2024年中考数学《反比例函数及其应用》试题（含解析）

专题反比例函数及其应用（41题）

一、单选题

1.（2024•安徽•中考真题）已知反比例函数y=&（％/0）与一次函数y=2—x的图象的一个交点的横坐标为

X

3,则用的值为（）

A.-3B.—1C.1D.3

【答案】4

【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出夕=2-3=-1,代入反比例函数求

解即可

【详解】解：•••反比例函数？/=与一次函数？/=2—，的图象的一个交点的横坐标为3,

X

：.y=2—3=—1,

k=—3,

故选：A

2.（2024・重庆・中考真题）反比例函数9=—也的图象一定经过的点是（）

x

A.（1,10）B.（-2,5）C.（2,5）D.（2,8）

【答案】B

【分析】本题考查了求反比例函数值.熟练掌握求反比例函数值是解题的关键.分别将各选项的点坐标的

横坐标代入,求纵坐标,然后判断作答即可.

【详解】解:解:当，=1时，V=—7=—10,图象不经过（1,10）,故人不符合要求；

当①=—2时,y=―"■=5,图象一定经过（―2,5）,故B符合要求；

当/=2时，g=一学=一5，图象不经过（2,5），故。不符合要求；

当力=2时，g=一¥=一5，图象不经过（2,8）,故。不符合要求；

故选：R

3.（2024.天津.中考真题）若点4（如—1）,3（g,l）C（g,5）都在反比例函数沙=旦的图象上，则的大

x

小关系是（）

A.x1<x2<x3B.©〈,3VgC.23VgVciD.x2<x1<x3

【答案】B

【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小,根据反比例函数性质即可判断.

【详解】解：vA;=5>0,

反比例函数V=-的图象分布在第一、三象限，在每一象限夕随，的增大而减小，

X

•.•点B（a；2,l）,C（，3,5）,都在反比例函数g=&的图象上，1<5,

X

g>g>0•

V—1V0,A（Ti,—1）在反比例函数g=—的图象上，

x

61V0，

为VgVx2.

故选：R

4.（2024.广西.中考真题）已知点河（g,仇）,Ngy2）在反比例函数9=2的图象上，若gV0Vg，则有

X

（）

A.<0<y2B.y2<0<y!C.y1<y2<0D.0<yi<y2

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.根据点

河（如依），N@,必）在反比例函数图象上，则满足关系式？/="|,横纵坐标的积等于2,结合电<（）<◎即

可得出答案.

【详解】解：：点M（g,?A）,N（g,纺）在反比例函数9=2的图象上，

X

••xilJi—2，62纺=2,

*.*iiVOV力2，

%V°，纺>0，

・•・%vov纺.

故选：A.

5.（2024.浙江・中考真题）反比例函数y=2的图象上有阴），QH+4,纳）两点.下列正确的选项是

X

（）

A.当方<-4时，为<%<0B.当-4<t<0时，纳〈阴〈0

C.当一4VtV0时D.当t>0时，0<%<纺

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数沙=《，可知函数位于一、三象限，

分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出仇与统的大小.

【详解】解:根据反比例函数9=匹，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，夕都是随着土的增大而

X

减小，

反比例函数g=匹的图象上有的），Q（t+4,%）两点，

X

当±Vt+4V0,即t<—4时，0>阴>纺；

当tVOVQ+4,即一4VtV0时，%V0V纺;

当OVtVt+4,即t>0时，阴>纺>0；

故选：4

6.（2024.河北・中考真题）节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电/度，则能

使用?/天.下列说法错误的是（）

A.若c=5,则9=100B.若"=125,则2=4

C.若必减小，则"也减小D.若c减小一半，则v增大一倍

【答案】。

【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可.

【详解】解：；淇淇家计划购买500度电，平均每天用电。度,能使用y天.

：.xy=500,

,_500

••y——，

X

当力=5时，g=100,故A不符合题意；

当沙=125时，,=黑=4,故B不符合题意；

•.•力>0,g>0,

.•.当，减小，则U增大，故。符合题意；

若x减小一半,则y增大一倍，表述正确,故D不符合题意；

故选：C.

7.（2024.四川泸州.中考真题）已知关于，的一元二次方程x2+2x+l-k=Q无实数根，则函数沙=for与函

数沙=2的图象交点个数为（）

x

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象.首先根据一元二次方程无实数根确定k

的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置.

【详解】解：•••方程川+2x+l—k=0无实数根,

A=4—4（1—A;）<0,

解得：k<0,则函数U=的图象过二，四象限，

而函数y=2的图象过一，三象限，

X

：.函数g=与函数g=2的图象不会相交,则交点个数为0,

X

故选：4•M

8.（2024・重庆・中考真题）已知点（一3,2）在反比例函数=的图象上，则k的值为（）

X

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】。

【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把（—3,2）代入“=?（A#0）求解即可.

【详解】解:把（一3,2）代入夕=反（用/0）,得

X

k=—3X2=-6.

故选

9.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）矩形OA4C在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数y=及的图

X

象与AB边交于点。，与AC边交于点F,与交于点E,OE=2AE,若四边形OCL4F的面积为2,则k的

2R3

AB•石C—D

55-t

【答案】。

【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质;

熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键.

k，由△OME〜△OC4,可得47=斗旦,再由

过点E作EM_LOC,则EMUAC,设4Q,一OC=^-a,

a22a

S矩形OBAC~S^OBD+S^ocF+S四边形ODAF，列方程，即可得出k的值.

【详解】过点E作矶则

△OWE〜△OCA,

.OM=EM=OE

'~OC~~AC~~OA

设E（a/）,

\af

,：OE=2AE

.OM=EM=2

■*OC~~AC~~3

OC=1~a,40=1

33k

,*•S矩形OBAC-S^OBD+S^OCF+S四边形OOAF=5a~2~a

即告+得+2=取.得.£解得:仁春

故选。

10.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）如图,双曲线沙=”（力＞。）经过4B两点，连接04、过点石作

x

轴,垂足为0,3。交。4于点E,且E为49的中点，则△AEB的面积是（）

C.3D.2.5

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点人作垂足为F，设

A（a,"），证明乙4国〜△ODE,有桨=栗=等，根据E为4。的中点，可得AF=OD,EF=DE,

\afODOEDE

进而有所=。£=《。歹=《£1,AF=OD=!%!=6,可得以=。。=@，g?=2a,则有BE=BD—OE

222aa

=*z,问题随之得解.

【详解】如图，过点人作AFLBD,垂足为F,

设A^a,——^,a>0,

•••BD_Lv轴，AF±BD,

：.AF//y^,DF=a,

/\AFE〜LODE,

.AF=AE=EF

"~OD~~OE~^E

为49的中点，

:.AE=OE,

,AF=AEEF

''~OD~~OE~~DE~'

AF=OD,EF=DE

：.EF=DE=±DF=《Q,AF=OD=^-y=—,

222aA

,«*OD—yB，

二理=。。=旦，

a

••XQ--2Q,•••

/.BD=xB=2a,

:.BE=BD-DE=*a,

i16Rq

SMBE=5xAFxBE=x—x--a———4.5,

ZJ/a//

故选：A.

11.（2024.江苏扬州.中考真题）在平面直角坐标系中，函数V二一彳的图像与坐标轴的交点个数是（）

x-r2

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根据函数表达式计算当C=0时?/的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于我的值不可能为0,

力+2

即9r0,因此图像与土轴没有交点，由此即可得解.

本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键.

【详解】当力=0时,y=-1-=2,

••.沙=一3与沙轴的交点为（0,2）；

力+2

由于一y-z-是分式，且当2时，一7—W0,即gW。，

力+2力+2

・•.y=-7?与x轴没有交点.

力+2

工函数g=的图像与坐标轴的交点个数是1个，

力+2

故选：B.

12.（2024.吉林长春・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点,点4（4,2）在函数y=

2代＞0避＞0）的图象上.将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与"轴交于点B,与函数y=

X

&O＞0,，＞0）的图象交于点C.若则点B的坐标是（）

X

A.(0,V5)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,275)

【答案】B

【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关

键.

如图:过点A作①轴的垂线交a;轴于点E,过点。作,轴的垂线交y轴于点。，先根据点4坐标计算出

sin/OAE、k值，再根据平移、平行线的性质证明ZDBC=/OAE,进而根据sin/DBC=袈=

sin/OAE求出CD,最后代入反比例函数解析式取得点。的坐标，进而确定CD=2,00=4,再运用勾股

定理求得BD,进而求得OB即可解答.

【详解】解:如图，过点人作，轴的垂线交c轴于点E,过点。作9轴的垂线交y轴于点。，则AE〃沙轴，

,•,>1(4,2),

；.OE=4,OA=V22+42=2V5,

OE

sinZOAE=

OA

VA(4,2)在反比例函数的图象上,

，k=4x2=8.

・・・将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC,

・・.OA//BC,

・•.ZOAE=ZBOA,

・・・AE〃g轴，

・・・4DBC=/BOA,

・・・/DBC=/OAE,

：.sinZDBC=-^-=sinZOAE=-^-V5,

5

.CD胃用解得：8=2,即点C的横坐标为2,

F

将力=2代入g=图■，得g=4,

x

・・.C点的坐标为(2,4),

:・CD=2,OD=4,

：.BD=y/BC2-CD2=l,

AOB=OB-BZ)=4-1=3,

.-.B(0,3)

故选：B.

13.(2024•四川宜宾•中考真题)如图，等腰三角形AB。中，=AC,反比例函数y=j狂0)的图象经过点

及AC的中点M.BCV/c轴，4B与夕轴交于点N.则第的值为()

•M

【答案】B

【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间

的关系是解题的关键.

作辅助线如图,利用函数表达式设出A、8两点的坐标，利用。，”是中点，找到坐标之间的关系,利用平行

线分线段成比例定理即可求得结果.

【详解】解:作过人作BC的垂线垂足为D,BC与y轴交于E点,如图,

在等腰三角形ABC中，40，BC,。是BC中点，

设4若）,砚都

由BC中点为。，4B=AC,故等腰三角形ABC中，

BD=DC=a—b,

•••AC的中点为

，即（丁,,

由朋■在反比例函数上得wf丝3,尊

23a^

12

.fc(a+b)=k

“2ab—3a—b'

2

解得：b=-3Q,

由题可知，AD〃NE,

.AN_DE_a_a_1

…ABBDa—bQ+3Q4'

故选：R

二、填空题

14.（2024.北京・中考真题）在平面直角坐标系，中，若函数夕=旦（上/0）的图象经过点（3,%）和（一3,%）,则

X

yi+Vi的值是.

【答案】0

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是

解题的关键.

将点（3,yi）和（—3,7/2）代入夕=&狂0），求得功和纺，再相加即可.

X

【详解】解：•.•函数夕=总代力0）的图象经过点（3加和（—3,%）,

X

.后kk

••有%=M'"2=一百，

・・%+U2=W1=0，

oo

故答案为：0.

15.（2024.云南・中考真题）已知点P（2,n）在反比例函数y=^~的图象上，则九=

X------

【答案】5

【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点P（2,rz）代入沙=也求值，即可解题.

X

【详解】解：•••点P（2,九）在反比例函数沙=犯的图象上，

X

.10口

故答案为：5.

16.（2024•山东威海・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，直线"=g+/aW0）与双曲线队=旦0/0）交

X

【答案】—IWrcCO或2：>2

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是

解题的关键.

【详解】解：由图象可得，当一LW，V0或2>2时，明《统，

二满足％的，的取值范围为一1W/V0或2>2,

故答案为：-14,<0或，>2.

17.（2024.湖南・中考真题）在一定条件下,乐器中弦振动的频率/与弦长I成反比例关系，即/=y（fc为常数.

府/0）,若某乐器的弦长Z为0.9米,振动频率/为200赫兹,则k的值为.

【答案】180•M

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把Z=0.9,/=200代入/=彳求解即可.

【详解】解:把Z=0.9,/=200代入片多，得200=3，

IU.9

解得k=180,

故答案为：180.

18.（2024・陕西中考真题）已知点4（—2,%）和点B（如必）均在反比例函数9=—，的图象上，若0Vm<l,则

yi+y20.

【答案】</小于

【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出纳=春，%=—包,再根据0<小<1,得出例<—5,最后

2m

求出m+y2Vo即可.

【详解】解：•••点4—2,%）和点Bg,%）均在反比例函数y=—立的图象上，

X

,_55

・・91=丁'纺=----，

2m

*.*0<m<1,

•e•V2V—5,

・'%+g2Vo.

故答案为：<.

19.（2024.湖北武汉.中考真题）某反比例函数v=2具有下列性质：当2>0时，夕随2的增大而减小,写出一

X

个满足条件的k的值是.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查的是反比例函数的性质,反比例函数的图象是双曲线，当％>0,双曲线的两支分别位于第

一、第三象限,在每一象限内y随C的增大而减小，当七<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一

象限内V随力的增大而增大.直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可.

【详解】解：••・当Q0时，夕随2的增大而减小，

A;>0

故答案为：1（答案不唯一）.

20.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）如图，反比例函数沙=&Q<0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点

X

A,。。在c轴上,若点5（-1,3）,SaABCO=3,则实数k的值为.

【答案】-6•••

【分析】本题考查了反比例函数，根据AB的纵坐标相同以及点A在反比例函数上得到A的坐标，进而用代

数式表达AB的长度，然后根据S口ABCO=3列出一元一次方程求解即可.

【详解】AB8是平行四边形

/.A纵坐标相同

•••3（—1,3）

A的纵坐标是3

•••4在反比例函数图象上

将夕=3代入函数中，得到c=与

.•・呜,3）

\^B\=-1—专

VS口ABC。=3,B的纵坐标为3

A\AB\x3=3

即：（-l-y）x3=3

解得：k=-6

故答案为：—6.

21.（2024.内蒙古包头•中考真题）若反比例函数%=（，纳=—弓，当时，函数%的最大值是a,函数

统的最大值是b,则ab=______.

【答案】十/0.5

【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幕，正确得出a与b的关系是解题关键.直接利用

反比例函数的性质分别得出a与b,再代入d进而得出答案.

【详解】解：•.•函数%=2,当时，函数仍随力的增大而减小,最大值为a,

X

・，・/=1时，％=2=a,

•/V2———，当1&力&3时，函数仍随力的增大而减大，函数统的最大值为纺=一1=b,

x

.•,afe=2-1=y.

故答案为:

22.（2024・四川遂宁•中考真题）反比例函数夕=任工的图象在第一、三象限，则点（m-3）在第象限.

X------

【答案】四/4

【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限,根据反比例函数的性质得出后＞1,进而即可求解.

【详解】解：•••反比例函数沙二”1的图象在第一、三象限，•••

/.k-1>0

fc>1

点（fc,—3）在第四象限,

故答案为：四.

23.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,0）,点B在反比例函数y=

X

>0）的图像上，BC，，轴于点C,ABAC=30°,将△ABC沿AB翻折，若点。的对应点D落在该反比例

函数的图像上，则k的值为

【答案】2犯

【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键.

如图，过点。作DEL2轴于点区根据/64。=30°,3。，2,设3。=£1,则人。=入。=，5&,由对称可

知人。=AD,/DAB=ABAC=30°,即可得AE=乎a,DE="la,解得B（1+区,a）,

+卓见方力,根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上,即可列方程求解；

【详解】解:如图，过点。作。E，c轴于点E.

•.•点A的坐标为（1,0）,

:.OA—1,

・・・/A4C=30°,B。，力轴，

设BC=a，则AD=AC=—二°。=瓜Q,

tan30

由对称可知4c=40,ZZMB=ZBAC=30°,

・・.ADAC=60°,AADE=30°,

/.AE—，DE=AZ)-sin60°=,

.8(1+A/3O-,，

,・,点_B的对应点。落在该反比例函数的图像上,

/.k—a(l+•(1+Q)，

解得：a=2g,

o

•.•反比例函数图象在第一象限,

k=-33（1+X=2A/3,

故答案为：2遍.

24.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点4B的坐标分别为（5,0）,（2,6）,过点B

作BCHx轴交y轴于点。，点O为线段4B上的一点，且BD=2AD.反比例函数y=左（2>0）的图象经

x

过点D交线段BC于点E,则四边形ODBE的面积是.

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数%的几何

意义，作，立轴于河，作DN，/轴于N,则DN//■，由点A,B的坐标分别为（5,0）,（2,6）得BC=

OM=2,BM=OC=6,AW=3,然后证明AADN〜△ABM得空1=坐r=嘴，求出DN=2,则ON

BMAMAB

=OA-AN=4,故有D点坐标为（4,2）,求出反比例函数解析式沙=*再求出同。6）,最后根据

S四边形ODBE=S^oABC-S^OCE-S^OAD即可求解,熟练掌握知识点的应用是解题的关键•

【详解】如图，作BM±X轴于作DNA.X轴于N,则DN//BM,

•.•点4,5的坐标分别为（5,0）,（2,6）,

BC=OM=2,BM—OC=6,AM=3,

•：DN//BMf

：.LADN〜AABM,

.DN=AN=AD

**BM~AM~~AB"

•；BD=2AD,

.DN_AN_1

:,DN=2,AN=1,

：.ON=OA-AN=4：,

.•.D点坐标为（4⑵，代入沙=，得，k=2x4=8,

.•.反比例函数解析式为?/=旦，

X

•••BCV/rc轴，•••

.•.点E与点B纵坐标相等,且右在反比例函数图象上，

E号,6),

•,•侬=,，

0

x

S四边形"BE=S梯形0ABe—S^OCE—S^oAD=^~X(2+5)X66xx5x2=12,

故答案为：12.

25.(2024.四川广元・中考真题)已知g=与沙=旦(力＞0)的图象交于点4(2,馆)，点石为g轴上一点，将

x

△O4B沿04翻折，使点B恰好落在沙二"(力＞0)上点。处，则8点坐标为.

x------

【答案】(0,4)

【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质,解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质

内容是解题的关键.先得出4(2,26)以及g=手伽＞0),根据解直角三角形得/1=30°,根据折叠性

质，/3=30°,然后根据勾股定理进行列式，即OB=OC=J(2v^y+22=4.

【详解】解：如图所示:过点人作，夕轴，过点。作CD，c轴,

,:y=通工与y=~^(①＞Q)的图象交于点4(2,771),

把代入g/，得出m=V3X2=2A/3，

AA(2,2V3),

把4(2,2，^)代入g=:■(/>()),

解得k=2义2盗=4^后，

y=4f(力>0),

设。(m,生③)，

1m/

在RtdAHO,tan/I=个%=——pr=~~~，

OH2A/33

.-.Zl=30°,

・・,点石为g轴上一点，将△O4B沿04翻折，•••

/2=/l=30°,OC=OB,

：.Z3=90°-Zl-Z2=30°,

4V1

则隽=tan/3=W=q,

OD3m

解得?71=2遍（负值已舍去），

.­.（7（273,2）,

OB=OC=7（2^3）2+22=4,

.,.点B的坐标为（0,4）,

故答案为：（0,4）.

26.（2024•广东深圳・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tanZAOC=今,且点A落

O

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数;过点A、B作工轴的垂线，垂足分别为D、E,然

后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得A（1-,2）,OA=-1,再求得点B（4,2）,利用待定系数法求解即

可.

【详解】解:过点A、B作立轴的垂线，垂足分别为。、夙如图，

tanZA0（7=得,

O

,AD_4

**OD--3J

设AD=4Q,则OD—3Q,

••点4（3。，4Q）,

•・,点A在反比例函数0=1■上,

3a，4a=3,

3

・・・4D=2,=

OA=^OD2+AD2=-|-,

•.•四边形AOCB为菱形，

AB=OA=AB〃CO,

・,•点B(4,2),

•・•点B落在反比例函数9=?(狂0)上,

.二k=4x2=8,

故答案为：8.

27.(2024.广东广州.中考真题)如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数V二冬侬〉。)的图

X

象上，4(1,0),C(O,2).将线段AB沿X轴正方向平移得线段40(点A平移后的对应点为4),交函

数沙=反3>0)的图象于点。，过点。作。£_1_夕轴于点E,则下列结论：

x

①卜=2；

②△QBD的面积等于四边形ABDA的面积;

③HE的最小值是，

其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)

【答案】①②④

【分析】由B(1,2),可得A;=1X2=2,故①符合题意；如图,连接。B,OD,B。，OD与4B的交点为K,利

用k的几何意义可得△OBD的面积等于四边形ABDA的面积；故②符合题意；如图，连接HE,证明四边

形A'DEO为矩形，可得当OD最小,则A'E最小，设。(①,2)(，>0),可得A'E的最小值为2，故③不符合题

意;如图,设平移距离为外,可得H(n+1,2),证明,可得AB'BD=AB'OA!,再进一步可

得答案.

【详解】解：•••41,0),C(0,2),四边形OABC是矩形;

.-.5(1,2),

fc=1x2=2,故①符合题意；2

如图，连接OB,OD,BD,与4B的交点为K,05

•'SAAOB=4X2=1，

SABOK=S四边形

SWOK+S^BKD~S四边形4KD4,+S^BKD，

・・・/\OBD的面积等于四边形ABDA的面积；故②符合题意；

如图，连接4石，

•・,DE_Lg轴，ADAO=/EOA=90°,

・・・四边形4OEO为矩形，

・・.AE=OD,

・••当OD最小，则4E最小，

设。(力,2)(力>o),

\xf

OD1—x2—nr>2•6，——4，

x2x

・・・OD>2,

・・・AE的最小值为2，故③不符合题意；

如图，设平移距离为九，

Br(ri~i~1,2)9

反比例函数为?/=2,四边形A'B'CO为矩形，

X

：.NBB'D=NOA'B'=90°,),

\n+1)

9977

:,BB'=n,O4=n+1,B'O=2——=4曰二2,

n+1n+1

2九

.BB'_n_n+1_BrD

a，OAf~n+l~2~ABr'

・・・〜4AOB,

：.ABrBD=ABfOAf,

・・•BfC//AfO,

・•.ACB,O=AAOB,,

・・・ABfBD=/班。，故④符合题意；

故答案为:①②④

【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.

28.（2024・四川乐山•中考真题）定义:函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的

“近轴点”.例如，点（0,1）是函数《=2+1图象的“近轴点”.

（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；•••

①y=—x+3；②g=2；③g=—2+2x-l.

xx

(2)若一次函数g=mx-3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为.

【答案】③一V0或0

【分析】本题主要考查了新定义--“近轴点”.正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函

数图象上点的坐标特点,是解决问题的关键.

(1)①g=—力+3中，取力=。=1.5,不存在“近轴点”；

②g=2,由对称性，取力=。=±2,不存在“近轴点，，；

x

@y=-x2-\-2x—l=—(⑦一1)2,取力=1时，0,得到(1,0)是g=—/+2%-1的“近轴点”；

(2)?/=mx—3m=m(x—3)图象恒过点(3,0),当直线过(1,—1)时，馆=,,得到0V山＜］；当直线过

(1,1)时，m——得到—"

【详解】⑴①片-。+3中，

x—1.5时，g=1.5,

不存在“近轴点”；

②?=2,

X

由对称性，当/=^时，/=9=±V2,

不存在“近轴点”；

(3)y=-/+2/一1二—(re—I)2,

力=1时，n=u,

(1,0)是g=T+2力-1的“近轴点”；

・・.上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③

故答案为:③；

⑵g=mx—3m=m(j;-3)中，

力=3时，g=。，

・・・图象恒过点(3,0),

当直线过(1,—1)时，—1=771(1—3),

.-X

"m~2'

工0V7714；

当直线过(1,1)时，1=771(1—3),

•••山二/，

•••

---W771<0；

，?71的取值范围为一^4771<0或0〈?714£.

故答案为：一^4771<0或0〈?714^~.

三、解答题

29.(2024・甘肃・中考真题)如图,在平面直角坐标系中，将函数？/=a。的图象向上平移3个单位长度，得到一次

函数V=ac+b的图象，与反比例函数y=?(2>0)的图象交于点4(2,4).过点B(O,2)作2轴的平行线

分别交夕=a;r+6与y=](2>0)的图象于C,。两点.

(1)求一次函数y=ax+b和反比例函数y=—的表达式；

x

(2)连接AD,求AACD的面积.

【答案】⑴一次函数夕=aa;+b的解析式为夕=*;+3；反比例函数,=&(,>0)的解析式为歹=

1x

(2)6

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：

(1)先根据一次函数图象的平移规律y=ax+b=aH+3,再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式

和反比例函数解析式中,利用待定系数法求解即可；

(2)先分别求出C、D的坐标，进而求出CD的长，再根据三角形面积计算公式求解即可.

【详解】(1)解：•.•将函数9=ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数?/=at+b的图象，

：.y—ax-\-b—ax

把y1(2,4)代入。=QN+3中得：20+3=4,解得°=4，•••

一次函数y=ax+b的解析式为y=ya:+3；

把42,4)代入夕=~!(,>0)中得：4=号0>0),解得k=8,

反比例函数y=^3>0)的解析式为夕=&(，>0)；

xx

⑵解：•••3。〃加轴，3(0,2),

.•.点。和点D的纵坐标都为2,

在y=-^-x+3中，当y=-^-x+3=2时，a;=—2,即(7(—2,2)；

在夕=旦(t>0)中，当沙=旦=2时，t=4,即£)(4,2)；

.-.C!D=4-(-2)=6,

VA(2,4),

8^0)=^-CD-(yA-yc)=yx6x(4-2)=6.

包的图象相交于

30.(2024•青海・中考真题)如图,在同一直角坐标系中，一次函数?/=—c+6和反比例函数3=

X

点A(l,m),B(n,l).

⑴求点4点B的坐标及一次函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出不等式