61平面向量的概念(典例精讲)-2021-2022学年高一下学期数学精讲检测(人教A版2019)(原卷版)

6.1平面向量的概念典例精讲典例精讲本节课知识点目录：向量概念；向量的几何表示。相等向量零向量和单位向量平行向量向量的模向量应用题一、向量概念1.向量：有大小有方向。2.区分标量和矢量3.向量表示，可以用有向线段4.向量字母表示,注意的区别【典型例题】【例1】下列说法中正确的个数是①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量A．0 B．1 C．2 D．3【例2】给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【例3】下列说法中，正确的个数是()①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与b不共线，则与b都是非零向量．A．1 B．2 C．3 D．4【例4】给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【例5】下列各命题中假命题的个数为()①向量的长度与向量的长度相等．②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．A．2 B．3C．4 D．5【对点实战】1.以下选项中，都是向量的是（）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度2.下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3.向量的两个要素为______和______.4.下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是数量（即标量）？（1）密度（2）体积（3）电阻（4）推进力（5）长度（6）加速度向量：__________；数量：____________.（填写相应编号）.5.下列说法正确的个数为（）①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数

④非零向量的单位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3二、向量的几何表示1.有向线段2.线段可以自由平移（保持方向、长度不变）3.注意向量平移和旋转之间的关系。【典型例题】【例1】某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是()A．南偏东60° B．南偏东45°C．南偏东30° D．南偏东15°【例2】分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．12个【例3】设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【例4】在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（）A．单位圆 B．一段弧C．线段 D．直线【例5】在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.【对点实战】1.如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；2.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；（2），使＝4，点B在点A正东；（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.3.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量，，；（2）求的模．4.如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.三、相等向量1.相等向量：长度相等方向相同2、因为向量可以自由平移，所以相等向量不受位置限制。【典型例题】【例1】两个非零向量相等，则下列说法中不一定成立的是（）A．它们的方向相同 B．它们的大小相同 C．它们的起点和终点相同 D．它们的负向量相等【例2】命题“若，，则”的真假性为（________）【例3】如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（）A．9 B．11C．18 D．24【例5】如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.四、零向量和单位向量1.零向量的长度为0。2.零向量方向是任意的，因而可以与任何向量平行（共线），3.单位向量长度是一个单位。4.引入向量单位化计算公式：注意同向与方向【典型例题】【例1】已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【例2】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【例3】若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【例4】下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段②零向量是没有方向的向量③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正实数A．0 B．1 C．2 D．3【例5】设是与向量同向的单位向量，是与向量反向的单位向量，则下列式子中不正确的是（）A． B． C． D．【例6】下列命题：①若是单位向量，也是单位向量，则与的方向相同或相反；②若向量是单位向量，则向量也是单位向量；③以坐标平面上的定点为起点，所有单位向量的终点的集合是以为圆心的单位圆其中正确的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【对点实战】1.下列说法中，正确的是（）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④2.下列说法错误的是（）A．若，则B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的3.下列说法错误的是（）A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量4.若向量和都是单位向量，并且夹角大小为，则以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为____________.五、平行向量（共线向量）1.平行向量：方向相同或者相反2.平行向量长度之间没有关系。3.因为向量可以自由平移，所以平行向量，也可以在一条直线上【典型例题】【例1】向量___________.【例2】如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有_____个.【例3】下列命题中，正确的是（）A．有相同起点的两个非零向量不共线B．“”的充要条件是且C．若与共线，与共线，则与共线D．向量与不共线，则与都是非零向量【例4】下面命题说法正确的个数是（1）向量，共线，向量、共线，则与也共线；（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；（3）向量与不共线，则与都是非零向量；（4）有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4【例5】为非零向量，“”为“共线”的A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件【例6】设是任一向量，是单位向量，且，则下列表达式中正确的是（）A． B． C． D．【例7】下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【对点实战】1.下列说法不正确的是（）A．平行向量也叫共线向量B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同2.下列命题中，正确的是（）A．有相同起点的两个非零向量不共线B．“”的充要条件是且C．若与共线，与共线，则与共线D．向量与不共线，则与都是非零向量3.给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的命题有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4.下列说法中正确的是（）A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形B．零向量与单位向量的模相等C．若和都是单位向量，则或D．零向量与任何向量都共线5.如图，在中，向量是（）A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量6.下列说法正确的是A．与向量共线的单位向量只有B．向量与平行，则与的方向相同或相反C．向量与向量是两平行向量D．单位向量都相等向量的模1.模：向量的长度2.记作：3.向量的模是有向线段的长度。【例1】如图，网格纸上小正方形的边长为1，，分别是的边，的中点，则（）A．且 B．且C．且 D．且【例2】下列命题中正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线【例3】下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【例4】下列说法错误的是A．向量与的长度相同 B．单位向量的长度都相等C．向量的模是一个非负实数 D．零向量是没有方向的向量【例5】将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且时，________.【例6】若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.七、向量应用题 【例1】一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.【例2】某人从A点出发向西走了20