422对数函数（原卷版）

4.2.2对数函数[知识整合]基础知识1．对数函数的定义一般地，形如y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的函数，我们称为对数函数．2．对数函数的图像和性质对数函数y＝logax(a>0，a≠1)在其底数a>1及0<a<1这两种情况下的图像和性质如下表所示：图像a>10<a<1函数性质(1)定义域(0，＋∞)；(2)值域R；(3)函数图像过定点(1，0)；(4)非奇非偶函数(5)在(0，＋∞)上是增函数；(5)在(0，＋∞)上是减函数；(6)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0；(6)当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0.基础训练1．已知函数f(x)＝3x－8－log2x，则f(8)＝()A．－4B．－3C．－2D．42．若a>1，则函数y＝loga(x＋3)的图像不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是____________．4．函数y＝log0.3x的定义域为____________，值域为____________，在定义域上是____________函数．5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,10x，x≤0)))，则f[f(－2)]＝____________．[重难点突破]考点1对数函数的概念例1函数y＝eq\f(log2（x－1）,\r(2－x))的定义域是()A．(－∞，2)B．(1，2)C．(1，2]D．(2，＋∞)【解析】函数y＝eq\f(log2（x－1）,\r(2－x))有意义，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1>0,2－x>0)))⇒1<x<2，故选B.反思提炼：在对数函数中求定义域，首先要保证真数大于0，底数大于0且不等于1，然后再与其它限制条件结合．【变式训练】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)(2)f(x)＝eq\r(log\s\do9(\f(1,2))（x－1）)例2已知函数f(x)＝lg(x2－ax＋2)的定义域为全体实数，求a的范围．【解】∵x2－ax＋2>0，x∈R，即x2－ax＋2>0的解集是R.令x2－ax＋2＝0，∴Δ＝a2－4×2<0，解得：－2eq\r(2)<a<2eq\r(2).考点2对数函数的图像与性质例3已知y＝ax是R上的增函数，y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是()ABCD【解析】∵y＝ax是R上的增函数，∴a>1，1－a<0，∴对数函数y＝logax单调递增，图像是在第一、四象限的曲线，函数y＝(1－a)x单调递减，图像是过原点的直线，故选D.【变式训练】函数f(x)＝log2(x＋1)的图像是()ABCD例4已知函数f(x)＝|lgx|，比较feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,15))))和f(5)的大小．【解】由f(eq\f(1,15))＝|lgeq\f(1,15)|＝|－lg15|＝|lg15|＝lg15，f(5)＝|lg5|＝lg5，∵y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，∴lg15>lg5，即f(eq\f(1,15))>f(5)．【变式训练】设a＝log0.50.4，b＝0.50.4，则a，b的大小关系是()A．a<bB．a＝bC．a>bD．不能确定考点3解对数方程和对数不等式例5方程log2(x＋1)＋log2(x－2)＝2的解是()A．x＝－2B．x＝3C．x＝－2或x＝3D．x＝－1或x＝2【解析】∵log2(x＋1)＋log2(x－2)＝log2(x＋1)(x－2)＝2＝log24，∴(x＋1)(x－2)＝4，解得x＝3或x＝－2，当x＝－2时，x－2＝－4<0，故x＝－2(舍去)，故选B.【变式训练】解方程lg(x2＋11x＋8)－lg(x＋1)＝1.例6解不等式：log(4x－1)>log(2x＋3)．【解】根据对数函数定义及单调性有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4x－1>0,2x＋3>0,4x－1<2x＋3)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4),x>－\f(3,2),x<2)))，所以解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))).【变式训练】不等式log2eq\f(x－1,2)≥0的解集是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，3))考点4对数函数性质的综合应用例7设函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)若f(a)>0，求实数a的取值范围．【解】(1)∵f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，∴函数的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，f(－x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，－f(－x)＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，∴f(x)＝－f(－x)，函数f(x)是奇函数．(2)f(a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)>0＝lg1，根据对数函数定义及单调性有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1＋a>0，,1－a>0，,\f(1＋a,1－a)>1，)))解得0<a<1，∴实数a的取值范围为(0，1)．【变式训练】设函数f(x)＝log7eq\f(x＋3,x－1)，g(x)＝log7(x－1)＋log7(5－x)，F(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求函数F(x)的定义域；(2)若F(a)＞1，求a的取值范围．[课堂训练]1．下列对数函数在区间(0，＋∞)内为减函数的是()A．y＝logxB．y＝logxC．y＝logexD．y＝lgx2．对数函数f(x)＝logax的图像过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，－2)))，则a＝()A．3B．9C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,9)3．函数y＝lg(x＋1)的值域是()A．(0，＋∞)B．(－∞，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，1)4．实数log23与log32的大小关系是()A．log23>log32B．log23<log32C．log23＝log32D．不能确定5．函数f(x)＝lgeq\f(x＋3,x－3)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数6．关于函数y＝ax和y＝logax(a>0且a≠1)的图像位置关系正确的是()ABCD7．已知log3eq\r(x)＝2，则x＝__