专题08三角函数的概念（知识串讲热考题型专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（2019）（原卷版）

专题08三角函数的概念（一）任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图所示：①始边：射线的起始位置OA．②终边：射线的终止位置OB．③顶点：射线的端点O．④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．(3)正角、负角、零角正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．（二）象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的__终边__(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几__象限角__，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与__坐标轴__重合．如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．（三）终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__α＋k·360°__，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}（四）弧度制1.弧度制(1)定义：以__弧度__为单位度量角的单位制叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．【一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．】(3)记法：弧度单位用符号rad表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．2．弧度数一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)．3．弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2πrad，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad．(2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)__2π__【角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.角度制是六十进制，单位“°”不能省略；弧度制是十进制，单位“rad”可以省略】(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．4．弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝eq\f(l,r)，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1rad的扇形面积为eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为eq\f(l,r)rad，故其面积为S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称角度制弧度制弧长公式l＝eq\f(nπr,180)l＝__|α|r__扇形面积公式S＝eq\f(nπr2,360)S＝eq\f(|α|,2)r2＝eq\f(1,2)lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长（五）任意角的三角函数1.三角函数的定义（1）定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq\r(x2＋y2)>0)，那么：比值eq\f(y,r)叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝eq\f(y,r)；比值eq\f(x,r)叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝eq\f(x,r)；比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometricfunction)．(2)定义域：如表所示三角函数解析式定义域正弦函数y＝sinxR余弦函数y＝cosxR正切函数y＝tanx{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}2．三角函数值的符号sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．（六）三角函数线1.单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以__单位长度__为半径的圆为单位圆．2．有向线段：一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数.3．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝__MP__，cosα＝__OM__，tanα＝__AT__.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线、__正切__线，统称为三角函数线．4.特别提醒：①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．（七）同角三角函数的基本关系式1．公式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关2．常用的等价变形sin2α＋cos2α＝1⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)；))tanα＝eq\f(sinα,cosα)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))（八）诱导公式1.诱导公式一四，它们可概括如下：(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα..2.诱导公式五、六可简记为“函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦），符号看象限”.题型一任意角【典例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角，则符合条件的最大负角为（

）A．–22º B．–220º C．–202º D．–158º【总结提升】(1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．题型二终边相同的角【典例2】（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（

）A． B．C． D．【规律方法】1.理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．2.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．3．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．4.要正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．题型三终边在某条直线上的角的集合【典例3】（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习）如图所示，如按逆时针旋转，终边落在位置时的角的集合是__，终边落在位置时的角的集合是__．【规律方法】求解终边在某条直线上的角的集合的思路1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．题型四区域角的表示【典例5】（2022·全国·高一课时练习）如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为______．【规律方法】区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．题型五角度制与弧度制的转化【典例6】填空：0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π【总结提升】角度制与弧度制互化的关键与方法：(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；(2)方法：度数×eq\f(π,180)＝弧度数；弧度数×(eq\f(180,π))°＝度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．题型六用弧度制表示区域角【典例7】（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1)(2)【总结提升】1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤：①仔细观察图形．②写出区域边界作为终边时角的表示．③用不等式表示区域范围的角．2.注意事项：（1）用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．（2）2.角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋eq\f(π,6)(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．题型七扇形中的计算问题【典例8】（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．【典例9】（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【总结提升】弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆.题型八：利用三角函数的定义求三角函数值【典例10】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知角终边过点，则的值为（

）A． B． C．– D．–【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．题型九：三角函数在各象限内符号【典例11】【多选题】（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知是第一象限角，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【总结提升】（1）能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；（2）要熟记三角函数值在各象限的符号规律．（3）对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类（分象限）讨论．题型十：三角函数线的应用【典例12】设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sinα<α<tanα．【典例13】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2)．【总结提升】1.利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2.解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．题型十一：根据同角三角函数关系求值【典例14】（2022·全国·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．【典例15】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【总结提升】在使用开平方关系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．题型十二：根据同角三角函数关系化简三角函数式【典例16】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简(1)(2)(3)【总结提升】三角函数式的化简过程中常用的方法：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．题型十三：根据同角三角函数关系证明三角恒等式【典例17】（2022·全国·高一课时练习）求证：．【总结提升】利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可证ad＝bc或证eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq\f(左边,右边)＝1”．题型十四：sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及应用【典例18】（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知，.(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.【总结提升】(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．题型十五：诱导公式的应用【典例19】（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.(1)化简；(2)若，求；(3)若，求.【总结提升】1.利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．2.三类问题：求值、化简、证明三角恒等式.一、单选题1．（2022·西藏拉萨·高一期末）（

）A． B． C． D．12．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知，则点在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四3．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）若，则θ角是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限