必考点02直线与平面平行

必考点02直线与平面平行题型一直线与平面平行的判定与性质例题1在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.【解析】(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝CB，∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴DE∥CB，DE＝CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，则PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，∴S△PDC＝×1×＝.连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，则×h×＝×1×××1，∴h＝，∴点F到平面PDC的距离为.例题2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.【解析】(1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B·DA＝××2×2×2＝.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.【解题技巧提炼】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.题型二异面直线所成的角例题1（2021·湖北华中师大一附中高三模拟）在三棱锥中，，，平面，，是线段的中点，则异面直线和所成的角等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，将三棱锥还原成长方体,取的中点，又因为E为AC的中点，则，所以异面直线和所成的角即直线和所成的夹角，设所成角为，则.由勾股定理，，则，，连接，则，所以，在中，由余弦定理可得，所以，，所以直线和所成的夹角为.故选：C.【解题技巧提炼】（1）平移其中一条或两条使其相交。（2）连接端点，使角在一个三角形中。（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中）（3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。（4）若余弦值为负，则取其相反数。题型三面面品行的判定与性质例题1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【解析】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.例题2在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.【证明】如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.【解题技巧提炼】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.题型一直线与平面平行的判定与性质1．（2021·山东济南市·济南一中高三期中）设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（）A．，则B．是两条异面直线，若则C．若，则D．若则【答案】B【解析】对于A：若，则或，故选项A不正确；对于B：设直线，且，则直线和确定平面，因为，，所以，因为，，所以平面，同理可证，所以，故选项B正确；对于C：当与相交时，和都平行于与的交线时，也满足，但与不平行，故选项C不正确；对于D：若则或，故选项D不正确；故选：B.2．(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.题型二异面直线所成的角1.（2021·长丰县凤麟中学高三期中）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是的中点.由以下论断：①与是异面直线；②平面；③与为异面直线，且；④平面．则这些论断正确的序号是（）A．③ B．③④ C．①②③ D．②③④【答案】A【解析】对于①，都在平面内，故错误；对于②，上底面是一个正三角形，不可能存在平面，故错误；对于③，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形是正三角形，是中点，故与是异面直线，且，故正确；对于④，所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故错误．故选：A2.已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，则异面直线A1C1与B1C所成角为．【答案】60°.【解析】如图所示，连接A1D和C1D，∵B1C∥A1D， ∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角．∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，∴A1D＝A1C1＝C1D，∴△A1C1D为等边三角形．即∠C1A1D＝60°.∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.题型三直线与平面平行1.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F－DCE的体积.【解析】(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC＝AE＝AB，即点E是AB的中点.因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点.综上，E，F分别是AB，PB的中点.(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF－DEC＝VP－DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.∴CE＝1.2.（2021·山东济南市·济南一中高三期中）设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（）A．，则B．是两条异面直线，若则C．若，则D．若则【答案】B【解析】对于A：若，则或，故选项A不正确；对于B：设直线，且，则直线和确定平面，因为，，所以，因为，，所以平面，同理可证，所以，故选项B正确；对于C：当与相交时，和都平行于与的交线时，也满足，但与不平行，故选项C不正确；对于D：若则或，故选项D不正确；故选：B.一、单选题1．已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（

）A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面【答案】D【解析】若α//β，则内的直线与内的直线没有交点，所以当m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是平行或异面.故选：D2．已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（

）A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不对【答案】B【解析】设点在同一个平面内，若，则五点共面，若，且，这种情况五点不共面，故选：B3．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为四棱锥中，底面，，所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.故选：.4．已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中假命题是A．① B．② C．③ D．③④【答案】D【解析】①若，，则根据公理4可知成立；②若，，则成立；③若，，则可能平行、相交或异面，故③错误；④若，，则或，故④错误；故③④是假命题．故选：D．5．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，则，又平面，平面，∴平面，易知，故平面与平面是同一个平面，∴平面，此时，故选：B6．如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在三棱柱中，，异面直线与所成的角为或其补角，连接，底面，平面，，又，，平面，又平面，，由，可得，，，又，，在△中，，即异面直线与所成角的余弦值为．故选：A．7．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取AB中点E，连接，，如图，分别是,中点，,（或其补角）即为异面直线与直线所成的角,直三棱柱中，，，,,，，故异面直线与直线所成的角大小为，故选：C8．如图，在正方体中，点分别为的中点，设过点的平面为，则下列说法正确的是（

）A．在正方体中，存在某条棱与平面平行B．在正方体中，存在某条面对角线与平面平行C．在正方体中，存在某条体对角线与平面平行D．平面截正方体所得的截面为五边形【答案】D【解析】对于选项A，交平面于点，平面，都不与平面平行，交平面于点，平面，都不与平面平行，

交平面于点，平面，都不与平面平行，故A错误；观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交，故B错误；四条体对角线全部与面都相交，故C错误.如下图，取中点为，易得，取中点为，连接，易得，再取中点为，连接，则，，是平面与正方体底面的交线，延长，与的延长线交于，连接，交于，则可得五边形即为平面交正方体的截面，故D正确；故选：D.

二、多选题9．设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AD【解析】在选项A中，，由线面平行判定定理得，，故A项正确；在选项B中，，则a与b平行或异面，故B项错误；在选项C中，，则与相交或平行，故C项错误；在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．故选：AD﹒10．如图一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将，沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（

）A．当平面平面CDF时，B．当平面平面CDF时，平面BFDEC．当A，C重合于点P时，D．当A，C重合于点P时，三棱锥外接球的表面积为150.【答案】BD【解析】A：当平面平面CDF，如图1所示，假设，则四边形AEDC为平面图形，由，得，所以四边形GHDE为平行四边形，所以，这与矛盾，所以假设不成立，故A不正确；B：在矩形ABCD中，AB=10，AD=，E、F分别为AD、BC的中点，则，且，所以平面AGH，平面CHG.由，可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，又平面平面CDF，所以，又，故四边形AGHC为平行四边形，所以，所以平面BFDE，故B正确；C：当A、C重合于点P时，如图2所示，，不满足，所以PG与PD不垂直，故C错误；D：在三棱锥中，，所以为直角三角形，，所以为直角三角形，又为直角三角形，由补形法可知，三棱锥外接球的直径为，则三棱锥外接球的表面积为，故D正确.故选：BD11．在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是的中点.给出下列结论正确的是（

）A．若是上的动点，则与异面 B．平面C．若该三棱柱有内切球，则 D．平面平面【答案】BC【解析】A.如图，若是的中点，则,所以，则与不异面，所以该选项错误；B.如图，连接,则平面,不在平面内，所以平面.所以该选项正确；C.设内切圆的半径为，则,所以该选项正确；D.前面已经证明平面.假设平面平面，则平面,但是实际上不在平面内，所以该选项错误.故选：BC12．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（

）A．直线与直线所成的角的正切值为B．直线与平面平行C．点与点到平面的距离相等D．平面截正方体所得的截面面积为【答案】ABD【解析】如图所示：.因为，所以直线与直线所成的角，，故正确；.取中点，连接，，在正方体中，，，平面，平面，所以平面，同理可证平面，，所以平面平面，平面，所以平面，故正确；.假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故错误；.在正方体中，，把截面补形为等腰梯形，易知，之间的距离为，所以其面积为，故正确，故选：ABD三、填空题13．如图是一个正方体的展开图，则在该正方体中直线AB与直线CD所成角的大小为___________.【答案】60°##【解析】将展开图还原后如图，因为该几何体为正方体，易知，为正三角形，所以直线AB与直线CD所成角等于60°.故答案为：60°14．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，，则∥；②若∥，，则；③若，，则∥；④若a⊥b，，，则．其中，真命题的序号是______．【答案】④【解析】对于①，当a⊥b，时，∥或，所以①错误，对于②，当∥，时，直线与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以②错误，对于③，当，时，∥或，所以③错误，对于④，当a⊥b，时，∥或，因为时，所以，所以④正确，故答案为：④15．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的大小是_______.【答案】；【解析】因为，所以异面直线与所成的角，在正四棱柱的底面边长为2，高为3，所以，因为，所以，故答案为：16．如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为、的中点.若平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为______.【答案】【解析】连接，则，即四点共面，设平面与分别交于，连接，因为平面BPQD，所以，则四边形为平行四边形，则，又因为，所以，即.故答案为：.四、解答题17．如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，∴，而，∴，即B，C，H，G四点共面.（2）∵E，G分别是AB，的中点，∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，18．如图，在长方