2024-2025学年北师大版九年级数学上学期复习训练：概率投影和视图（解析版）

清单03概率投影和视图(8个考点梳理+题型解读+提升训练)

考点侪单

直接列举法

列举法列表法

概率计算

树状图法

用频率估计概率

率

概

影

投平行投影

图

视

【清单01】概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，

记为P(A).

(1)一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。

(2)概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事

件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

(1)一般地，所有情况的总概率之和为1。

(2)在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

(3)在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

(4)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接

近1;反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。

(5)一个事件的概率取值：OWP(A)W1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P(必然事件)=1

不可能事件的概率为0,即P(不可能事件)=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则0<P(A)<1

(6)可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.

°事件发生的可能性越来越小।

?*一I概率的值

不可能发生-必然发生

事件发生的可能性越来越大

2.求概率方法：

(1)列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出

来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以

通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

(2)列表法：当一次实验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)，并且可能出现的结果数目较多时，为不

重不漏地列出所有可能的结果时使用。

(3)列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便

了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

【清单02】频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某个常数p附近

n

,那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P(A)=Po

【清单03】平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有

被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影

叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

⑴等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身

的长度.

2.物高与影长的关系

(1)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小

在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东，

影长也是由长变短再变长.

(2)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即甲物体的高甲物体的影长

乙物体的高■■乙物体的影长.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

【清单04】中心投影

若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就

是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、

投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的

物体它的影子长.

“jJ

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，

影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点

在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

注意：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方

向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

【清单05】正投影

正投影的定义：

(I)(2)(3)

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；

图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这

种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AiBi,与线段AB的长相等;

②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,长小于线段AB的长;

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

⑵平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个

平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，

是类似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

(3)立体图形的正投影.

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过

立体图形的最大截面全等.

【清单06】三视图

(1)视图的定义

从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

(2)正面、水平面和侧面

用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边

的面叫做侧面.

(3)三视图

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，

叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

(4)画图方法：

画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.

注意：

画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，

首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚

线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三

视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

用里型情单

【考点题型一】概率有关运算

【典例1-1】某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学

生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调

查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

(1)此次被调查的学生共有.人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为

(2)若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数;

(3)九(1)班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名

女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为

一男一女的概率.

【答案】(1)100；72°

(2)估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人

(3)列表见解析，刚好抽中两名同学为一男一女的概率为:

【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练

掌握相关知识是解题关键.

(1)利用''选择地点B的学生人数其十其占比15%”求解即可；禾U用“360°X选择地点A的学生占比”求

解即可；

(2)利用“该校学生总数x选择地点C的学生占比”，即可求得答案；

(3)根据题意列表，结合表格即可获得答案.

【详解】(1)解：此次被调查的学生共有15+15%=100(人)；

研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为芸x360°=72°.

故答案为：100;72°；

(2)解：(40+100)X100%X800=320(人)，

答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人.

(3)解：列表如下：

男1男2女1女2

男1男1男2男1女1男1女2

男2男2男1男2女1男2女2

女1女1男1女1男2女1女2

女2女2男1女2男2女2女1

由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种,

・•・刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：P（一男一女）="=|・

答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为|.

【典例1-2】一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个

红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（）

AB

-1-；C.[D.1

【答案】C

【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所

有等可能的结果与摸出两个红球的情况，再利用概率公式计算即可.

【详解】解：画树状图得：

开始

红红白黑

/N小小小

红白里红白里红红里红红白

因为共有12种等可能的结果，其中摸出两个红球的有2种情况，

所以摸出1个白球的概率是

126

故选：C.

【变式1-1】某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区

参与救援工作，则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3236

【答案】C

【分析】本题考查用列表或画树状图法求概率.正确的列出表格或画出树状图是解题关键.先列表，

表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可.

【详解】解：将两名男医生分别记为男1,男2,列表如下：

男1男2女

男1男1，男2男1,女

男2男2，男1男2,女

女女，男1女，男2

由表格可知，共有6种等可能的结果，其中选派的两名医生恰好是一男一女的结果有4种,

所以选派的两名医生恰好是一男一女的概率为

63

故选C

【变式1-2】同学们，你们知道“石头、剪子、布”的游戏吧！甲、乙两人做这种游戏，随机出手一次,

则甲获胜的概率是（）

AB

-I-IC.1D.|

【答案】B

【分析】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲获胜的情况数，再利用概率公式

即可求得答案.

【详解】解：画树状图得：

开始

石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布

•••共有9种等可能的结果，甲获胜的情况数是3种，

.♦.一次游戏中甲获胜的概率是：5=：.

故选：B.

【变式1-3】某同学手中有6张扑克牌，6张扑克牌上的数字依次为1,2,3,4,5,6.若从中同时取

出两张牌，则牌面数字均为偶数的概率是.

【答案】|

【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，列出表格，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为

偶数的情况有6种，利用概率公式计算即可.

【详解】解：列表如下：

123456

11,21,31,41,51,6

22,12,32,42,52,6

33,13,23,43,53,6

44,14,24,34,54,6

55,15,25,35,45,6

66,16,26,36,46,5

由表格可知，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为偶数的情况有6种，

...牌面数字均为偶数的概率是卷=

故答案为：|

【变式1-4】南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口.某周六上午，甲、乙

两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动.

(1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；

(2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率.

【答案】⑴：

⑵I

【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数加，再

找出某事件所占有的可能数n,然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率=

m

(1)直接利用概率公式计算可得；

(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案.

【详解】(1)解：•••有标识为1、2、3、4的四个出入口，

，甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为:，

4

故答案为：;;

(2)解：画树状图如下:

开始

1234

八/7K八八

1234123412341234

共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，

•・单乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为好：

【变式1-5】我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容.为学生开设五类社团活动(要求每人必

须参加且只参加一类活动)音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团.

(1)小明从中任选一类社团活动，选至『‘体育社团”的概率是二

(2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或

画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.

【答案】跳

⑵3

【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n,再从中选出

符合事件A或2的结果数目m,然后利用概率公式求出事件A或2的概率.

(1)直接利用概率公式计算；

(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据

概率公式计算.

【详解】(1)解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选至I“体育社团”的概率是也

(2)解：画树状图为：

开始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种,

所以恰好选中甲和乙两名同学的概率5=

126

【考点题型二】利用频率估计概率

【典例2-1】某同学现有一装有若干个黄球的袋子.为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中

放入了30个绿球（所有球除颜色外其余均相同），摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子

中黄球的数量约为（）

A.200个B.180个C.240个D.150个

【答案】D

【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x,根据题意可得券=”，求出解即可.

30+x60

【详解】设黄球的数量为无,根据题意得

30_10

30+%60

解得％=150.

经检验是方程的解且符合题意，

所以袋子中黄球有150.

故选：D.

【典例2-21某数学小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率并绘制了如图所示

的折线统计图，该事件最有可能是（）

，频率

0.34-7

0.33--------------------.........

0.32-------------

0.31----------------------------------------------------

030---1-----1---1-----1---1-----1----1-----1---1-----1------->

02004006008001000次数

A.掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3

B.一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这:10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针

指向的数字是3的倍数

C.暗箱中有1张红桃K,1张黑桃K,1张梅花K,3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃

K

D.一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经过该路口

时，遇到红灯的概率

【答案】C

【分析】本题主要考查概率公式的应用，用频率估计概率，解答本题的关键是求出各事件发生的概

率.根据统计图可知发生的频率接近点得出该事件发生的概率为点然后逐项进行判断即可.

【详解】解：根据图象可知：发生的频率接近点即该事件发生的概率为a

A.掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为也故A不符合题意；

B.一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1〜10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针

指向的数字是3的倍数的概率为总，故B不符合题意；

C.暗箱中有1张红桃K,1张黑桃K,1张梅花K,3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃

K的概率为%故C符合题意；

D.一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经过该路口

时，遇到红灯的概率」k=工=3故D不符合题意.

30+5+40755

故选：C.

【变式2-1】为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：

移植总数n4015030050070010001500

成活数TH351342714516318991350

成活的频率当0.8750.8930.9030.9020.9010.8990.900

n

估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.1）.

【答案】0.9

【分析】本题考查了根据频率估计概率，正确理解概率是解题的关键，根据概率定义求解即可.

【详解】解：由表可得成活的频率妆在0.9的附近波动，

n

.,•这种幼树移植成活率的概率为0.9.

故答案是：0.9

【变式2-2】一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子

里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去.小明同学按规定摸出一个球.记录颜色，放回去，重复该

步骤2000次.最终记录结果为黑球620次，白球1380次.由此可以估计.袋子里有个白球.

【答案】7

【分析】本题考查了可能性的大小：利用实验的方法进行概率估算.当实验次数非常大时，实验频率

可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.先计算出到白球的频率为07,利

用频率估计概率，则摸到白球的概率为07,然后利用概率公式计算出口袋中白球的个数即可.

【详解】解：根据题意，摸到白球的频率为黑=蕊=0.69x0.7,

估计摸到白球的概率约为0.7,

所以口袋中白球的个数为0.7X10=7（个），

即袋子里有7个白球的可能性最大.

故答案为：7

【变式2-3】在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄

球7个，蓝球a个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在25%左右，

则a的值约为一.

【答案】8

【分析】此题是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.在同样条件下，大量反复试验

时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解.

【详解】解：由题意可得：

解得，a=8,

经检验：a=8是原方程的解，且符合题意，

则a的值约为8.

故答案为8.

【变式2-3】老师将本题答案制作了一个二维码，并打印成面积为20cm2的正方形（如图所示），为了估

计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在

0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约是.

【答案】12cm2

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆

动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个

固定的近似值就是这个事件的概率.总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可.

【详解】解：估计黑色部分的面积约为20x(l-0.4)=12cm2,

故答案为：12cm2.

【考点题型三】正投影

【典例3-1】某同学身高140cm,那么这名同学的正投影的长().

A.小于140cmB.等于140cmC.大于140cmD.小于或等于140cm

【答案】D

【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为

正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正

投影的定义是解此题的关键.

【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于140cm,

当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于140cm,

综上所述，某同学身高140cm,那么这名同学的正投影的长小于或等于140cm,

故选：D.

【典例3-2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.一个三角板的正投影不可能是

()

A.一条线段B.一个与原三角板全等的三角形

C.一个等腰三角形D.一个小圆点

【答案】D

【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案.

【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意；

当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题

思；

当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角

形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意；

故选D

【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解

本题的关键.

【变式3-1】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是()

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可.

【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是

故选：B.

【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同.

【变式3-2】一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）

【答案】A

【分析】根据投影的特点进行判断即可.

【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不

可能是一个梯形，故A符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点.

【变式3-3】把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案.

【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩

形.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形.

【变式3-4］如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（）

【答案】C

【分析】根据正投影的定义，得出圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，即可求解.

【详解】解：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，

故选：C.

【点睛】本题考查了正投影，掌握正投影的定义是解题的关键.正投影是指平行投射线垂直于投影

面.

【考点题型四】平行投影

【典例4-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（）

【答案】A

【分析】根据平行投影的定义判断即可.本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义.

【详解】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：

故选：A.

【典例4-2】小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他

们在阳光下，分别测得该建筑物08的影长0C为20米，0A的影长。。为24米，小军的影长FG为

2.4米，其中。、C、。、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且。4_LOD

EF±FG.

⑴①图中阳光下的影子属于_(填“中心投影”或“平行投影”)②线段AD、线段8c与线段EG之间的位

置关系为一.

⑵已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高

【答案】⑴①平行投影；②AD||BC||EG(或答“平行”)

(2)旗杆AB的长为3米

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定.

(1)根据平行投影和中心投影的定义即可做出判断.

(2)证明A40D〜AEFG,利用相似比计算出4。的长，再证明△B0C〜△4。。，然后利用相似比计算

0B的长，进一步计算即可求解.

【详解】（1）①根据题意可知是平行投影；

②2D||BC||EG（或答“平行”）；

故答案为：①平行投影；②AD||BC||EG（或答“平行”）.

（2）0A1OD,EF1FG,

，N4OD=NEFG=90。，

\'AD||EG,

Z.D=Z-G,

△AODEFG,

.OA_OD

••=9

EFFG

.OA_24

"1.8~2.4・

/.OA=18

CD=OD-OC=4,

9：AD||BC,

.ABCD

••——,

OAOD

・AB4

••—,

1824

：.AB=3（米），

所以，旗杆4B的长为3米，

【变式4-1】小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比

赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是

（填“甲”或“乙”）.

甲乙

【答案】甲

【分析】本题考查平行投影的特点和规律.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不

同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向

是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长.在不同时刻，同一物体在太阳光下形成的影子的大

小和方向不同，依此进行分析.

【详解】解：..•太阳光线是平行光线，

下午的影子随时间的变化，由短变长，

/.她参加400米比赛的照片是甲.

故答案为：甲.

【变式4-2】在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为3米，则

旗杆的高度为米.

【答案】12

【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，进行求解即可.

【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意，得：芸=：,

0.43

解得：%=12；

故答案为：12.

【变式4-3】古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太

阳光测金字塔的高度.如图，木杆EF长|米，它的影长FD是3米，同一时测得。力是274米，则金字塔

的高度BO是米.

【答案】137

【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：黑=会，

FDOA

3

即：五=丝，

3274

/.OB=137；

故答案为：137.

【变式4-4】某学校旁有一根电线杆48和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆

顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上七点

（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆2B的高度

是米.

A

,、

、、

、、

、、

、、

、、

、、

_____、、.

BCDE

【答案】,8；/8.25

44

【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子

长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例.过点G作GQLBE于点0,

GP14B于点P,得出四边形BQGP是矩形，由题意得AAPGsAFDE,然后根据实际高度和影长成正

比例列式，求解即可.

【详解】如图，过点G作GQ1BE于点Q,GP1AB于点P,

A

,、、

、、

、、

、、

、、

P7L_____,、、：G,

:、、'、、

_______1-1、、.

BCQDE

根据题意得出，四边形BQGP是矩形，8P=GQ=3米，

根据实际高度和影长成正比例，得出△APG，△FDE,

.APPG

••=，

DFDE

.AP_5+2

…3-4

.♦.4B=乌+3=军米.

44

故答案为：

4

【变式4-5】【基础解答】如图，28和DE是直立在地面上的两根立柱.48=6m,某一时刻AB在阳光

下的投影BC=2m,DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.

D

A

BCE

/////////////7/////Z

【拓展拔高】如图，古树4B在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m,还有一部分影子

在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m,同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m,求这棵

古树4B的高.

【答案】立柱DE=9m,古树48=3m.

【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质，

基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得DFII4C,据止匕判定△ABCsADEF,问题随

之得解；

拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：AABGSAMNH,

△DCGSAMNH,问题随之得解.

【详解】基础解答

如图，

；DF||AC,

：.^ACB=乙DFE,

XV^.ABC=乙DEF=90°,

△ABC^△DEF,

.AB_DE

••=,

BCEF

AB=6m,BC=2m,EF=3m,

.6_DE

**2-3

解得：DE=9m；

拓展拔高

如图，

y

~'、、、°M

、''、、、、、¥竿''、'、、、、

BCGNH

根据题意有：BC=4m,CD=Im,MN=lm,NH=2m,

根据【基础解答工同理可得：4ABG”4MNH,ADCGs4MNH,

.AB_MNCD_MN

'"BG-NH'CG-NH'

□即rt有/*:-A-B--—1，1———1，

4+CG2CG2

解得：CG=2,

即有=3(m),

即古树AB=3m.

【考点题型五】中心投影

【典例5-1】如图，晚上小明在路灯下沿路从a处径直走到8处，这一过程中他在地上的影子（）

A.一直都在变短B.先变短后变长C.一直都在变长D,先变长后变短

【答案】B

【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.根据中心

投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长.

【详解】解：在小亮从4处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到8

处时，他在地上的影子逐渐变长，

・•・小亮在地上的影子先变短后边长，

故选：B.

【典例5-2】如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源。的

照射下形成的投影是若。B:BBi=2:3,则△&B1G的面积是（）

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

【答案】D

【详解】解：•••一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为AABC）平行于投影面时，在点光源。的照射

下形成的投影是A4B1C1，OB-.BB.y=2:3,

.OB_2

・"OBi-5，

二位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5,

•三角形硬纸板的面积为60cm2,

...=⑶之=

V5/25'

；.△4/1Cl的面积为375cm2.

故选：D.

【变式5-1］如图，在直角坐标系中，点P（2,2）是一个光源.木杆4B两端的坐标分别为（0,1）、

（3,1）.则木杆4B在x轴上的投影长为（）

p

a/，__\B

A.3B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长P4PB分别交x轴于

4,夕，作PElx轴于E,交于D,如图，证明AP48“△P4B，，然后利用相似比可求出4次的长.

【详解】解：延长24、PB分别交x轴于4,B',作PE_Lx轴于E,交4B于D,如图

；P(2,2),4(0,1),B(3,l).

：.PD=1,PE=2,AB=3,

：.4PABsxPA'B',

.ABADpr-t31.

，、

**A'B'~AEAIBI-2

：.A'B'=6,

故选：C.

【变式5-2】手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的

游戏.在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示.若在

光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应()

图1图2

A.增加0.5米B.增加1米C.增力口2米D.减少1米

【答案】C

【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根

据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角

形的性质构建方程求解即可.

【详解】解：如图：点。为光源，AB为小明的手，CD表示小狗手影，贝以8||CD,作。ELAB,延长

OE交CD于F,贝UOF1CD,

△OABOCD,

.ABOE

••—,

CDOF

'：0E=2米，OF=6米，

.AB_OE_2_1

••CD-OF-6-3'

令AB=k,贝！JCD=3k,

・・,在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图,

即4B=k,CD'=|/c,40ABsAOC'D',

•旦一咀j,则空

：.0E'=4米，

...光源与小明的距离应增加4-2=2米，

故选：C.

【变式5-3】下列各种现象属于中心投影现象的是()

A.中午烈日下用来乘凉的树影B.上午阳光下人走在路上的影子

C.晚上人走在路灯下的影子D.早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子

【答案】C

【分析】本题考查了中心投影的性质，根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可，解题的关键是

理解中心投影的形成光源为灯光.

【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的

投影为中心投影，

故选：C.

【变式5-4］综合与实践.

现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度.首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出

相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据.已知灯柱

在灯柱4B上有一盏路灯P,在路灯下，人站在点。和点G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水

平线上.根据上述内容，解答下列问题：

A

F

_______________________q」

BDEG

(1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE,请画出路灯P及人站在点G时路灯下的影子GH；

(2)如图，若身高为1.7米的小明站在点。影长0E为3m,沿8D方向走5m到点G,DG=5m,此时

影长GH为4m,求路灯P到地面的高度PB；

【答案】（1）见解析

⑵路灯尸离地面的高度为10.2m

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质:

（1）利用中心投影的性质进而得出产点和H点位置;

（2）利用相似三角形的判定与性质得出AEPB”AEC。，同理可得△HFGsAHPB,进而得出答案.

【详解】（1）解：如图所示，点尸、线段GH即为所求,

A

十"仃

BDEGH

延长EC于点尸，找到路灯P的位置，连接PF并延长，交射线BD于点X,即为人FG在路灯下的影子.

(2)解：VCDWAB,

△EPB~△ECD,

CDDEZTN

而=益，即art而1.7=漏3①

9：FG\\AB,

：・2HFGjH