平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（5类核心考点精讲精练）

I传.考情探究•

平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，

往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共

线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数

形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用

知识点1平面向量系数和（等和线）讲解

考点1"x+y"或"A+H"型综合

考点2"mx+ny"或"mA+np"型踪合

考点3"x-jT或"A-H"型综合

考点4"mx-ny"或"mA-nx"型踪合

考点5系数和（等和线、等值线）的琮合应用

知识讲解

如图，P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///48,由平面向量基本定理知:

存在》/£火，OP=xOA+yOB

A

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若尸e/时，则射线0P与/无交点，由///48知，存在实数4，使得历=九万

而刀=砺一次，所以丽=4•一/方，于是x+y=4-/l=0

②若尸时，

(i)如图1,当尸在/右侧时，过尸作CD//4B,交射线0408于C,。两点，则

A0CD〜A0AB,不妨设A0CD与A0AB的相似比为左

由P,C,。三点共线可知：存在4eR使得：

0P=A0C+(l-A)0D=kA0A+k(l-A)0B

所以x+y=左之+左(1-4)=左

(ii)当尸在/左侧时，射线。尸的反向延长线与48有交点，如图1作尸关于。的对称点P,由(i)

的分析知：存在存在4eR使得：

0P'=A0C+(l-A)0D=kA0A+(l-A)0B

所以万=-kXOA+-(1-2)05

于是x+y=-kA+-左(1-A)=-k

综合上面的讨论可知：图中而用方，砺线性表示时，其系数和x+.v只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。

因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过。作A8边的垂线

设点尸在/'上的射影为尸‘，直线r交直线ZB于点片，则|幻=^^(左的符号由点尸的位置确定)，因

此只需求出|。尸'I的范围便知x+y的范围

考点一、“x+v”或以+〃”型综合

典例引领

1.(全国•高考真题)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若屈=4

AB+^AD;则2+〃的最大值为

A.3B.272D.2

【答案】A

【法一：系数和】

分析：如图，

由平面向量基底等和线定理可知，当等和线/与圆相切时，4+〃最大，此时

,AFAB+BE+EF3AB.

%+〃==---------------------=-------=3,

ABABAB

故选A.

【法二：坐标法】

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.

设/（0』）］（0,0）,。（2,0）,。（2,1）*（兀歹）,

24

易得圆的半径〃=[1，即圆。的方程是（％-2『9+/=^,

AP=（%/-1）,45=（0,-1）,AD=（2,0）,若满足AP=XAB+，

\x=111xx

则,,，H=-,^=\-y,所以4+〃=彳一＞+1,

[y-l=-A22

设z=]-y+l,即]-y+]_z=0,点P（x,y）在圆（x—2『+/=|•上,

y

所以圆心（2,0）至1J直线^-y+l-z=0的距离dVr,即解得1VZV3,

所以z的最大值是3,即几+〃的最大值是3,故选A.

【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数

乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

2,（衡水中学二模）边长为2的正六边形4BCDEE中，动圆。的半径为1,圆心在线段CZ）（含短点）上运

动，尸是圆Q上及其内部的动点，设向量4P=掰+（机,A）,则掰+〃的取值范围是（）

4（1,2]B\5,6]C.[2,5]£>.[3,5]

__.__.__.AQ7/17?

分析:如图，设AP=mAB+nAF,由等和线结论，加+〃="=*■=2.此为加+〃的最小值;

ABAB

----------»----------»-----------*-ZJf—f

同理，设4P=m4B+几4F,由等和线结论，m+n=-----=5.此为加+〃的最大值.

AB

综上可知冽+〃e[2,5].

即0唧（

1.在矩形Z5CD中，AB=1,AD=2,动点尸在以点。为圆心且与8。相切的圆上,

若方=4罚+〃彳万，则4+〃的最大值为（）

A3B2V2C45D2

解：如图所示:

过/作AD的垂线，垂足为X,贝IZ8=CE=CP=r,当E,C,P三点共线时，高线最长，即

3r

P+〃)max=-=3

r

2.如图，正六边形ABCDEF,P是ACDE内(包括边界)的动

点，设方=1方+/前(a,〃eR),则a+/的取值范围是

解：连接因为正六边形4BCDEF,由对称性知道

BF1AD,ADLEC,设AF与40交于点G,CE与4D交于点H,

当尸在CE上时，Z尸在上射影最小为AH；

当尸与。重合时，4P在上射影最大为

则J——1

|ZG|禺

X

设0B|=x,则MG|=|Z/D|=m，|G〃|=|8C|=x,|ZD|=2x,

则3Wa+644

3.如图在直角梯形/BCD中，ABIICD,ABA.AD,AD=DC=\,AB=3,动点尸在以C为圆心,

且与直线8。相切的圆内运动，^AP=aAD+j3AB(a,j3eR)

则a+夕的取值范围是

解：设圆C与直线AD相切于点E,过Z作ZGLAD于G,作直线///£>8,且直线/与圆C相切与E,

连EF,则所过圆心，且斯_L8£>,由图可知，对圆C内任意一点尸

AP在直线AG上的射影长度d满足：|ZG|<d<ZG|+1跖|,

ADAB

又\AG\J\'\\=,|EF|=2|EC|=2|CD|sinZ^5D=-1=

\DB\V10V10

35

所以Vi>—o<d<V—ijo=

而<7+/=工-,所以l<a+£<*

AG3

3.在AA8C中，AB=6,BC=8,ABIBC,M是。8C外接圆上一动点，若万7=4万+无，则几+〃

的最大值是()

54

A.1B.-C.-D.2

43

【答案】C

【解析】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为(5cos6,5sin0),

——■—.—.1824

由=AAB+juAC:.(5cos0+5,5sin0)=2(y,y)+〃(10,0),

；1+〃==sin(。+0)+(可得利用正弦函数的图像及性质即得解.

62

【详解】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

设/W的坐标为(5cos0,5sin。)，过点B作AD_Lx轴

42418

sin4=—,AB=6「.BD=ABsin4=—,AD=ABcosA=—

555

7724

:.OD=AO-AD=-:.B(——，——)

555

24

又4(一5,0),5(5,0)，AB),AC=(10,0),定=(5cos<9+5,5sin9)

•.・斯=加+〃而-+5.“）=英式）+〃（1。,。）

八八。・八

=13•125

/.u.—cos（J—sinuH—,x，=—sinv

28224

4+"=—cos6+—sin0—=—sin（6+0）H—

23262

514

当sin（e+e）=l时，U+〃）2=*+3.

623

故选：c

【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，

考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

4.（22-23高三上•江苏苏州•阶段练习）在“8C中，AB=4,BC=3,C4=2,点P在该三角形的内切圆

上运动，若春=加方+”就（力,〃为实数），则加+〃的最小值为（）

5174

A.—B.—C.—D.一

183189

【答案】B

网

【分析】由万=用次+〃就可得加+"一（m一一〃—一再结合余弦定理，面积公式可求出

-^—AB+——AC

[m+nm+n）

cosA.sin/、BC边上高九,内切圆半径小最后根据平行线等比关系即可求解.

【详解】AP=mAB+nAC=（m+n}\mAB+n-AC\,由尸在内切圆上，

\m+nm+n）

m+n=-------!——四!--------

（JT-AB+^—AC]9

\m+nm+nJ

YY].J7----►---►YY]Yi./、-----►

假设——AB+----AC=AE,由于-----+-----=1,AP=(m+n]AE

m+nm+nm+nm+nf

AP

贝+且E为5C上一点，A,P,E三点共线,

AE

由平行线等比关系可得，要使加+〃，即I万I与I荏I之间的比例最小，则尸在内切圆的最高点，如图所示,

次+心一叱

11

由cosA=

2AB•AC16

因为sinN>0,所以sin/=±45,

16

设3c边上高为〃，内切圆半径为「，

由S“BC=；48./C-sin4=gBC"z=；r（/B+4C+3C）,

所以/.=11,r=走，

26

可得加+”的最小值为/?—一2/1

h,3

故选：B.

网

【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到加+〃-（m一一7丁令

-^—AB+——AC

[m+nm+n

-^AB+^—AC=AE,观察到分母的系数相加为1,则可得到E为8C上一点，再结合平行线等比关系

m+nm+n

以及图象可得到比例最小的具体位置

5.（22-23高一下•广东珠海•期末）在"8C中，AB=1,AC=2,ABAC=60°,P是A/3C的外接圆上的一

点，若不=加在+〃就，则的最大值是（）

31L

A.1B.-C.-D.V3

2，

【答案】B

【分析】利用余弦定理与勾股定理得。3C是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量

的坐标，由向量的坐标运算可得加+〃的表达式，进而利用三角函数求最值即可.

【详解】因为在AABC中，48=1,AC=2,ZBAC=60°,

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC=l+4-2xlx2xcos60°=3,

所以2c=6，则/炉+台。？=/。2,所以

故以/C的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

I-/]、

易得则在=，%=(-2,0),

22k22;

设尸的坐标为(cos6,sin6),则万=(cos6)-1,sin6>),

又AP=mAB+nAC，

所以(cosS-l,sin6)=冽——,——+〃(一2,0)=---In,——m

、22J122J

cos0-1=-------2n

2得加=2近sin。，

则n=——cos6+---------sin。

,QV33226

sm"二—m

2

B11.71113

所以加+〃=——sm。——cos6+—=sm0—+—<1+—=—,

2226j222

当且仅当sin]。-=1时，等号成立，即加+〃的最大值为

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，利用向量的线性运算法则得到冽，〃的关系式，从而

利用三角函数的性质得解.

考点二、—或型综合

典例引领

1―

1.已知。是“BC内一点，且E+砺+玩=0,点M在AOBC内（不含边界），若而=4万+〃就，则

2+2〃的取值范围是

B.(l,2)

【答案】B

【解析】因为。是A4BC内一点，且方+南+瓦=0,所以。为A4BC的重心

M在AOBC内(不含边界)，且当M与。重合时,4+2〃最小，

此时而=4次+〃％=§x-(AB+AC)=-AB+-AC

所以2=；,〃=；,即4+2〃=1

当M与C重合时,2+2〃最大，此时AM=AC

所以4=0,〃=1,即4+2〃=2

因为〃■在AOBC内且不含边界

所以取开区间，即4+2〃e(1,2).

2,已知A4BC为边长为2的等边三角形，动点尸在以8C为直径的半圆上.若刀=则

22+/Z的取值范围是

答案：1,2

_2_

【解析】如图，取4B中点为

AP=AAB+〃AC=2AAD+juAC

显然，当P与C重合时,22+〃取最小值1.

将CD平行移动至与。。相切处，

P为切点时,22+//取最大值.

延长尸。交C。于G,易知OG=OF=FP=L.

2

FFAP5

由等和线及平行截割定理,——=2,——=—.

FPAE2

所以24+〃的最大值为

故22+〃的取值范围是1,1.

3.若点C在以尸为圆心,6为半径的弧AB上，且PC=xPA+yPB例2x+3y的取值范围为

【解析】令定=(2x+3y)而，

则RD=--—PA+—-—PB,

2x+3y2x+3y

—»2x3v►

即PD=--------PA+—,

2x+3y2x+3y

—►1—►—►1—►

其中尸/=—PA,PB】=-PB.

1213

由于在△尸4片中,|尸41=3,1尸团=2,N4尸4=120°,

且点。在线段4片上（含端点4,4）,

因此|尸〃&IP。W|041，其中PH是边4A上的高.

44=（PB1-P4）=PB[+04-2PB\-PAX=19

可得|4团=炳.

-smAAPB=^\A^-\PH\

邑邮=|KI-KIxx

可得1P8卜得z.

所以，:一（尸。区3.

再由定=（2x+3y）所

可知2x+3%四=上』2,2].

|叩|尸。[3J

4.设长方形ABCD的边长分别是AD=1,4B=2点P是ABCD内（含边界）的动点，设AP^xAB+yAD,

则x+2y的取值范围是

解:如图，取40中点£，则

AP=xAB+2yAE,

此时的等和线为平行于BE的直线显然，当点P与点、B重合时,x+2y最小为1,当点尸与C重合时,x+2y最

大，

…CFBC0

由于——=——=2,

AFAE

AT

所以空二3,

AF

AC

于是x+2歹的最大值为仝=3,

AF

所以x+2y的取值范围是工3].

♦♦即时检测

>=?.若万=X方+〃翔贝I]

1.在矩形ABC。中，48=1,AD=BP为矩形内一点，且//

2+百〃的最大值为（）

A2RV6r3+君Dn+3行

2244

【答案】B

【分析】可根据条件画出图形，根据图形设=>0<^<|,则/又可用刀,而表示为:

%=—cosO

j,所以

u=­sin0

2

彳+百〃=¥"+$吊。)=争中+£|,而］。+力最大值为1,所以彳+圆的最大值为手.

7T

【详解】如图，设ZPAE=0,0<0<—,

则：AP=AE+AF-cosOAB+?厂—AD-cos0AB+—sin3AD

2022

XAP=AAB+jLiAD；

,6A

X=—COSU

2

1.八

u=­sintf

2

2+V3/Z=告(cosd+sinS)=^^sin[e+j；

.•/+。〃的最大值为日.

故选B.

【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数situ的最大值，以及平面向量基本定理.

2.2023•安徽淮南•一模)已知G是A/8C的重心，过点G作直线血W与42,/C交于点,且疯=苫方,

AN=yAC,(x,y>0),则3x+y的最小值是

87542rr

A.-B.一C.一D.-+-V3

32233

【答案】D

【分析】首先根据M,G,N三点共线得到*=/翔+(17)而，也就是善=代屈+(1-/力/，再利用

—►1—>1—►11

+得到丁丁3,最后利用基本不等式求3x+y的最小值.

【详解】

G

BC

因为〃,G,N三点共线，i^AG=tAM+(l~t)AN,因为而=x9,RV=yK,所以

AG=tx'AB+(l-t)yAC,又G为重心，故前=+g就，而方，就不共线，所以fcc=；,0_f)y=；,

也即是1+'=3.

xy

3x+y=w(3x+y)]=g4+f—H],由基本不等式可以得到：

3(xy)3](尤J)_

^+—>273,当且仅当x==@+,等号成立，故3无+了的最小值为&+毡，故选D.

x>93333

【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等"，如果原代数式中没有积为定值或和为定值,

则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

3.已知。是A43C内一点，且9+历+反=。，点”在A03C内(不含边界)，若翔=花3+〃胃，则

彳+2〃的取值范围是

A.[1,jB.(1,2)C,0。

【答案】B

【解析】根据万+无+双=6可知。为A48C的重心；根据点M在A08C内，判断出当M与。重合时,

2+2〃最小；当M与C重合时，丸+2〃的值最大，因不含边界，所以取开区间即可.

【详解】因为。是A48C内一点，且次+砺+反=。

所以。为AA8C的重心

”在AO8C内(不含边界)，且当M与。重合时，4+24最小，此时

~AM=XAB+/JAC=^-x1(A8+l4C)]=128+1^C

所以2=；,〃=；,即2+2〃=l

当M与C重合时，4+2〃最大，此时

AM=AC

所以2=0,4=1,即4+2〃=2

因为M■在AOBC内且不含边界

所以取开区间，即4+2〃e(l,2)

所以选B

【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题.

4.（22-23高三上•江苏南通,开学考试）在“8C中，AB=3,AC=2,A=^,过的外心。的直线（不

经过点A）分别交线段/5,/C于。,E,且石=力冠，AE=^AC,则2+〃的取值范围是（）

11+4指1311+4直23

B.

18101815

「14+3逐13-14+37623~

D.

18101815

【答案】B

【分析】求得3c=疗，外接圆的半径一苗，设而=x：^+y就BO=(x-\)AB+yAC,

CO=xAB+{y-V)AC,|^o|=|so|=|co|=|结合益=彳而，荏=〃就和

。,。逐三点共线，得到《+力1,进而求得。*，学，利用基本不等式和函数的性质，即可求得"

取值范围.

TT

【详解】因为“8C中，AB=3,AC=2,A=^,

4I

由余弦定理可得3c2=Ng2+/C2-2/2-/Ccos-=9+4-2x3x2x-=7,

32

BC_41

即BC=5

2sin/拒

设前=x^+y就,

贝！]丽=互5+超=(x-l)君+y就，CO=CA+AO=xAB+(y-l)AC,

所以|阿卜9x2+4(y-1)?+6x(y-1)=1,

77

同理可得9(x-I)2+4y2+6(x-l)y=-,9x2+4(y-I)2+6x(y-1)=-,

解得x=3=9，所以与"万+

9696

__k—►41—►11—.

又因为而=4万，AE=JLLAC,所以4。=了不4。+/一力£,

9Z6//

41

因为三点共线，可得港+丁=1,

926〃

因为所以4(言+?-)£[0刀，所以“工；,

946〃〃3

1Q

同理可得0<〃41,所以一

〃15

所以'+"=("+〃)匕+))=小小费

设，='e/，学，可得几+〃=巳+[+!

〃1531869t

令g⑺=布11+7/+金4，可得g")=w1一4菊，令g'(')=。，解得”等

当一

时,g，(x)<0,g⑺单调递减;

当te(时,g*)>0,g(f)单调递增,

所以当仁卒时,11411+4指

九+〃取得最小值，最小值为口+2.—X—=-----

V3186918

又由g/w,g单嗡，可得g(2>g单,

Qno

所以当f就时，X+〃取得最大值，最大值为言，

所以2+〃的取值范围是11r」,工.

故选：B.

考点三、“X-/或，力”型综合

典例引领

')I►►►__

1.如图，已知0为锐角三角形N6C的外心,Z=§,且CM=xOB+.yOC,求2x—y的取值范围？

解：

作圆。的直径CE,8D,则点A在劣弧上运动.于是04=(-x)OD+(-y)OE.其中x<0/<0.

考虑到问题涉及的代数式为2x-y,为了利用向量分解的系数和的几何意义，

将条件转化为CU=2xOD+(-y)OE.

1—.--

此时可知连接向量-5。。的终点厂与向量。£的终点E的直线EF即等系数和线，于是2x-y=1.

依次作出其余等系数和线，可得2x-y的取值范围是(-2,1).

即时

1.(2023・全国•高三专题练习)在矩形ABC。中，AB=1,AD=6,动点P在以点C为圆心且与BD相切

的圆上.若/P=448+。，则文-〃的最小值为()

A.V3B.1C.-1D.-百

【答案】C

【解析】以A为原点，直线AB,A。为x,y轴建立平面直角坐标系，求出圆C的标准方程，可得尸的坐标

的参数。形式，再由万=4标+〃石用坐标表示，这样力-〃就可表示为。的三角函数，由三角函数恒等变

换可求得其最小值.

【详解】以A为原点，直线阳，AD为x,y轴建立平面直角坐标系，则8(1,0),C(l,6)，D(0,V3)

Ll厝+6-向Jj

直线％D；Cx+y=C,圆C与直线8。相切，所以圆C的半径r=/广〔=?,圆C的方程为

7(^)2+122

GT)?+(y-V3)2,

(nn、_(Rn、

设点尸1H----cos6*,A/3H----sin6*,即/尸=1H----cos0,y/3-\----sin6),

122J(22J

又万二LAB+JLLAD=(兀4羽,

2

所以几一//=l+^^cos8—[l+；1sine

—cos^--sin^=cosf+j>-l.

222

即e=2左乃+-^,左£z时，4一〃取得最小值一i.

6

【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量方用两种不同方法表示，从

而把〃表示为参数。的三角函数，利用三角函数知识求得最小值.

考点四、“加mw”或“用九〃〃”型综合

典例引领

L（2023•浙江•高三专题练习）如图，在直角梯形/BCD中，AB±AD,AB//DC,AB=2,

AD=DC=l,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为。，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动.若

AP=xAB+yAC,其中x,yeR,则4x-y的取值范围是（）

\C3行]、而亚c忖V17,V17

A.2,3H-------B.2,3H-----------C.3------,3H------D.3-------------,3-1-------

424222

【答案】B

【分析】建立直角坐标系，将4x-y由2点坐标转化后数形结合求解

【详解】以A点为坐标原点，AB,AD方向为轴正方向建立直角坐标系，则

m+n

AB=(2,O),5C=(-1,1),设尸(检〃),则加一2",,解得，

2,

l"=yy=n

故z=4x-y=2加+〃，即〃=-2m+z,

数形结合可得当尸(3,1)时，z取最小值2,

当直线与圆。-1)2+3-1)2=:相切时，=Z取得最大值3+好.

4V522

故选：B

2.R022春♦安徽六安•高三阶段练习)在直角梯形48CD中，ABLAD,DC||AB,AD=DC=\,AB=2,E、

尸分别为48、2C的中点，点尸在以A为圆心，4D为半径的圆弧上变动，(如图所示)，若

AP=AED+/jlF,其中贝124-〃的取值范围是.

【答案】[-U]

【分析】如图以人民40为轴建立直角坐标系，设尸(cos/sina)0,,则可表示出存的坐标，

可列出关于4〃的不等式组，表示出4〃，利用三角函数恒等变换公式化简，从而可求得结果

31

【详解】如图以力丛4。为'J轴建立直角坐标系，则40,0),5(2,0),C(l,l),W,l),£(L0),

—.―31

所以ED=(-1,1),

设P(cosa,sina)[aG0,—

因为万二2万+〃静

31

所以(cosa,sina)=(-2+-//,2+—//)

cosa=-2+—//

所以J,

sina=4+

解得力=；(3sina-cosa),〃=；(cosa+sina),

所以2X-=msina—；cosa-；cosa-；sina=sina-cosa=V^sin]a-?

TTTTTTTT

因为0,—,所以。一:£,

L2j4L44j

所以----<sma——<——,

2V4j2

所以TW拒sin(a_5)Wl,即TW2X—〃W1,

故答案为：[T1]

即时性测

1.（2023•四川•校联考三模）在直角梯形/BCD中，AB1AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

别为BC,C。的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交A4及其延长线于点M,N,点尸在痂市上

运动（如图）.若1?=m+项,其中2,〃eR,则24-5〃的取值范围是

C.[-272,2]D.[-272,272]

【答案】C

【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出22-5〃=2cosa-2sina,进而用辅助角公式

以及三角函数的性质即可求解.

分别以所在直线为x轴，了轴，益,而方向为正方向建立直角坐标系，知

8（2,0）,「（0,1）,£（2,1）,《1,目，

设尸（cosa,sina）（owem兀），由方=彳赤+〃而得：（cosa,sine）=2（2,1）+〃（一,即

2/L-//=COS6Z

,3.,

Z+—//=sincr

贝lj24—5〃=2cosa—2sina=2拒sin（a+,

由0VaV7i可得：—<«+—<—,则TWsin［a+型］〈也，故一2拒42应sin（a+型］42.

则22-5〃的取值范围是［-2夜,2］.

故选：c

考点五、系数和（等和线）的综合应用

1.如图所示，A43c中，NC=3,点”是2c的中点，点N在边NC上，且AN=2NC,与BN相交于

点尸，且PN=2PM,则AIBC面积的最大值为

【答案】5

【分析】根据题意设3"=a。'="作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理

分别表示出五瓦方，即可求得/P：PM,BP：PN的值，再设尸M=2f,求得PN,PA,PB,设A4/W的面

积为无，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求A43c的面积的最

大值.

【详解】设两=扇函=不，

则为7=就+西=一36一。，BN^BC+CN^2a+b,

•••/、P、M和5、P、N分别共线,

存在实数入、5^.AP=AAM=-Aa-3Ab,13P=]uBN=2jua+jLib

故囱=丽-存=(彳+2〃))+(3/1+〃明.

^\'BA=JC+CA=2a+3b

j4+2〃=2

[3/1+//=3，

力」

解得？，

—■4-—■3—•

i^AP=-AM,BP^-BN

即AP：PM=4：1,BP-.PN=3：2,

设尸则尸N=2f,PA=4t,PB=3t,t>0,

设ZUPN的面积为x,UPN=a,

在A4尸N中，AN=2,/尸=47,PN=2t,

HI•殂4厂+16t~—45t~-1.J-9〃+10/2-1

口」得cosa=----------------=------,sma=-------------------,

2.4/-2Z4r4t2

则x=；♦4加2加sina=J-9r+10/_]=_胃+^<!

当/=，，即f=Y1时，x取得最大值：，

933

33%

而A45尸的面积为彳x,△_§尸A/的面积为?，

28

贝A48c的面积为2(3?x+?3x)=?15x,

284

154

则A45C的面积的最大值为=5.

43

故答案为：5.

2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅''勾股圆方图〃，后人称其为''赵爽弦图〃.如图，它是

由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知上汨=2EB,M为线段的中点，设尸为

中间小正方形即GH内一点（不含边界）.若诉=痴屈-而,则彳的取值范围为.

【答案】（2,4）

【分析】由题意府=彳施+南，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即可求解.

【详解】过点A作/K〃板，分别交即,EF于点N,K,

过点N作N0〃/3,交ME的延长线于点。，

过点K作KL〃4B,交ME的延长线于点如图，

由称=4运-施=2疏+通！

可知，点尸在线段诋上运动（不含端点）.

当点尸与点N重合时，MP=MQ+MA=2ME+MA,可知4=2.

当点尸与点K重合时，MP=ML+MA=4ME+MA，可知2=4.

故几的取值范围为（2,4）.

故答案为:（2,4）

2222

3.（2023•黑龙江哈尔滨•一模）如图，椭圆三+q=1（。>6>0）与双曲线二-1=1（机>0,〃>0）有公共焦

点片（-c,0）,^（c,0）（c>0）,椭圆的离心率为e一双曲线的离心率为02，点尸为两曲线的一个公共点，且

4/q=60。，则4+2=；/为△甲岑的内心，耳/,G三点共线，且百."=o，x轴上点48满足

e\e2

AI=AIP，BG=^GP,则分+〃2的最小值为.

【答案】41+2

2

【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出|尸片|,|尸周，在利用余弦定理

建立关于离心