浙教版七年级数学上册同步讲义：垂径定理（学生版+解析）

第12课垂径定理

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学习目标

1.掌握垂径定理及其逆定理.

2.会运用垂径定理及其逆定理解决些简单的几何问题.

视知识精讲

知识点01垂径定理

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

2.定理的条件和结论.

条件：①直径；②垂直于弦

结论：①平分弦；②平分弧

知识点02垂径定理的逆定理

逆定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

能力拓展

考点01垂径定理及其逆定理

【典例1】如图，在。。中，AB,AC是互相垂直且相等的两条弦，OELAC,垂足分别为。、E.

（1）求证：四边形ADOE是正方形；

（2）若AC=2c〃z,求。。的半径.

B

【即学即练1］如图，AB是。。的直径，BC是弦,OOL8C于点£,交圆于点。，连接AC、BD.

（1）请写出五个不同类型的正确结论；

（2）若BC=8,ED=2,求OO的半径.

考点02垂径定理及其逆定理的实际应用

【典例2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并

称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，

深一寸，锯道长一尺，间径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深

为1寸，锯道48=1尺（1尺=10寸），求该圆材的直径.

【即学即练2】如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度。尸

为20米.求：

（1）桥拱的半径；

（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为一米.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，点A是O。上一点，连接。4.弦BCLOA于点。.若。。=2,AD=1,则BC的长为（）

A.2-75B.4c.2V3D.2V2

2.如图，AB是OO的直径，弦C£）_LA3,垂足为E,若BE=CD=8,则O。的半径的长是（

A.5B.4C.3D.2

3.如图，。0的半径为2,弦A5=2«,则圆心。至IJ弦A3的距离为（）

B.V2C.V3D.2

4.如图，CD是。。的直径，A3是弦，CQ_LA3于E，DE=2,A8=8,则AC的长为（）

B.10C.4后D.4、月

5.往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm,水的最大深度为16c7小则圆柱

)cm.

A.10B.14C.26D.52

6.往直径为260n的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示.若水面宽A5=24cm,则水的最大深度

C.8cmD.10cm

7.如图，A、3、C是O。上的点，0CLA8,垂足为点。，且。为0C的中点，若。4=7,则的长为

C

8.如图，某圆弧形拱桥的跨度42=20根，拱高Cr>=57",则该拱桥的半径为____m.

9.如图，已知弧AB,试确定弧所在圆的圆心并补全这个圆.

B

10.已知：如图，/B4c=30°,在射线AC上顺次截取AD=3CMJ,DB=10cm，以。2为直径作。。交射

线AP于E、F两点.

(1)求圆心。到AP的距离;

(2)求弦所的长.

11.如图，AB为圆。直径，尸点在圆上，E点为AF中点，连接E。，作COLE。交圆。于点C,作

题组B能力提升练

12.已知。。的半径为7,AB是。。的弦，点尸在弦A3上.若E4=4,PB=6,则OP=（）

A.-714B.4C.V23D.5

13.己知AB是O。的弦，半径。C_L43于点。.若。0=OC,42=12,则O。的半径为（）

A.4/2B.4./3C.672D.673

14.如图，AB是。。的弦，A8长为8,P是。。上一个动点（不与A,8重合），过点。作。CLAP于点

C,OOLP8于点Q,则C。的长为（）

A.3B.2MC.4A/3D.4

15.已知。。的直径CD=10,48是。O的弦，AB=8,且AB_LC。，垂足为则AC的长为（）

A.2脏B.4、后C.2遥或4而D.2我或4%

16.把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm,A8长16cm,则球的半径为（）

A.9B.10C.11D.12

17.如图，AB是。。的直径，弦CD交A8于点尸，AP=4,BP=12,ZAPC=30°,则CD的长为

18.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A,B,C.

（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）

要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4处即PN=4相时，试通过计算说明是否需要采取紧

急措施.

20.如图，RtAABO,NO=90°,AO=J5，BO=1,以。为圆心，05为半径的圆交A8于点P,求PB

题组C培优拔尖练

21.OO的半径为10c〃z,弦且AB=12cm,CD16cm,则AB和CO的距离为（）

A.2cmB.14cmC.2c机或14c机D.10c加或20。相

22.如图，正方形A5CD和正方形BEFG的顶点分别在半圆。的直径和圆周上，若3G=4,则半圆。的半

径是（)

A.4+收B.9C.4A/5D.672

23.如图，在O。中，AB,AC为弦，CD为直径，ABLCD^-E,BFLACF,8尸与CO相交于G.

(1)求证：ED=EG；

(2)若48=8,0G=1,求。。的半径.

24.如图，在半径为2的扇形048中，NAO8=90°,点C是第上的一个动点(不与点A,8重合)，OD

LBC,OELAC,垂足分别为D,E.

(1)当BC=2时，求线段。。的长和的度数；

(2)在△口?£中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明

理由.

(3)在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明

理由.

第12课垂径定理

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学习目标

1.掌握垂径定理及其逆定理.

2.会运用垂径定理及其逆定理解决些简单的几何问题.

知识精讲

知识点01垂径定理

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

2.定理的条件和结论.

条件：①直径；②垂直于弦

结论：①平分弦；②平分弧

知识点02垂径定理的逆定理

逆定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

能力拓展

考点01~~垂径定理及其逆定理

【典例1】如图，在。。中，AB,AC是互相垂直且相等的两条弦，OELAC,垂

足分别为。、E.

（1）求证：四边形AOOE是正方形;

（2）若AC=2cm求（DO的半径.

【思路点拨】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可

得结论；

（2）根据勾股定理可得半径.

【解析】（1）证明：:。。，人以OELAC,

:.AD=^LAB,AE=1AC,

22

"：AB=AC,

J.AD^AE,

VZADO=ZA=ZAEO=90°,

四边形ADOE是正方形；

•1critf

在RtZXAOE中，OA=V12+12=V2（CM1）,

答：O。的半径是JEcw.

【点睛】本题考查正方形的判定，运用垂径定理得到AQ=AE是解题关键.

【即学即练1】如图，A8是。。的直径，8C是弦，OO„LBC于点E,交圆于点。，连接AC、

BD.

（1）请写出五个不同类型的正确结论；

（2）若8c=8,ED=2,求。0的半径.

【思路点拨】（1）根据垂径定理得出CE=BE,CD=BD，根据三角形的中位线求出OE

=2AC,根据圆周角定理求出/C=90°,根据平行线的判定得出AC〃。0

2

（2）根据垂径定理求出BE=4,根据勾股定理得出关于R的方程，再求出方程的解即可.

【解析】解：（1）正确的结论有：CE=BE,而=俞，OE^lAC,NC=90°,AC//

OD；

(2)-：OD±BC,。。过圆心。，BC=8,

NOE2=90°,BE=CE=4,

设。。的半径为R,则OB=OD=R,

由勾股定理得：OB2=OE2+BE2,

即«2=(R-2)2+42,

解得：R=5,

即。。的半径是5.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，圆周角定理等知识点，能

熟记垂径定理是解此题的关键.

考点02垂径定理及其逆定理的实际应用

【典例2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的

《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋

在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文

题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道A8=l尺(1尺=10寸),

求该圆材的直径.

【思路点拨】设。。的半径为厂寸.在RtZkAC。中，AC=5,OC=r-1,OA=r,则有

户=52+(r-1)2,解方程即可.

【解析】解：设圆心为。，过。作0CLA2于C,交O。于。，连接04如图所示：

.,.AC=AAB=AX10=5,

22

设0。的半径为r寸，

在Rt/XACO中，OC=r-l,OA=r,

则有，=5?+(r-1)2,

解得r=13,

•••O。的直径为26寸.

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解

决问题，属于中考常考题型.

【即学即练2】如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度A2=80米，桥拱到水面

的最大高度。下为20米.求：

（1）桥拱的半径；

（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为10米.

【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；

（2）由垂径定理求出由勾股定理求出即，得出班'即可.

【解析】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作跖，于凡延长EF交

圆于点D,

则由垂径定理知，点F是的中点，AF=FB=AAB=40,EF=ED-FD=AE-DF,

2

由勾股定理知，4后2=4尸+£P2=4尸+（AE-DF）2,

设圆的半径是r,

贝U：?=402+（r-20）2,

解得：r=50；

即桥拱的半径为50米；

（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H,连接如图2所示

则MH=NH=LMN=30,

2

EH=,\/502-302=40（米），

VEF=50-20=30（米）,

：.HF=EH-EF=10（米）；

故答案为：10.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解

决问题的关键.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，点A是。。上一点，连接。4.弦8CLOA于点。.若OD=2,AD=1,贝UBC

的长为(

A.2V5B.4C.2VSD.2A/2

【思路点拨】求出圆的半径，再利用垂径定理和勾股定理即可求出答案.

【解析】解：如图，连接

"：AD=1,OD=2,

：.OA=A£)+OD=3=OB,

'：BC.LOA,

：.ZODB=90°,BD=CD,

在RtZXBOD中，由勾股定理得，

80=、012_002=返,

:.BC=2BD=2瞧,

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提.

2.如图，A8是。。的直径，弦COLA8,垂足为E,若BE=CD=8,则的半径的长是

A.5B.4C.3D.2

【思路点拨】连接0C,设。。的半径为R,则0E=8-R,根据垂径定理得出CE=DE

=4,根据勾股定理得出OC2=CE2+OE2,代入后求出R即可.

【解析】解：连接0C,

R

图1

设O。的半径为R,则0E=8-R,

'：CD±AB,A2过圆心0,CD=8,

：.NOEC=90°,CE=DE=4,

由勾股定理得：。。2=(7炉+。层,

夫2=42+(8-R)2,

解得：R=5,

即O。的半径长是5,

故选：A.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题

的关键.

3.如图，。。的半径为2,弦AB=2«,则圆心。到弦AB的距离为（）

A.1B.A/2C.V3D.2

【思路点拨】过。作OC_LAB于C,连接0A,根据垂径定理求出AC,再根据勾股定理

求出0C即可.

【解析】解：过。作OCLAB于C,连接0A,

VOCLAB,0C过圆心0,AB=243,

.•.AC=BC=«,/OCA=90。，

由勾股定理得：oc=7OA2-AC2=V22-(V3)2=L

即圆心。到弦A2的距离为1,

故选：A.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题

的关键.

4.如图，CZ)是。。的直径，A2是弦，CD_L4B于E,DE=2,AB=8,则AC的长为()

D

A.8B.10C.4A/5D.4A/3

【思路点拨】连接设。。的半径为K,则0A=凡OE=R-2,根据垂径定理求出

AE=BE=4,根据勾股定理求出OA2=OE1+AE1,得出/?2=(R-2)2+42,求出R,再

求出CE,最后根据勾股定理求出AC即可.

;【解析】解：连接OA,设O。的半径为R,则。4=R,OE=R-2,

D

VCDXAB,C£)过圆心O,AB=8,

：.AE=BE=4,ZAEC=90°,

由勾股定理得：OA2=OE2+AE2,

即R2=(R-2)2+42,

解得：R=5,

即。4=OC=5,OE=5-2=3,

ACE=OC+OE=5+3=8,

•,-AC=-\/CE2+AE2==4娓'

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题

的关键.

5.往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm,水的最大深度

为16cm,则圆柱形容器的截面直径为()an.

A

A.10B.14C.26D.52

【思路点拨】设半径为rem,贝I(r-16)cm,在中，^=242+(r-16)

2,解方程可得半径，进而可得直径.

【解析】解：如图所示：

由题意得，OC_LAB于£>,DC=l6cm,

"."AB=48cm,

BD—AAB=AX48=24(cm),

22

设半径为rem,则0D=(r-16)cm,

在RtZ\OB£>中，

^=242+(r-16)2,解得厂=26,

所以2r=52,

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理

是解答此题的关键.

6.往直径为26°加的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示.若水面宽48=24071,

则水的最大深度为()

A.4cmB.5cmC.8cmD.10cm

【思路点拨】连接OB,过点O作0C_LAB于点D,交。。于点C,先由垂径定理求出

2。的长，再根据勾股定理求出0。的长，进而得出。的长即可.

【解析】解：连接。2,过点。作0CLA2于点。，交。。于点C,如图所示:

VAB=24cm,

：.BD=^AB=12(cm),

2

Q0的直径为26cm,

：.0B=0C=13(cm),

在RtZiOBD中，OD=4OB2_BD2=4]32_]22=5(cm),

：.CD=OC-00=13-5=8(cm),

即水的最大深度为8cm,

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三

角形是解答此题的关键.

7.如图，A、B、C是。。上的点，0CLA8,垂足为点D,且。为。C的中点，若。4=7,

【思路点拨】根据已知条件证得△AODgZXBC。（SAS）,则BC=OA=7.

【解析】解：：0A=0C=7,且。为0c的中点，

：.0D=CD,

OC±AB,

：.ZODA=ZCDB=90°,AD=BD,

在△40。和△BCD中，

；.LA0D沿ABCD(SAS),

：.BC=0A=1.

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理

内容.

8.如图，某圆弧形拱桥的跨度48=20加，拱高CZ)=5m,则该拱桥的半径为12.5m.

ADB

【思路点拨】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心

是O,半径为"小连接OA.根据垂径定理得4。=10优，再由勾股定理求解即可.

【解析】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在8所在的直线上，

设圆心是。，半径是rm,连接。A.

根据垂径定理，得：

2

在RtzXAOD中，根据勾股定理，得，=10,(r-5)2

解得：r=12.5,

即该拱桥的半径为12.5m,

【点睛】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定

理得出方程是解题的关键.

9.如图，已知弧试确定弧A8所在圆的圆心并补全这个圆.

【思路点拨】先根据已知条件找出圆的圆心，再找出半径，最后画出圆即可.

【解析】解：如图所示：

E

②分别作线段AC和BC的垂直平分线取、MN,两线交于0,连接0A,

③以。为圆心，以。4为半径作圆即可.

【点睛】本题考查了垂径定理，确定圆的条件等知识点，能找出圆的圆心是解此题的关

键.

10.已知：如图，ZE4C=30°,在射线AC上顺次截取A£>=3c%,DB=10cm,以DB为

直径作O。交射线4尸于E、尸两点.

(1)求圆心。到AP的距离；

(2)求弦斯的长.

【思路点拨】(1)过。点作OHLE尸于“，如图，根据含30度的直角三角形三边的关

系求出即可；

(2)连接OR如图，根据垂径定理得到然后利用勾股定理计算出族即可.

【解析】解：(1)过。点作于如图，

VDB=10,

：.OD=5,

：.OA=AD+OD=3+5=8,

在RtZXOA"中，'：ZOAH=30°,

.,.OH=A(9A=4,

2

即圆心。到AP的距离为4cm；

(2)连接OR如图，

"：OHLEF,

：.EH=FH,

在Rt/XOHP中，HF=A/OF2-OH2==3,

：.EF=2HF=6(cm).

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

11.如图，A2为圆。直径，P点在圆上，E点为AF中点，连接E。，作COLE。交圆。

于点C,作CDLAB于点D,已知直径为10,0£=4,求OD的长度.

【思路点拨】根据垂径定理得到OELAR由COLEO,得至l」OC〃AR即可得到/OAE

=ZCOD,然后通过证得△AEO之△ODC,证得CD=OE=4,然后根据勾股定理即可求

得OD.

【解析】解：点为中点，

OE±AF,

'：CO±EO,

：.OC//AF,

：.ZOAE=ZCOD,

'：CD.LAB,

：.ZAEO=ZODC,

在△AEO和△one中，

A/\AEO^/\ODC(AAS),

:.CD=OE=A,

•・・0C=5,

0D=Voc2-CD2==3.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，证得△AEO0△ODC得到cr>=4是解

题的关键.

题组B能力提升练

12.已知O。的半径为7,42是。。的弦，点尸在弦AB上.若B4=4,PB=6,则。P=

（）

A.A/14B.4C.V23D.5

【思路点拨】过点O作OC，AB于点C,连接。8,根据垂径定理可得AC=BC=5,所

以PC=PB-BC=1,根据勾股定理即可解决问题.

【解析】解：如图，过点。作0CLA2于点C,连接。2,

：B4=4,PB=6,

：.AB=PA+PB=IO,

'：OCLAB,

：.AC=BC=5,

：.PC=PB-BC=\,

在RtZiOBC中，根据勾股定理得：

0（？=OB1-BC2=12-52=24,

在Rtz^OPC中，根据勾股定理得：

OP={0C2+PC2=也4+1=5,

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理.

13.已知AB是。。的弦,半径OCLL48于点D.若DO=DC,AB=12,则。。的半径为（）

A.472B.473C.642D.6A/3

【思路点拨】连接。4、AC,如图，设O。的半径为厂，利用垂径定理得到4。=£>2=6,

在RtaOA。中利用勾股定理得到（工厂）2+62=/，然后解方程即可.

2

【解析】解：连接。4AC,如图，设O。的半径为r,

OCLAB,

.,.AD—DB=—AB=-X12=6,

22

在RtZXOA。中，；OD=CD=L,OA=r,AD=6,

2

(lr)2+62=J,

2

解得〃=4我，n=-4-73(舍去)，

...(DO的半径为4y.

【点睛】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也

考查了勾股定理.

14.如图，是O。的弦，AB长为8,P是。。上一个动点（不与A,B重合），过点。

作OCLAP于点C,ODLPB于点D,则CD的长为（）

【思路点拨】由。CLAP于点C,ODLPB于点D,利用垂径定理知C、。分别为AP、

BP的中点，CD是AABP的中位线，利用中位线的性质即可求出CD的长.

【解析】解：：OC_L4P,OD±PB,

J.AC^PC,BD=PD,

：.CD//AB,且C£)=」AB,

2

：4B=8,

：.CD=1.AB=4.

2

故选：D.

【点睛】本题考查垂径定理，三角形中位线，掌握垂径定理，三角形中位线，利用垂径

定理推出C、。分别为AP、2尸的中点，利用△ABP的中位线性质解决问题是关键.

15.已知OO的直径CD=10,A8是。。的弦，AB=8,且A8J_CQ,垂足为则AC的

长为（）

A.275B.475C.2遥或D.2百或4«

【思路点拨】连接04由根据垂径定理得到AM=4,再根据勾股定理计算出

OM=3,然后分类讨论：当如图1时，CM=8；当如图2时，CM=2,再利用勾股定理

分别计算即可.

【解析】解：连接。4,

,：AB1.CD,

：.AM=BM=^AB=1X8=4,

22

在Rt/XOAM中，0A=5,

°"=VOA2-AM2==3'

当如图1时，CM=OC+OM=5+3=S,

在Rt^ACM中，-C={AM2KM2==4泥;

当如图2时，CM=OC-OM=5-3=2,

在RtZXACM中，AC={AM2KM2==2心

图1图2

【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考

查了勾股定理.

16.把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16c〃z,AB长16c〃z,则球的

半径为（）

A.9B.10C.11D.12

【思路点拨】首先找到球心为。，过。点作COLAB于交连接。2,设02=尤，则

0D^16-x,BD=8,然后在直角三角形中利用勾股定理求得。2的长即可.

【解析】解：设球心为。，过。点作COLAB于。，交连接08,

设OB=x,则0D=16-x,BD=AD=S,

在直角三角形ODB中，BL^+MF2=OB2,

即：(16-x)2+82=X2,

解得：尤=10.

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造

直角三角形.

17.如图，AB是。。的直径，弦C£>交A3于点P,AP=4,BP=12,ZAPC=30°,则

CD的长为

【思路点拨】过。作O/LCD于/,连接OD,求出半径。。=。4=8,求出。尸，根据含

30度角的直角三角形的性质求出。/,根据勾股定理求出皿，根据垂径定理求出DI=CI,

再求出CD即可.

【解析】解：过。作。/_LC£）于/,连接O。，则/。/。=/。/尸=90°,

直径42=4+12=16,

即半径0。=。4=8,

；.OP=OA-AP=8-4=4,

'：ZIPO=ZAPC^30°,

.\OZ=AOP==2,

2

由勾股定理得：DI=Qp2_Qj2=^g2_22=2^/15>

■：OI±CD,0/过圆心O,

：.DI=CI=2y/~L5,

即CD=r>Z+C/=4715，

故答案为：4A/15-

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能

熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键.

18.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A,B,C.

(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)设△ABC是等腰三角形，底边8c=8cm,腰AB=5c%,求圆片的半径R.

【思路点拨】(1)作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心。；

(2)构建直角△BOE,利用勾股定理列方程可得结论.

【解析】解：(1)作法：分别作和AC的垂直平分线，设交点为。，则。为所求圆

的圆心；

(2)连接A。、BO,A。交2C于E,

\'AB=AC,

C.AELBC,

.•.BE=JLBC=AX8=4,

22

在RtZ\ABE中，4£=4/_/12==3,

设OO的半径为凡在RtZkBE。中，

OB1=BE1+OE1,

即Z?2=42+(R-3)2,

R=空，

6

答：圆片的半径R为里

6

【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，

要注意作图和解题中垂径定理的应用.

19.如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60机，拱高为18山，当洪水泛滥到跨度

只有30根时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4%即PN=4加时，

试通过计算说明是否需要采取紧急措施.

【思路点拨】由垂径定理可知A'N=B'N,利用A8=60,PM=18,可先求

得圆弧所在圆的半径，再计算当PN=4时A'B'的长度，与30米进行比较大小即可.

【解析】解：设圆弧所在圆的圆心为。，连接OA、OA1,设半径为x米，

则OA=OA'=OP,

由垂径定理可知A'N=B'N,

：AB=60米，

.,.AM=30米，且OM=OP-PM=(x-18)米，

在RtZXAOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2,

即/=(x-18)2+302,解得尤=34,

：.ON=OP-PN=34-4=30(米),

在Rtz\A'ON中，由勾股定理可得A'N=2-0N2=342-302=16(米),

：.A'B'=32米＞30米,

不需要采取紧急措施.

p

【点睛】本题主要考查垂径定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关

键，注意方程思想的应用.

20.如图，RtAABO,/。=90°,AO=®,BO=1,以。为圆心，02为半径的圆交A8

于点P,求PB的长.

【思路点拨】先根据勾股定理求出48的长，再过点。作。。于点。，根据相似三

角形的判定定理可知再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论.

【解析】解：：RtZ\ABO中，NAOB=90°,A0=®,BO=1,

*e,AB=V(OA)2+BO2=V(V2)2+12=M'

过点。作ODLAB于点D,则PB=2BD,

9

SMOR=—ABOD=—OB•OA

■\[6

解得0D=¥

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形

是解答此题的关键.

题组C培优拔尖练

21.0。的半径为10c〃z,弦A2〃Cr>,且43=12。，7,。=16。，2,则48和C。的距离为（）

A.1cmB.14cmC.2cm或14c»iD.10cm或20cMi

【思路点拨】分两种情况考虑：当圆心位于AB与CD之间时，连接04,OC,如图1所

示，过。作£F_L42,由AB〃C。，得到£F_LCD,利用垂径定理得到E、尸分别为A3、

CD的中点，分别求出OE与OF,由OE+OF即可得到EF的长；当圆心在A8与CQ一

侧时，连接04,OC,如图2所示，过。作EFJ_AB,由AB〃C。，得到EF_LCO,同理

求出OE与。孔由。E-0尸即可求出£尸的长.

【解析】解：当圆心位于A3与。之间时，连接。4,0C,如图1所示，

过。作EF_LAB,由A8〃CO,得到EELCD,

:.E、P分别为A3、CD的中点，

.'.AE—6cm,CF=8cm,

在RtAAOE中，OA=1Ocm,AE=6cm,

根据勾股定理得：0E=8cs,

在RtZXCO尸中，OC=10cm,CF=8cm,

根据勾股定理得到0F=6cm,

此时A8和CD的距离£F=8+6=14cm；

当圆心在43与CD一侧时，连接。4,0C,如图2所示,

过。作所L4B,由AB〃C。，得到£F_LCD,

同理求出0E=8cm,0F=6cm,

此时AB和CD的距离EF=8-6=2cm,

综上，AB和CD的距离为2cm或14c%

故选：C.

【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理

是解本题的关键.

22.如图，正方形A8CZ）和正方形8EFG的顶点分别在半圆。的直径和圆周上，若8G=4,

则半圆。的半径是（）

A.4+75B.9C.475D.642.

【思路点拨】连接OC,0F,设。B=x,则AB=BC=2无，在RtZ\8C0和Rt^FE。中利

用勾股定理列出等式计算X的值，进一步求出半径即可.

【解析】解:连接OC,OF,

设OB=x,

•..四边形4BCD是正方形且顶点。和