中考数学专项复习：一次函数的图象与性质

专题09一次函数的图象与性质

知识点框架

正比例函数©I-----------

-------------图象与性质

知点q一次函教©

一次函数e

图象与性质

利用待定系数法求一次函数解析式

一次函数的图象与性质

判断正比例函数与一次函数

根据正比例函数与一次函数的定义求参数

正比例函数的图象与性质

考杳题型

一次函数的图象与性质

一次函数的平移问题

求一次函数解析式

知识点讲解

正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，kWO）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。

【扩展】正比例函数y=kx（k为常数，kWO）必过点（0,0）、（1,k）。

一次函数定义：如果产kx+b（k,b是常数，k¥0）,那么y叫做x的一次函数，k叫比例系数。当b=0时,

一次函数y=kx+b变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。

【扩展】1）一次函数丫=原+5（k,b是常数，kWO）必过点（0,b）、（—,0）。

2）直线L与坐标原点构成的三角形面积为s=1.|-^|.|6|o

画一次函数图象：

1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取（0,b）,0）两点；

k

2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取（0,0）、（1,k）两点。

【正比例函数与一次函数的性质（重难点、考点）】

一、图像特征

b>0b<0b=0

k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限

【小结】

1）正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx（kWO）有下列性质：

（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k〈0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

2）一次函数的性质：一般地，一次函数丫=1«+13仇/0,bWO）有下列性质:

(1)k>0,b>0时,图象经过一、二、三象限,y随x的增大而增大;

（2）k>0,b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大;

(3)k<0,b>0时,图象经过一、二、四象限,y随x的增大而减小;

（4）k<0,b〈0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。

二位置特征（直线y产kx+b与yz=kx图象的位置关系）

对于正比例函数：1）当b>0时，将y?=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到yi=kx+b图象。

2）当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移一b个单位，就得到y2=kx+b图象。

对于一次函数（规则：上加下减，左加右减）：

1）上下平移：①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n；

②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+bn；

2）左右平移：①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k（xn）+b；

②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k（x+n）+b；

确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法。

用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:

①设出函数的一般形式丫=1«（1<=0）或y=kx+b（kWO）；

②根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；

③解方程或方程组求出待定系数的值；

④将所求得的系数的值代入到函数的一般形式中。

典型题型

考查题型一判断正比例函数与一次函数

1.（2022•江苏南通•八年级期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

8

A.y=8xB.y=-C.y=5x+lD.y=x2+2.x

x

【答案】A

【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如了=依"是常数，际0）的函数叫做正比例函数，即可判断.

【详解】解：A、y=8x,V是x的正比例函数，故符合题意；

Q

B、y=—,了是x的反比例函数，故不符合题意；

x

c、y=5x+l,y是X的一次函数，故不符合题意；

D、y=x2+2x,了是x的二次函数，故不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键.

2.（2022•江苏盐城•八年级期末）下列函数中，是正比例函数的是（）

A.y=3x+1B.y=x~'C.y=2xD.y=x2

【答案】C

【分析】根据正比例函数的定义判断.

【详解】3x+1是一次函数，

不符合题意；

•.•>=尤7不是正比例函数，

不符合题意；

•.•y=2x是正比例函数，

符合题意；

/不是正比例函数,

...不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了正比例函数即形如尸奴+6（原0）的函数叫做一次函数；当6=0时，叫做正比例函数，

熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键.

3.（2022•江苏淮安•八年级期末）下列函数中，是一次函数的是（）

2r=61

A.y=xB.y=3x-5C.y=—D.y=-----

xx-\

【答案】B

【分析】根据一次函数的定义解答即可.

【详解】解：4自变量次数为2,故是二次函数；

B、自变量次数为1,是一次函数；

C、分母中含有未知数，故是反比例函数；

。、分母中含有未知数，不是一次函数.

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数的定义，一次函数》=h+6的定义条件是：k、6为常数，k/0,自变量次数为

1.

2

4.（2020•江苏・射阳县第二初级中学八年级期中）函数①>=»x；②y=2x-l；③>=—；④>=/一1中，

V是X的一次函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】利用一次函数定义进行解答即可.

【详解】解：①y=7ix是一次函数；

②y=2xl是一次函数；

2

③〉：—不是一次函数；

X

@y=x2l不是一次函数，

因此一次函数共2个，

故选：B.

【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握形如y=kx+b（VO,k、b是常数）的函数，叫做一

次函数.

考查题型二根据正比例函数与一次函数的定义求参数

5.（2020•江苏扬州•八年级期末）在尸（M）x+k2l中，若/是x的正比例函数，则左的值为（）

A.1B.1C.±1D.无法确定

【答案】B

【分析】先根据正比例函数的定义列出关于左的方程组，求出发的值即可.

【详解】•••函数方（A-l）x+R-1是正比例函数，

.肚-1N0

A"1=0，

解得Q-1.

故选：B.

【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，即形如尸入（存0）的函数叫正比例函数.

6.（2020•江苏泰州•八年级期末）若函数》=（4-5）x+4是一次函数，则上应满足的条件为（）

A.每5B.左=5C.k>5D.k<5

【答案】A

【分析】根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，导0,自变量次数为1,即可得出答案.

【详解】解:由题意得：k5加，

解得：k#5.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意一次函数解析式的结构特征：厚0；自变量的次数为

1；常数项b可以为任意实数.

7.（2019•江苏苏州•八年级期末）如果y=（ml）x2&+3是一次函数，那么m的值是（）

A.1B.-1C.±1D.±72

【答案】B

【分析】根据一次函数的定义解答.

【详解】解：•••产（1111）/-/+3是一次函数，

.[2-m2=1

Im-10

故选B.

【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数丫=入+1）的定义条件是：k、b为常数，k加，自变量次

数为1.

考查题型三正比例函数的图象与性质

8.（2021•江苏南通•八年级期末）正比例函数y=2x的图象经过的象限是（）

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、四象限D.第二、三象限

【答案】A

【分析】根据正比例函数的性质进行求解.

【详解】解：：正比例函数y=2x中，k=2>0,

.・.此函数的图象经过一、三象限.

故选：A.

【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=丘/N0）中，当左>0时，函数的图象经过一、

三象限.

9.（2022-四川•渠县东安雄才学校八年级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y="；②y=云③>=CX,

其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a,b,C的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【分析】先根据函数图象经过的象限得出。>0,b>0,c<0,再根据直线越陡，阿越大得出答案.

【详解】解：♦."="和y=6x的图象经过一、三象限，>=cx的图象经过二、四象限，

（2>0,b>0fc<0,

•・•直线y=区比直线k衣陡，

b>a,

•*,b>a>c,

故选：C.

【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当左〉0时，函数图象经过一、三象限；当左<0时，函数图象经过

二、四象限；直线越陡，网越大.

10.（2022・安徽・马鞍山东方实验学校八年级期中）正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，则直线

y=(_0_l)x经过()

A.第一、三象限B.第二、三象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

【答案】C

【分析】根据正比例函数的增减性，可得。>0;则-0-1<0,据此判断直线y=（-a-l）x经过的象限.

【详解】解：：正比例函数>=以中，y随x的增大而增大，

••Q〉0,

••—Q—1<0,

...直线y=（-a-l）x经过第二、四象限.

故选：C.

【点睛】此题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键.

11.（2022・江苏无锡•八年级期末）已知点尸（a,2a-2）在直线y=x上，则a的值为（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】将点尸（a,2a-2）在直线y=x中计算即可.

【详解】解：：点尸（a,2a-2）在直线y=无上，

.*•a=2a2,

解得a=2,

故选：D.

【点睛】此题考查了正比例函数图象上点坐标特征，点在直线上，点的坐标即可代入函数解析式求对应的

参数.

考查题型四一次函数的图象与性质

12.（2022・江苏无锡・八年级期末）已知正比例函数了=依信/0）的函数值随x的增大而增大，则一次函数

弘=-工+左的图像经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

【答案】C

【分析】由正比例函数>=日化NO）的函数值随x的增大而增大，可得上>0,结合T〈0,可得y=-x+k的

图象经过一，二，四象限，从而可得答案.

【详解】解：：正比例函数了=弱化/0）的函数值随x的增大而增大，

\k〉0,

则一次函数弘=f+左的图像经过一，二，四象限,

故选C

【点睛】本题考查的是正比例函数图象的性质，一次函数的图象与性质，掌握“一次函数的图象与性质''是解

本题的关键.

13.（2021•江苏淮安•八年级期末）若直线歹=丘+6经过第一、二、四象限，则函数y=6x-上的大致图像是

【答案】B

【分析】根据一次函数>=h+6的图像经过第一、二、四象限，可以得到人和6的正负，然后根据一次函数

的性质，即可得到一次函数了=法-左图像经过哪几个象限，从而可以解答本题.

【详解】•.•一次函数y=h+b的图像经过第一、二、四象限，

:.k<0,b>0,

b>0,-k>0,

一次函数了=6尤-左图像第一、二、三象限，

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

14.（2022•江苏・宿迁市钟吾初级中学八年级期末）已知一次函数》=履+6中y随x的增大而减小，且肋<0,

则在直角坐标系内它的大致图象是（）

【分析】根据一次函数的图象及性质由了随X的增大而减小即可判断左的符号，再由同<0即可判断6的符

号，即可得出答案.

【详解】解：・.♦一次函数y=b+6中夕随X的增大而减小，

二人<0,

又:kb<0,

b>0,

一次函数y=履+匕的图象经过一、二、四象限，

故选A.

【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，解题关键在于熟练掌握一次函数四种图象的情况.

15.（2022•江苏南通•八年级期末）一次函数y=2x+l的图象经过的象限是（）

A.一、二、三B.一、二、四C.一、三、四D.二、三、四

【答案】A

【分析】根据函数的系数与常数判断函数图象经过的象限即可.

【详解】解：y=2x+l,

V2>0,所以函数图象是递增的，

•.•函数图象经过点（0,1）,

故函数图象经过一、二、三、象限，

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数的图象与系数之间的关系，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键.

16.（2021•江苏・景山中学八年级期中）下列关于一次函数了=2》-4的结论中，正确的是（）

A.图像经过点（3,0）B.当x>2时，y<0

C.y随x增大而增大D.图像经过第二、三、四象限

【答案】C

【分析】根据一次函数的图象和性质逐一判断选项的正确性.

【详解】/、当尤=3时，尸2*34=2,图象经过点（3,2）,故此选项错误；

B、当x=2时，y=0,则x>2时，y>0,故此选项错误；

C、k=2,k>0,y随着x的增大而增大，故此选项正确；

D、k>0,b<0,函数图象经过第一、三、四象限，故此选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质.

17.（2022•江苏徐州•八年级期末）关于函数y=x-2的图像，下列说法正确的是（）

A.从左往右呈下降趋势

B.可以由y=x的图像平移得到

C.经过第一、二、三象限

D.与y轴的交点的坐标为（0,2）

【答案】B

【分析】根据一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象与几何变换进行一一分析.

【详解】解：A、由于函数y=x2中41>0,所以从左往右呈上升趋势，故不符合题意；

B、由于尸与尸1的左值相同，b值不相同，所以函数y=x2的图象可以由尸x的图象平移得到，故符合

题意；

C、由于函数y=x2中，A=l>0,b=2<0,所以该函数图象经过一、三、四象限，故不符合题意；

D、令尸0时，尸2,所以该图象与y轴的交点的坐标为（0,2）,故不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了两条直线平行问题，一次函数的的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一

次函数的图象及性质是解题的关键.

18.（2022・江苏・射阳县第六中学八年级期末）已知一次函数y=（2m-1）x+2,y随x的增大而减小，则加

的取值范围是（）

1

A.m>^-B.m<—C.m>1D.m<1

2

【答案】B

【分析】直接根据一次函数的性质得出关于根的不等式，求出机的取值范围即可.

【详解】解：•••一次函数尸（2ml）x+2，夕随x的增大而减小，

/.2ml<0,解得根

故选B.

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键.

19.（2022・江苏无锡•八年级期末）若点（-5,〃）、（3,”）都在函数>=（F+1）x+b的图像上，则〃与

”的大小关系是（）

A.yi>y2B.C.yi<y2D.不能确定

【答案】C

【分析】根据非负数的性质得即可R+l>0,根据一次函数的性质判断即可.

【详解】解d>o,

二函数y随x的增大而增大，

V3>-5,

•''yi<y2>

故选：C.

【点睛】此题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点，一次函数的性质，推出左=产+1>0,y随x的增大

而增大是解题的关键.

考查题型五一次函数的平移问题

20.（2022•江苏南京•八年级期末）函数y=的图像向左平移2个单位，相应的函数表达式为（）

I1111

A.y=-x+1B.y——x—1C.y——x+2D.y=­x—2

2222

【答案】A

【分析】先由“上加下减”的平移规律即可得出函数V=的图象向左平移2个单位后的解析式.

【详解】解：将函数V=向左平移2个单位得到y=；（x+2）=；x+l,

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象与几何变换，牢记函数图象的平移规律是“上加下减，左加右减”.

21.（2022•江苏淮安•八年级期末）在平面直角坐标系中，把一次函数y=2x向上平移3个单位后，得到的新

的一次函数的表达式是（）

A.y-2x-3B.y=2x+3C.y-3x+2D.y-3x-2

【答案】B

【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.

【详解】函数图像的平移法则为：上加下减，左加右减，则一次函数y=2x的图象向上平移3个单位长度得

到的新一次函数的解析式是：y=2x+3

故选:B

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

22.（2022•江苏•南通市八一中学八年级期中）若直线>=履+6沿y轴平移2个单位得到新的直线歹=丘-1,

则6为（）

A.1或-3B.-1或3C.2或-3D.-2或3

【答案】A

【分析】根据上加下减的原则可知，将直线产弱+6沿y轴平移2个单位得到新的直线产履+6±2,即直线

y=kx1,那么b±2=l,即可求出b的值.

【详解】解：根据上加下减的原则可得：

6±2=1

解得：6=1或3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移和图

形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.平移后

解析式有这样一个规律：左加右减，上加下减.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.

23.（2021•江苏徐州•八年级期末）一次函数尸2x+l的图像，可由函数尸2x的图像（）

A.向左平移1个单位长度而得到B.向右平移1个单位长度而得到

C.向上平移1个单位长度而得到D.向下平移1个单位长度而得到

【答案】C

【分析】根据一次函数图象平移规律，直接判断即可.

【详解】解：：一次函数图象向上平移m（m>0）个单位，常数项增加m,

二函数尸2x的图像向上平移1个单位可以得到y=2x+l的图像，

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数图象平移的规律，解题关键是掌握一次函数图象平移的规律：上加下减常数

项，左加右减自变量.

考查题型六求一次函数解析式

24.（2022•江苏•扬州中学教育集团树人学校八年级期末）已知y-3与x+4成正比例，且当x=-l时，y=

-3.求：

（1”与x之间的函数表达式；

（2）当了=-5时，y的值.

【答案】（1»=-2x-5

⑵-5

【分析】（1）设了-3=左（》+4）,通过待定系数法求解.

（2）将》=-5代入解析式求解.

（1）

解：设了-3=左（尤+4）,

将x=T,y=-3代入了-3=左（龙+4）得-3-3=3左，

解得人=-2,

y-3=-2（x+4）,ipy=—2x—5.

（2）

解：把x=-5代入y=-2x-5得

y=~2x（-5）-5=5.

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，由夕-3与x+4成正

比例设y-3=左（》+4）.

25.（2022•江苏南通•八年级期末）已知一次函数〉=丘+6（左70）的图象经过"（-2,-3）,N（l,3）两点.

（1）求这个一次函数的解析式；

⑵设图象与X轴和y轴交点分别是A,B,求力。8的面积.

【答案】⑴尸2x+l

⑵工

4

【分析】（1）把经过的点的坐标代入，求解得到左、6的值即可得解；

（2）根据一次函数的解析式即可求出点A、3的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得凶08的面积.

(1)

解：••・一次函数〉=履+6(左WO)的图象经过M(-2,-3),N(l,3)两点，

.12左+b=-3

…［左+6=3

解得k=2,6=1,

・•・这个一次函数的解析式为歹=2x+l；

(2)

当x=0时，歹=1,

当V=0时，2x+l=0,解得、=—,，

2

二•函数图象与两坐标轴交点坐标分别为4