切

636

71

球表面积S2=4兀/=--，D正确.

6.答案：BCD

解析：对于A,当点P与点A重合时，PQLEF,故选项A错误.

对于B,由于点P是棱G2上的动点，ER是棱A3上的一条线段，所以平面PER即为

平面ABQD,,平面QEF即为平面QAB.

建立如图所示的空间直角坐标系，则Q(2,0,4),A(4,0,0),5(4,4,0),D/0,0,4),

所以声=(2,0,-4),方=(0,4,0),西=(T,0,4).

设平面QAB的一个法向量为〃=&,%,zj,则〈"竺°'即＜/玉)

n-AB=0,14%=0,

令4=1,则〃=(2,0,1).

设平面ABCQi的法向量为nz=(々,%*2)，

m-AD]=0,-4%+4z2-0,

则即＜

m-AB-0,4y2=0,

令Z2=1,则帆=(1,0,1).

设二面角尸-历-。的大小为e,所以

।zuI/、।\m-n\2+13A/10,

cos0=cos〈肛n)=---------=—7=——产=-------,故+

\m\\n\72x7510

sin0=A/1-COS20=Jl-3A,故选项B正确.

对于C,由于平面BGu平面34C1C,所以所以

11

BC,1EF,所以BQ是△PEE的高，所以SApEF=3^EF^BCl=3xl义4e=2近,故

选项C正确.

对于D,由于G2//EE,且CQU平面QEF,EPu平面QEF,所以£'〃平面

QEF,又点尸在G2上，所以点P到平面QER的距离是定值，故选项D正确.故选

BCD.

7.答案：ABD

解析：对于A,连接。3,如图，因为在正方体ABCD-AgG。中，5耳，平面

ABCD,又ACu平面A3CD,所以又。5LAC,03与8月为平面。5与2

内的两条相交直线，所以AC,平面。§42，因为。4<=平面片A，所以

DBX1AC,同理可得。用，AD1，因为AR与AC为平面AC，内两条相交直线，可得

。耳，平面ACDi，又。与u平面P耳。，从而平面尸耳。，平面AC。，故A正确；

对于B,连接AB,4G，如图，因为ACi〃AC，AGU平面AC。，ACu平面

ACD1,所以4cl〃平面AC',同理BQ〃平面AC",又4G、BC1为平面gG内两

条相交直线，所以平面g£〃平面ACR,因为APu平面幽。，所以AP〃平面

ACD1,故B正确；

对于c,因为A2//3G，所以4尸与A"所成角即为4尸与3G所成的角，因为

==所以1G为等边三角形，当P与线段BG的两端点重合时，AP

与A2所成角取得最小值守；当P与线段5G的中点重合时，AP与AR所成角取得最

大值4,所以从尸与他所成角的范围是邑M，故c错误；

2|_32_

对于D,由选项B得3G〃平面A，C，故上任意一点到平面A。。的距离均相等，

即点P到平面A"C的距离不变，不妨设为〃，则/_APC=K1一仞c=^S△犯c•心所以三

1LJ\—txrLxr-r\LJyQ/\r\LJxC.

棱锥2-APC的体积不变，故D正确.故选ABD.

8.答案：2&

解析：如图，连接AC；,AXB,A.D,AC,BD,因为N,M分别是A41的中

点，所以“N〃AC].由正方体的性质易知CGAC±BD,CC^AC^C,所以

80,平面ACG，所以AG同理可证AG，45.又3。口45=3，所以AC1，平

面A3。，即肱V_L平面4友），因此当PeBD时，总有所以动点P的轨

迹是线段3D又正方体的棱长为2,所以8。=2VL

解析：设正方形A3CD的中心为。，△PA5的外心为G,取A3的中点E,连接EG,

EQ,OXC,则EG_LAB,EOX±AB,以EG,EQ为邻边作平行四边形EGOq,如

图.

因为侧面上钻，底面ABCD,GELAB,平面243。平面ABCD=AB,GEu平面

PAB,所以GEL平面A3CD,所以GE，E@.则OQ，平面A3CD,同理可知。G,平

面勿氏连接。4,OB,OC,OD,0P,则Q4=06=0。=O£>=OP,所以。就是该四

棱锥外接球的球心.连接BG,PE,由B4=PS=4,AB=2,得PE=病,

GE2+BE2=BG2=(V15-GE)2,解得GE=千5.设该四棱锥的外接球半径为R,在

2224Q79

Rt^OOjC中，OC=R=OO-+OlC~=GE+OlC-=^+2=^,则四棱锥P—ABCD

的外接球的表面积为4冰2=4兀义2=卫如.

1515

10.答案：(1)证明见解析

⑵工

7

解析：(1)取A3的中点连接A",PH,如图所示，

在等腰梯形4AC