第04讲导数的四则运算法则（教师版）高二数学讲义（人教A版2019选择性）

第04讲导数的四则运算法则目标导航目标导航课程标准课标解读1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．通过本节课的学习，要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题.知识精讲知识精讲知识点1.和、差的导数.2.积、商的导数(1)积的导数①.②.(2)商的导数.【即学即练1】已知函数，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对函数求导，然后求出即可【详解】由，得，所以，故选：D【即学即练2】若，则等于（）A． B．0 C． D．6【答案】D【分析】求出函数导数，可得出，即可求出答案.【详解】∵，∴，∴，∴，∴.故选：D.【即学即练3】给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【详解】①中为常数函数，故，故①错误；对于②，∵，∴，故②正确；显然③④正确.故选：C.【即学即练4】函数的图像在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，计算，即得解【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即．故选：B【即学即练5】求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用导数的乘法法则，即可求出导数.（2）利用导数的除法法则，即可求出导数.【详解】（1）（2）【点睛】本题考查了导数的乘除运算，考查了运算能力，属于基础题目.【即学即练6】求下列函数的导数：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【分析】根据导数的运算法则求函数的导数.【详解】（1）．（2）．【点睛】本题考查了求函数的导数，导数的运算法则的应用；能力拓展能力拓展考法01利用导数的运算法则求导【典例1】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）.（4）；（5）.【分析】对于（1）（2）直接用导数的求导法则求解即可；对于（3）（4）（5）先化简，再用导数的求导法则求解即可【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）∵，∴.（5）∵，∴.【典例2】求下列函数的导数：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【分析】根据初等函数求导公式和导数的四则运算即可得到答案.【详解】（1）．（2）．考法02导数公式及运算法则的综合应用【典例2】设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝xsinx＋cosx．【分析】已知f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，根据导数的四则运算法则以及求导公式求出，又知f′(x)＝xcosx，利用两者相等，建立等量关系，求解即可得结果.【详解】因为f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx．又因为f′(x)＝xcosx，所以解方程组，得因此f(x)的解析式为f(x)＝xsinx＋cosx．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关导数的计算，在求解过程中，熟记求导公式和导数的运算法则是正确解题的关键.【典例3】已知函数，求曲线在点处的切线方程．【答案】【分析】求出的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程.【详解】∵函数的导函数为，∴曲线在点处的切线斜率为，又，∴曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：.【点睛】方法点睛：该题考查曲线的切线方程的求解问题，方法如下：（1）先对函数进行求导运算，求其导函数；（2）将代入导函数解析式得切线斜率，代入解析式求得切点坐标；（3）利用点斜式方程写出所求直线方程，化简整理得到一般式，即为所求.【典例4】设函数，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为，求a，b的值．【答案】【分析】利用导数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】f′（x）=aex﹣，∴f′（2）=，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=x，∴=，f（2）=+b=3，又a＞0，解得．【点睛】本题考查了导数的运算法则、几何意义、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例5】已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为，（1）求；（2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．【答案】（1）3a＋1；（2）.【分析】(1)先求导得，再分别计算与即可得解；(2)根据给定条件可得切线斜率为0，利用方程在内有解即可计算作答.【详解】（1）依题意，f(x)=ax2+lnx的定义域为(0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求导得：，于是得，而，所以；（2）因曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程在内有解，于是得方程，即在内有解，则，所以实数a的取值范围是.【典例6】曲线C：在点处的切线为：，在点处的切线为：，求曲线C的方程．【答案】．【分析】由已知结合导数的几何意义及计算即可求解【详解】由已知得点与点均在曲线C上，，由导数的几何意义得，，，解得：．所以曲线C的方程为：．【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知函数，则等于（）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数，再对函数求导，从而可求得的值.【详解】∵，∴，则，∴.故选：D.2.下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.3.曲线在处的切线也为的切线，则（）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解.【详解】由求导得：，则曲线在处的切线斜率为1，切线方程为：y=x，设直线y=x与曲线相切的切点为，由求导得，于是得，解得，所以，故选：C4.若函数，则的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求导函数，解不等式，结合定义域即可．【详解】函数的定义域为，由，得．故选：B．5.若函数，则（）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.【详解】令，则，求导得：，所以.故选：A6.函数的导函数在区间上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导，由导函数的奇偶性可判断【详解】∵，∴，∴，∴为奇函数，故选：C.7.函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝（）A．a B．±a C．－a D．a2【答案】B【分析】求导得y′＝，解方程－a2＝0即得解.【详解】y′＝′＝＝，由－a2＝0，得x0＝±a.故选：B8.已知函数的导函数为，且满足，则（）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出.【详解】解：因为，所以，把代入，得，解得：，所以，所以.故选：C.9.已知是奇函数，则（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【详解】试题分析：由题意知,所以.所以，则.所以.故A正确.考点：1函数的奇偶性;2导数的计算.10.已知物体的运动方程是（表示时间，表示位移），则瞬时速度为0的时刻是A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒【答案】D【分析】对物体的运动方程求导为瞬时速度，令其为0得瞬时速度为0米每秒的时刻．【详解】因为物体的运动方程为，则可知，令得t=0或t=4或t=8，故选：D11.曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A． B．C． D．【答案】B【详解】；所以，所以曲线在点处的切线的斜率是，设曲线在点处的切线的倾斜角是，则，因为，所以，故选B.12.函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：根据导函数在函数上点的斜率为导函数的性质，可求得切线方程为，求出切线方程与x轴、y轴的交点即可求出三角形面积．详解：因为，所以函数在处的切线斜率为当时，，所以点的坐标为所以切线方程为切线与轴交点为，与轴交点为所以围成的三角形面积为所以选C【点睛】本题考查了导函数的简单应用，导函数的意义为在某一点切线方程的斜率，关键是区分点是否在曲线上，属于简单题．13.已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据“曲线存在垂直于直线的切线”求的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.【详解】由题得切线的斜率为2，所以因为,所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要不充分条件.故答案为B14.函数的导数是A． B．C． D．【答案】A【分析】根据公式进行计算．【详解】故选A．题组B能力提升练1.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（）A．4 B．8 C．2 D．1【答案】B【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值.【详解】解：的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即.由于切线与曲线相切，可联立，得，又，两线相切有一切点，所以有，解得.故选：B.2.已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为()A．B．或C．或D．以上均不对【答案】C【详解】∵，点在直线上.∴切线的斜率∴切线的方程为，即设直线，∵切线与直线平行且距离为，∴，∴∴直线的方程为或，故选C【点晴】两平行线之间的距离公式是对两平行线方程分别为，，则距离为，要注意两直线方程中的系数要分别相等.3.若函数，则的值为（）A．2 B．C．6 D．【答案】C【分析】求出函数的导数，将代入先求，进而得到解析式，再求的值.【详解】∵，∴∴，∴，∴∴，故选C.【点睛】本题考查导数的运算，求解本题的关键是求出函数的导数，根据其解析式的情况确定出先求，属于中档题.4.已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【详解】,且又，当且仅当.5.曲线在处的切线方程为______________．【答案】【分析】根据导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而可求出切线方程.【详解】因为，所以，，所以切线的斜率，所以切线方程为.故答案为：.6.若函数满足（其中为自然对数的底数），且，则___________.【答案】0【分析】构造函数，可得，即，结合，可得，即，，代入即得解【详解】令，则，∴.又，∴，∴，∴，于是，.故答案为：07.已知函数的图象关于对称，且，则______.【答案】1【分析】首先根据的中心对称性质和已知条件求出，然后再根据求出，进而求解.【详解】因为关于对称，所以，故，即，解得，，所以，又因为，所以，解得，，所以.故答案为：.8.已知函数的图象关于直线对称，为的导函数，则________．【答案】【分析】根据和是的两个零点和关于直线对称，可确定和是的两个实根，利用韦达定理可求得，得到和，由此可求得结果.【详解】由题意知：和是的两个零点，的图象关于直线对称，和也是的零点，和是的两个实根，，，，，，．故答案为：.9.设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a=______.【答案】【分析】求出函数导数，利用基本不等式可得导数的最小值为，根据倾斜角的范围可得，即可解出.【详解】，，，当且仅当时等号成立，l的倾斜角的取值范围是，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查导数与切线的关系，解题的关系是求出导数的最小值，得出最小值为1，即可求解.10.则______．【答案】【分析】求出函数导数，代入直接计算即可.【详解】,又，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的导数的运算法则，求导公式，属于中档题.11.已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.【答案】4【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.【详解】对求导得，因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，所以即，所以，所以切点为，由切点在切线y=x－a上可得即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.12.已知函数，其导函数为，则的值为_______.【答案】3【分析】根据解析式可得到解析式，可求得；求导后可得到，从而代入的值可求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，涉及到导数的运算，关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质.C培优拔尖练1.求下列函数的导数：（1）；（2）y=3x2+xcosx；（3）；（4）y=lgxex；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【分析】利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则分别对所给函数求导即可作答.【详解】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).2.已知函数.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见证明【分析】（Ⅰ）的分母和分子同时除以即得解；（Ⅱ）利用商的导数求导再化简即得证.【详解】（Ⅰ）由题得得，即.解得.（Ⅱ）.故得证.【点睛】本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查求导和二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.设曲线在处的切线与直线所围成的三角形面积为，求a的值.【答案】【分析】先求导，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令，求得交点，再由三角形的面积公式，解方程即可求解【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为：，令，可得，令，可得，则三角形的三个顶点为，，，所以三角形的面积为，解得4.已知函数，当，时，求曲线过原点的切线方程.【答案】或.【分析】设出切点坐标，根据切点利用导数的几何意义及直线方程的点斜式即可写出切线方程，把原点代入切线方程求出切点坐标，从而求出切线方程.【详解】当，时，，令，所以，设切点为，则，所以切线方程为，因为切线方程过原点，所以，即，解得或，当时，切线方程为；当时，切线方程为，所以曲线过原点的切线方程为或.5.已知函数.（1）求导函数；（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.【答案】（1）；（2），.【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.【详解】（1）由，得；（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，于是将代入切线方程，得，又，则，解得，而切线的斜率为，即，又，则，解得，所以，.6.已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.【答案】（1）