全等三角形综合检测过关卷-2024年中考数学一轮复习

专题12全等三角形综合过关检测

（考试时间：120分钟，试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷共6页，全卷满分120分。考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、

考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。

4.作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗。

一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。每小题给出的四个选项中?有1个选项符合题意）。

1.如图，已知VNOC到。08,则下列结论错误的是（）

A.AC=OBB.OA=ODC.ZC=Z5D.ZAOC=ZDOB

【答案】A

【分析】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关

键.全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可.

【详解】解：••,V/OC义VDO5,

；•/C和是对应角，N/OC和NDO5是对应角，CM和QD是对应边；

故B,C,D正确，不符合题意；

而/C与03不是对应边，故A不正确，符合题意；

故选：A.

2.已知△N8C之△。或乙春8c的周长为24,若幺B=IQ,EF=8,/C的长是（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得的长，从而可解答.

【详解】解：：△NBC^ADEF,

BC=EF=8,

；“3C的周长为24,若N3=10,

NC=24-10-8=6.

故选:B.

3.三角形三边的垂直平分线的交点（）

A.到三角形三边的距离相等B.到三角形三个顶点的距离相等

C.到三角形三个顶点与三条边的距离都相等D.不能确定

【答案】B

【解析】略

4.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明9=44（加的依据是（）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键在于掌握判定定理.

根据图形的画法可得知相等线段，再根据全等三角形的判定和性质，即可得出答案.

【详解】解：由作法易得OC=O'C,CD=C'D'

根据三角形全等的条件SSS可判定△CO。也△CO。.

所以：ZA'O'B'^ZAOB.

故选：B.

5.如图，4。是小8C的边3C上的中线，AB=T,AD=5,则NC的取值范围为（）

C.3<AC<11D.5<NC<17

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系.延长/。至E,使得=连

接CE,证明△科。丝AEO,可得NB=CE=7,再根据三角形的三边关系，即可求解.

【详解】解：延长/。至E,使得。£=仞，连接CE,

•.・3是ANBC的边5c上的中线，

,BD=CD,

ZADB=NEDC,

:.AABGAECD（SAS）,

AB=CE=7,

AD=5,

:.AE=10,

在AT!£C中，AE-CE<AC<AE+CE,

即10-7</C<10+7,

3<^C<17.

故选：C

6.如图，在A?18C中，ABAC=90°,NO是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点、G,交BE于

点、H,给出以下结论：①S.E=SMCE；@^AFG=ZAGF；③/尸4G=2ZACF；@BH=CH；

⑤AC:AF=BC:BF.其中结论正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据角平分线平分角以及等角的余角相等，

即可判断；③根据角平分线平分角以及同角的余角相等，即可判断；④根据等腰三角的判定方法即可判断;

⑤过点F作EW，8c于点/W,根据角平分线性质得出/尸=尸〃，根据2死尸•月尸即可

作出判断.

【详解】解：是中线，

AE=CE,

:-S△咫E=S最CE（等底等高的两个三角形面积相等），故①正确；

•；c户是角平分线，

NACB=2ZBCF=2ZACF,

,•*AD是高,

：.ZADB=ZADC=90°,

•・•ABAC=90°,ZAFG=90°-ZACF,ZAGF=ZDGC=90°-/BCF,

・•.ZAFG=ZAGF,故②正确；

・.・ZFAG=90°-ZABC,ZACB=90°-ZABC,

：・NFAG=NACB=2NACF,故③正确；

•・•连接如图，

・・•DE为Rt^ADC的斜边4C的中线，

：.DE=EC,

：.AEDC=ZACD=2ZHCD,

・.,ZEDC=/DBE+/DEB,

・•・只有当。E=时，/DBE=/DEB,此时=

・•・AC=IDE=2DB,

条件中不能确定AC=2DB,

：.BH=CH不成立,故④错误；

⑤过点产作W_L5C于点V,如图所示:

・・・。尸平分//。8,ZCAF=90°,

：.AF=FM,

'：s„=-BC-FM=-BF-AC,

“BCrFP22

...BC-AF=BF-AC,

：.AC:AF=BC:BF,故⑤正确；

综上分析可知，正确的个数为4个.

故选：C.

【点睛】此题考查了三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理，角平分线性质等知识，解题

的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理.

二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置上）

7.如图，公4BC沿△DEF,BC=7,EC=4,则CF的长为.

【答案】3

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到EF=3C=7,再根据线段之

间的关系可得答案.

【详解】解：:八ABC四LDEF,BC=1,

：.EF=BC=1,

'：EC=4,

：.CF=EF-EC=3,

故答案为：3.

8.如图，AB=AD,现添加"C3=CD",则判定△/8C之入4。。的直接依据是.

A

C

【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键.

【详解】解：VAB=AD,CB=CD,AC=AC,

判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形

故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形

9.如图，在x、y轴上分别截取OB,使再分别以点2为圆心，以大于;48的长度为半

径画弧，两弧交于点C.若C的坐标为(3a,2a+10),则。=.

外

叫¥

~01)

【答案】10

【分析】题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，根据作图方法可知点C在

/80Z的角平分线上，由角平分线的性质可知点C到X轴和〉轴的距离相等是解题的关键.

【详解】解：分别以点48为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点C,

...点C在/8CU的角平分线上，

...点C到x轴和y轴的距离相等，

又♦..点。在第一象限，点C的坐标为(3a,2a+10),

3。=2。+10,

a=10.

故答案为：10.

10.如图，AD平分/BAC,CD=3cm,则点。到48的距离为cm.

c

D

【答案】3

【分析】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.过。点作

DE上AB于点、E,根据角平分线的性质定理得出CD=DE,代入求出即可.

【详解】如图，过。点作于点£,则。£即为所求，

ZC=90°,AD平分NBAC,

ACD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），

CD=3cm,

DE=3cm.

故答案为：3.

11.如图，在中，OE直平分3C,AB=S,/C=14,则△48。的周长为.

【分析】先根据垂直平分线的性质可得3D=DC,然后根据三角形的周长公式和等量代换可得△力助的周

长等于/8+NC即可解答.本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的

距离相等是解答本题的关键.

【详解】解：垂直平分3C,

BD=DC,

，△/助的周长等于++a-14=22.

故答案为：22.

12.如图，A4BC中，AB=AC,/A4c=90。，点。是斜边BC的中点，点D在射线A4上运动，点E在射

线NC上运动，且OD_LOE,若BD=a,CE=b,则NC的长为.

【答案】6或a-6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点。在线段上

时，当点。在A4的延长线上时，证明△/（?£丝△BOZ）,得出5D=/E,结合图形，即可求解.

【详解】解：当点。在线段上时，如图所示，连接/。,

中，4B=AC,NR4c=90。，点。是斜边BC的中点,

ZOAE=ZB=45°,AO=BO,AOIBC

又：OZ)_LOE,

：.ZAOD+ZAOE=90°,

'：AO1BC

：.ZBOD+ZAOD=90°,

ZAOE=ZBOD,

,AAOE之A8OD(ASA)

BD=AE,

'：BD=a,CE=b,

：.AC=AE+EC=a+b；

当点。在A4的延长线上时，如图所示

D

A

BO

E

同理可得△/<?£1，

则皮)=/£

AC=AE—EC=a—b

故答案为：6或

13.如图，/B=12mC4L/B于4刀反L4g于5,且4。=4m上点从5向A运动，每分钟走Im,。点从8向。运

动,每分钟走2m『、0两点同时出发，运动分钟后，KAP与八PQB全等.

D

Q

c

、、/匚

APB

【答案】4

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质.设运动x分钟后AC/P与XPQB全等，则

BP^xm,BQ=2xm,AP=(12-x)m,分两种情况，结合全等三角形的性质，即可求解.

【详解】解：•.(4于4DBL4B于3

//=ZB=90°

设运动x分钟后AC*与APQB全等，则8PJP=(12-x)m

分类讨论:

(1)若AP=/C=4则x=4

：.AP=n-^=8乃2=8,AP=BQ,

尸30(SAS)；

(2)若BP=AP,贝l]12-x=x

解得：x=6

:.BQ=\^AC

此时AC4P与APQB不全等；

综上所述：运动4分钟后与-QB全等；

故答案为4

14.如图，已知，44=90。,/2=/。,。0是//3。的平分线，且CE_LBD交的延长线于点E.若CE=4,

则线段8。长为.

【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.延长CE

与胡的延长线相交于点尸，利用ASA证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可.

【详解】证明：如图，延长CE与的延长线相交于点

•;NEBF+NF=90°,ZACF+ZF=90°,

ZEBF=ZACF,

在和尸中，

ZEBF=NACF

<AB=AC,

NBAC=NCAF

/XABD^AACF(ASA),

BD=CF,

Q8。是/4BC的平分线，

ZEBC=ZEBF.

在和△3FE中，

/EBC=/EBF

<BE=BE,

ZCEB=/FEB

△BCEdBFE(ASA),

:.CE=EF,

:.CF=2CE,

BD=CF=ICE=8.

故答案为：8.

15.如图，在“5C中，ABAC=90°,AB=AC,5C=2.点。在BC上且BQ：CQ=1：3.连接线段40

绕点4顺时针旋转90。得到线段力£,连接BE,DE.则△①汨的面积是.

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出4。=/瓦ZDAE=9(f,

再根据SAS证明之得出NC=N/3£=45。，CD=BE,得出/助。=90。，再根据三角形的面

积公式即可求解.

【详解】解：,・•线段4。绕点4顺时针旋转90。得到线段/E,

AD=AE,ZDAE=9(T,

NEAB+NBAD=90。,

在AASC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ABAD+ACAD=9(T,/C=/ABC=45°,

/EAB=ZCAD,

：.Z\EAB也△ZX4C(SAS),

:・/C=/ABE=45。,CD=BE,

：.ZEBC=ZEBA+/ABC=9cp,

VBC=2,BDxCD=13,

13

BD=~,CD=BE=~,

22

11133

S.BDE=-BD-BE=-X-X-=-

,血22228

故选:B.

16.如图，在"BC中，AB=AC=12,NA4C=120。，D是边上一动点，以CD为边作正ACAE,则邑B°E

最大="

【答案】9G

【分析】过点E作环，A4交A4于点凡在。尸取点G,使DG=AC,连接EG,设=X,贝1］助=12-尤，

证明ADEGm△C4。，可得EG=/O=X,/0GE=/R4C=12O。，从而得到.=且工，然后三角形的面积公

2

式可得&皿=；(12r)x*=——67+96,即可求解.

【详解】解：如图，过点E作环_LA4交氏4于点凡在。月上取点G,使DG=AC,连接£G,

设4D=%,贝1|30=12-x,

△CDE是等边三角形，

CD=DE,ZCDE=ZDCE=60°,

・•.ZEDG+ZADC=60P,

・・•ZBAC=nQ0,

：.ZADC+ZACD=18CP-12(F=60P,

・•・ZEDG=ZACD,

在△DEG和D中，

•:CD=DE,ZEDG=ZACD,DG=AC,

AADEG^ACDA(SAS),

EG=AD=x,NDGE=ZBAC=120°,

ZEGF=60°,

・•・/G£尸=30。，

FG=-EG=-x,

22

・“百

・・Er=—x,

2

•••S.BDE=^BDXEF=g42-刈x(x=x-6)2+^3,

二当X=6时，S&BDE最大,最大值为9G.

故答案为：9A/3

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，根

据题意得到ADEGaCAD是解题的关键.

三、解答题(本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤)。

17.如图，E、尸为ZC上两点，AE=CF,AD=CB,BE=DF,求证：44DF沿ACBE.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.根据题意得出

AF=CE,即可求解.

【详解】AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

在尸和△CBE中,

AF=CE

<AD=CB

BE=DF

:.AADFACBE'SSS).

18.如图，在RtA/BC和RLUDE中，NB=ND=9Q°,AC=AE,BC=DE,延长BC,DE交于点M.

(1)求证：点A在/M的平分线上；

(2)若AC〃DM,AB=U,8M=18,求3c的长.

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理；

(1)连接证明RM48c2Rt"Z)E(HL),可得=根据角平分线的判定即可解决问题;

(2)证明CM=/C,设3C=x,所以CM=NC=18-x,根据勾股定理即可解决问题.

【详解】(1)证明：如图，连接/Af,

在RtAyiSC和中，

ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,

.•.Rt"BgRtA4DE(HL),

/.AB=AD,

­.•ABLBM,ADLDM,

,MA平分/BMD,

.,.点A在NBMD的平分线上；

(2)解：AC//DM,

NCAM=NAMD,

ZAMB=ZCAM,

CM=AC,

设3C=x,

:.CM=AC=lS-x,

在RtA43C中，AB2+BC2=AC2,

.-.122+X2=(18-%)2,

..x-5.

BC=5.

19.如图，在中，是8c边上的中线,CE_L/D于点£,_LND交/。的延长线于点尸.

(1)求证：CE=BF；

(2)若AE+AF=16,求ND的长.

【答案】⑴见解析

(2)8

【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形(44S)综合，根据条件写全步骤是解决本题

的关键.

(1)中线可得3Z)=CD,通过两个垂直可以判断两个角都为90。，还有对顶角，通过(44S)即可证明两个三

角形全等，进而得证.

(2)通过观察可发现/£+/尸根据(1)中的全等可拆分为22。，从而得出答案.

【详解】(1)证明：是BC的边上的中线，

BD=CD,

'：CELAD,BFLAD,

ZBFD=ZCED=90°.

在4BFD和△CEO中，

ZBFD=ZCED

</BDF=ZCDE,

BD=CD

:ABFDOCED(AAS),

/.BF=CE.

(2)由(1)知NBFD郃CED,

DF=DE,

AE+AF=16,

AE+AE+DE+DF=2AE+2DE=16,

240=16,

JAD=8.

故4)=8.

20.如图，在“BC中，AB=AC=4,cosB=-45的垂直平分线交边于点。，交边/C于点/，交

4f

的延长线于点£.

⑴求CE的长；

(2)求/£尸。的正弦值.

【答案】⑴6；

(2)-.

8

【分析】(1)过A作力"_L5C于点M,在中通过cosB二也，求出8。=2即可求解;

AB

(2)过C作于点77,在Rt^CT"中通过cos8=也，求出即可；

BC2

此题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用.

【详解】（1）如图，过A作于点M,

AB=AC,

：・CM=BM,

..BM1

在A中，cos5n=二一,

AB4

:・BM=CM=\,

：.BC=2,

・.•£7）垂直平分48,AB=AC=4f

：.BD=AD=-AB=2,

2

Vcos5=r^

：・BE=8,

:・CE=BE—BC=8—2=6：

（2）如图，过。作CH,45于点”,

・•.ZCHB=90°,

RH1RH1

在Rt△CHB中，cosB=---=—,即----二—

BC424

：.BH=-

2

17

・•・AH=AB—BH=4——二一，

22

7

•AH彳7

"smZEFC=—=-^=~，

4848

21.在同一平面直角坐标系中有5个点：/（3,1）,5（3,-1）,C（-l,l）,D（2,-2）,£（3,0）.

⑵点。与。尸的位置关系为：点。在。尸;点£与。尸的位置关系为：点E在。尸

⑶若在了轴上有一点。，满足4403=//CB,请直接写出点。的坐标为

【答案】⑴（1,0）

⑵外，内

⑶（0,2）,（0,-2）

【分析】本题考查了外接圆，圆周角定理，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系：

（1）先在平面直角坐标系上标出么（3，1）,5（3,-1）,再作出线段/A/C的垂直平分线，它们的

交点，即为点P,即可作答.

（2）先在平面直角坐标系上标出。（2,-2）,£（3,0）,观察。尸与点。和点E的位置，即可作答.

（3）根据同弧所对的圆周角是相等的，取。尸与了轴的交点，即为。，再连接BQ,即可作答.

【详解】（1）解：如图所示：

点。与。尸的位置关系为：点。在。尸外；点E与。尸的位置关系为:点E在。尸内;

（3）解：如图:

•••在V轴上有一点0,满足=

二图中02即为所求，

且。（0,2）,2（°，-2）

22.（探索发现）如图，四边形/BCD是正方形，M,N分别在CD、3c上，且/K4N=45。，我们把这种模

型称为"半角模型"，在解决"半角模型"问题时，旋转是一种常用的方法，如图，将绕点/顺时针旋

转90。，点。与点2重合，得到连接/M、AN、MN.

AD

⑴线段。BN,MN之间的数量关系是

（2）根据（1）的结论，写出证明过程；

⑶如图，如果正方形的边长是4,求ACNM的周长.

【答案】（1）DM+BN=AGV；

⑵证明过程见详解；

（3）8.

【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用

旋转构造全等三角形是解题的关键.

（1）根据旋转得到DM=BE,AM=AE,ZEAM=90°,ZADM=ZABE=90°,即可得到A/EN电九W即

可得到答案；

（2）由（1）的理由即可得到证明过程；

（3）由（1）的结论即可得到答案.

【详解】（1）解：MN=DM+BN.

理由如下：由旋转，可知：

AE=AM,BE=DM,NEAM=9。。.ZABE=ZD=90°,

.♦.点£、B、C共线，

■：AMAN=45°,

ZEAN=ZEAM-ZMAN=45°=ZMAN.

在A£/N和△MNN中，

'AE=AM

<ZEAN=NMAN,

AN=AN

:.AEAN为MAN$网.

:.EN=MN，

♦：EN=BE+BN,

:.MN=DM+BN；

（2）证明：由旋转，可知：

AE=AM,BE=DM,ZEAM=90°.ZABE=/D=9。。,

・••点E、B、C共线，

•・•ZMAN=45°,

/./EAN=/EAM-AMAN=45°=ZMAN.

在和ZX"/"中，

AE=AM

</EAN=/MAN,

、AN=AN

.•.△£W也△A£4N（SAS）.

:.EN=MN,

,;EN=BE+BN,

:.MN=DM+BN；

（3）解：由（1）得，MN=DM+BN、

:.C^CMN=MN+CM+CN=CM+DM+CN+BN=BC+CD,

•・,正方形的边长为4,

・<CMN=8C+CQ=4+4=8；

23.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0,2）,在x轴上任取一点连接力M,作线段4M的垂

直平分线人过点M作％轴的垂线加记'人的交点为尸.

----「--15j--r-

■—4—44——-i--1-一--卜一彳

一一2，一一『…$—『一_「一]

-4-2T示2344

-5-3---L——=[——-J——-；----卜卜——Jx

___I___-------____!___I___L___J

-'---5-」--「」」

⑴线段尸N与尸M有什么数量关系？.

①当点M坐标（2,0）时，点P的坐标是；

②当点W坐标（4,0）时，点P的坐标是.

（2）在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P,试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来.观察画出的

曲线工，猜想它是我们学过的哪种曲线..

⑶验证（2）的猜想：对于曲线Z上任意一点P,设点尸的坐标是（无,力，请根据P/与PM的关系求出羽了满

足的关系式.你得出的结论与先前你的猜想一样吗？

【答案】（1）①尸/=@（2,2）；③（4,5）

⑵抛物线

（3）J=yX2+l,得出的结论与猜想一致

4

【分析】（1）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案；②根据题意画出对应的

图形即可得到答案；③据题意画出对应的图形即可得到答案；

（2）根据题意画出对应的曲线工即可得到答案；

（3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到（x-0）2+（y-2）2=y2,进而推出y=；/+i,由此可得结

论.

【详解】（1）解：①由题意得，点P在线段4M的垂直平分线上，

...PA=PM,

故答案为：PA=PM；

②如图所示，当点M坐标2,0时，点尸的坐标是(2,2)；

③如图所示，当点W坐标(4,0)时，点尸的坐标是(4,5)；

.11

X

(2)解：观察画出的曲线可知曲线上是抛物线,

故答案为：抛物线；

(3)解：•・•点尸的坐标是(x/),尸轴,

・.•4(0,2),PA=PM,

(X-0)2+(J-2)2=j/2,

12+y2_4y+4=y2,

12Y

,,y=-x+1,

4

...得出的结论与猜想一致.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运

用所学知识是解题的关键.

24.复习过《三角形》后，刘老师设置了一个问题情境，让同学们讨论问题情境：

如图(1),在“8C和AD/E中，AB=AC,AD=AE,/BAC=NDAE,连接8DCE,且//Z)B=90。,

延长DE交3C于点初.试分析你能得出的结论.

以下是小明和小红的讨论过程.请你细阅读并完成任务.

小明：我能得出.

理由：ZDAE=ZDAB+ZBAE,NBAC=NEAC+NBAE,ZDAE=ABAC,

：.ZDAB=EAC.

又AB=AC,AD=AE,

AABD沿AACE.

小红：我猜测点刊为BC的中点.

思路：我考虑，若点M为BC的中点，则可以按照“倍长中线”的思路，如图(2),过点。作C尸〃AD交。M

的延长线于点尸，只需要证明丝ACfM即可证明所猜.

(1)小明的理由中，得到△48。2△/(?£的依据是(填序号)

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小红的猜测是否正确？若正确，请帮她证明；若不正确，请说明理由.

(3)如图(3),AB=AC,N8=30。，点N为平面内一点，若NANB=120。,AN=1,BN=2,直接写出CN

的长.

【答案】⑴②

⑵小红的猜测正确，理由见解析

⑶CN的长为行或旧

【分析】(1)结合条件得出全等的根据；

(2)过点C作CF〃AD交。M的延长线于点R先证CF=3O,再证ABMOGACMF即可证出结论；

(3)将/N绕点/顺时针旋转120。得到AP,连接PN,PB,则&NP刖PNg窗(180T20930,分

两种情况：①当点N在43下方时，②当点N在上方时，分别计算求出即可.

【详解】(1)解：VZDAE=ZDAB+ABAE,NBAC=NEAC+NBAE,NDAE=NBAC,

：.ZDAB=EAC,

又AB=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS),

故答案为：②；

(2)解：小红的猜测正确，理由如下：

过点。作CF〃AD交DM的延长线于点F,

ZBDE=NCFE,

•••AD=AE,

/.ZADE=ZAED,

•;AABD-ACE,ZADB=90°,

/ADE+ZBDE=90°,ZAED+ZCEF=180°-90°=90°,BD=CE,

:.ZBDE=NCEF,

ZCFE=ZCEF,

CE=CF,

CF=BD,

•：i)BMD=CMF,

\ABMD^CMF,

:.BM=CM,即点M为BC的中点；

(3)解：将NN绕点/顺时针旋转120。得到/P,连接PN,PB,则&NPOiPN；窗(180T20。30,

分两种情况：

①当点N在N3下方时，过点工作尸N于点Q,

贝!IAQ=3AN=；，尸。=NQ=^-AN=^~

\PN=2NQ=百，

■：'DANB=nO0,

\05^=120°-30°=90°,

\BP=>JBN2+PN2=V7

由(1)可知A4B尸也A/CN,

\CN=BP=41;

②当点N在N5上方时，过点尸作尸于点E,

同①可得：PN=C，

■:由NB120靶/JVP=30

\D£27?=180°-30°-120°=30°,

1V3V33

\EP=-PN=—,NE=—PN=-

2222

7

\BE=BN+NE二一，

2

\3P=2PET『+患；苗,

由（1）可知A4B尸也A/CW,

\CN=BP=岳,

综上所述，CN的长为近或旧.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理，熟练掌

握相关性质是解题关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边3C在x轴上，A、3、C三点的坐标分别为/（0,5）,

5（-12,0）,C（10,0）,一动点尸从点8出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线3。匀速运动，设点尸运动

时间为，秒.

⑴AABC的面积=；

⑵若点尸恰好线段N3的垂直平分线上，求此时r的值;

⑶当点p在线段上运动时，在y轴的正半轴上是否存在点。，使△尸。。与“OC全等？若存在，请求出

f的值并求出此时点。的坐标：若不存在，请说明理由;

⑷连结P/,若APNB为等腰三角形，请直接写出点尸的坐标.

【答案】（1）55；

,、169

(2)/=—;

48

⑶”1,点。坐标为（0,5）或（0,-5）或点0坐标为（0,10）或（0,-10）；

署，。）或（i，o）.

(4)尸(12,0)或

【分析】（1）先求出8C的长，再利用面积公式求面积即可；

（2）根据垂直平分线性质和勾股定理求出BP的长，从而求得P点运动时间：；

（3）根据全等三角形的对应边相等关系分为情况，求出点的坐标即可；

（4）由勾股定理得/8=13根据尸/=尸2、PA=AB.P2=48三种情况分别求解即可，

本题考查了等腰三角形，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用,

解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用，正确求出符合条件的所有情况.

【详解】（1）VA（0,5）,5（-12,0）,C（10,0）,

：.OA^5,BC=22,

：.AABCm^-BC-OA=-X22x5=55,

22

故答案为：55；

（2）如图，

点尸恰好线段AB的垂直平分线上,

/.BP=AP,

T§1BP=AP=X,贝!|O尸=12—x,

在中，由勾股定理得：OP^+OA?=Ap2,

即（12-4+52=解得：》=更2,

，此时:=

(3)①当△QOP义ZUOC时，。尸=OC=10,

：.BP=OB-OP=12-iO=2,OQ=OA=5,

.♦•此时"1,点。坐标为（0,5）或（0,-5）；

②当△尸00段ZUOC时，0P=04=5,

：.BP=OB-OP=12-5=5,OQ=OA=5,

7

•••此时:］，点。坐标为（0,10）或（0,T0）;

综上可知：”1,点。坐标为（0,5）或（0,-5）或t=点0坐标为（0,10）或（0,70）；

（4）如图，

在RtA^OS中，由勾股定理得AB=^OA2+OB2^A/52+122=13，

当/月=/8时，此时占（12,0）；

出。，

当工心=3时，由（2）得：P2

当54=48时，此时片（1,0）；

詈，。或。，0）.

综上可知：尸（12,0）或

26.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1,在

△A8C中，40是8c边上的中线，延长4D到M,使。M=4D,连接8M.

图1

⑴【探究发现】图1中中/C与9的数量关系是位置关系是

⑵【初步应用】如图2,在“3C中，若48=12,AC=8,求BC边上的中线4D的取值范围；

⑶【探究提升】如图3,是AABC的中线，过点A分别向外作4EL4B、AFLAC,使得4E=M,AF=4C,

延长交EF于点P,判断线段E尸与/。的数量关系和位置关系，请说明理由.

【答案】(1)/C=3M,AC//BM

(2)2<AD<10

⑶EF=2AD,EF1AD,理由见解析

【分析】(1)证△NOC乌△MD3(SAS),得=/C4D=,再由平行线的判定即可得出/C〃瓦W；

(2)延长4D到M,使ZW=4D,连接由(1)可知，^MDB^AADC(SAS),得W=/C=8,再

由三角形的三边关系即可得出结论；

(3)延长4D到使得。M=连接由(1)可知，之△CZM(SAS),得8M=/C,再证

“BM空AEAF(SAS),得AM=EF,/BAM=NE,贝l」EV=24D,然后由三角形的外角性质证出

ZAPE=ZBAE=90°,即可得出结论.

【详解】(1)解：•.♦4D是"8C的中线，

BD=CD,

在和中，

CD=BD

</CDA=ZBDM,

AD=MD

/\ADC^/\MDB(SAS),

:.AC=BM,ACAD=ZM,

:.AC//BM,

故答案为：AC=BM,AC//BM；

(2)如图2,延长4。到〃，使。M=连接卸7,

A

：D

图2

由(1)可知，AMDBMAZDC(SAS),

在"W中，AB-BM<AM<AB+BM,

，12—8</M<12+8,

即4<2AD<20,

2<AD<10,

即8C边上的中线/D的取值范围为2<10；

(3)EF=2AD,E