2025年高考数学好题必刷模拟卷（五）（解析版）

备战2025年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（新高考）

第五模拟

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求.

1.已知集合尤一4)2<16},N={2,5,8,11},则()

A.{2}B.{2,5}C.{2,5,8}D.{2,5,8,11}

【答案】B

【详解】

由题意得：M={x[T<x-4<4}={x[0<x<8},又双={2,5,8,11},

回McN={2,5}.

故选：B.

2.已知N为复数z的共粗复数，且z+4i=2彳-3,则|z|=()

710J9711

A.-B.—C.-----D.—

3333

【答案】C

【详解】

解：设2=1+历,々/*R,则彳=〃一历，

因为z+4i=25—3

故.+历+4i=2(〃一历)一3

即a+(b+4)i=2〃-3-2/7i

。=3

a=2a—3

,解得:4

Z?+4=-2bb=-

3

4

故z=3-,

故选：c.

3.〃冰墩墩〃是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款〃冰墩墩〃盲盒外包装上标注隐

藏款抽中的概率为J,出厂时每箱装有6个盲盒.小明买了一箱该款盲盒，他抽中k（0W6,k回N）个隐藏

款的概率最大，则k的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】

【答案】B

【详解】

由….白=.'得.为偶函数,故排除选项A，D；

22

在区间(0,+8)上，令玉<%2，贝!-7<1-—―-

2X|+12上+1

2J2J

即0<

2国+12电+1

2』-12巧-1

改x,-----<Xn------

2〜+12电+1

故/(%)＜八%2)，

故f(X)在(0,+8)上为增函数.

故选：B.

5.已知sin[a—kj=1,贝ljcos[2a—()

7

D.

9

【答案】D

【详解】

cos(2a-=l-2sin21a一看)=l-2x"=：

故选：D.

6.2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，

触目惊心，令人痛心!〃谁知盘中餐，粒粒皆辛苦〃，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还是始终

要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟，某市有关部门为了宣传''节

约型社会〃，面向该市市民开展了一次网络问卷调查，目的是了解人们对这一倡议的关注度和支持度，得

到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分工(满分：100分)服从正态分布

N(92,2?),贝|P(90<x<96)=()

[附：若随机变量自服从正态分布则

PQi-b<《<〃+cr)=0.6827,P(〃一2cr<片<4+2cr)=0.9545]

A.0.34135B.0.47725C.0.6827D.0.8186

【答案】D

【详解】

•/随机变量工服从正态分布N(92,22),.•.〃=92,b=2.

P(90<x<94)=0.6827,

/.P(90<%<92)=0，6127=0.34135.

・・•尸(88<%<96)=0.9545,

o9545

P(92〈尤<96)=——=0.47725.

P(90<x<96)=0.34135+0.47725=0.8186.

故选：D.

7.如图，双曲线C:£-/=l(a>0,8>0)的左、右焦点分别为耳，F],以F?为圆心，国图为半径的圆与

两条渐近线交于A,B,C,。四点,ZACB=90°,则双曲线的离心率为()

C.小D.3

【答案】C

【详解】

如图，连接A3

因为NACB=90。，故AB为。&的直径，故A,E，8三点共线且ABL不居.

।।...।b仍居|

又忸局=闺司=2°,|Og|=c,故%=%=烷|=2,

故"

故选:C

8.十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集"是数学理性思维的构造

产物，具有典型的分形特征.仿照"康托三分集"我们可以构造一个“四分集"，其操作过程如下：将闭区间

[0H均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间0,1,Q,|,

分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础

上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段.操作过程不断地进行下去，以至无

穷，剩下的区间集合即是"四分集".若使去掉的各区间长度之和不小于],则需要操作的次数”的最小值

为(参考数据：1g2^0.30,1g3«0.48)()

A.12B.11C.10D.9

【答案】B

【详解】

第一次操作去掉的区间长度为J,

4

第二次操作去掉3个长度为本1的区间，长度和为3京，

2

第三次操作去掉32个长度为j1的区间，长度和为3京，

1

第"次操作去掉3-1个长度为小的区间，长度和为J,

44

所以进行"次操作后，所有去掉区间长度和为s=；+5+/…+1=

319

由题意知「[）"•・、,

故〃的最小值为11,

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把"="作为等号使用，后来英国数学家哈

利奥特首次使用"<"和">"符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若。<匕，

则下列结论错误的是（）

B.a2<b2

D.ln(Z>-a)>0

【答案】ABD

【详解】

对于A,若,当。匕彳0时，则可能成立一或一>:，故A错误;

abab

对于B,若a〈b,贝q可能成立/或/>/,故B错误;

对于C,若a<b,成立，故C正确;

对于D,若a<b,则，一。>0,则可能存在ln（6-a）>0,lnS-a）=0,ln（6-a）<0,故D错误.

故选:ABD.

10.已知某物体作简谐运动，位移函数为/⑺=2sin（r+0）（rZO，M[<]）,且/（与）=_2,则下列说法正

确的是（）

A.该简谐运动的初相为7

o

B.函数/（，）在区间上单调递增

C.若贝厅⑴e[l,2]

D.若对于任意讨2>。，有/⑷=F（E），则|/（%+」）|=2

【答案】AC

【详解】

解：因为/(0=2sin(r+e)«>0,冏<今，且/(W)=_2,

(47r\47rTT

所以一2=2sin---1-^9,即---\-cp=---F2ki,keZ,所以9=——F2%肛keZ,

因为所以夕=£

所以/⑺=2sin，+[],

所以对于A选项，简谐运动的初相为7,故正确；

O

对于B选项，函数/(：)在区间N,。)上单调递增，事]上单调递减，故错误；

对于C选项，当代0,jr-时，r+ITTT27r,所以si7nTTVsin(,+7T"\4si71n=即1彳Wsin\t+7f1\41,所

_2J6|_63J6I6J2216J

以广⑺e[1,2],故正确;

对于D选项，取「9也=!满足/(。)=/仁)，但|/&+"=142,故错误

o2

故选：AC

X

11.已知函数/(%)=;~豆，则下列说法中正确的有()

1+X

A.函数/(x)的值域为一；,；

B.当时，y=f(x)与片tanx的图象有交点

C.函数g(x)=3的最大值为:

xJ-51x+192

D.当x>0时，/(尤)Ve*-1恒成立

【答案】ACD

【详解】

0,x=0

对于A,/(%)=,―又1>0时，y=x+—>2,无=1时等号成立；当x<0时,

1x

XH--

1<11<1

>=尤+_=_(_1+工)<_2,x=T时等号成立，所以一^4[<或[4],

X—Xx+—x+—

XX

综上，f(x)e,故正确；

对于B,当时,tai"〉士’故错误;

3

x——

对于c,x=。时，g(x)=。,"。时，g(x)D_____x3

"a-%X

X

结合选项A知，g(X)max=；，正确;

对于D,xNO时，f(x)<x<ex-l,(xWe-l可数形结合也可导数证明)，正确.

故选：ACD

12.如图，边长为2的正方形A3CD中，E,F分别是ABIC的中点，将AADE,ACD£ABEF分别沿

DE,OF,打折起，使A,B,C重合于点P,则下列结论正确的是()

A.PDLEF

2

B.点P到平面DEF的距离为l

C.三棱锥尸-DEF的外接球的体积为2后

D.二面角尸一所-。的余弦值为

【答案】AB

【详解】

对于A选项，作出图形，

取EF中点H,连接PH,DH,由原图知ABEF和AAEF均为等腰三角形，故PHLEF,DH±EF,又

因为=所以EF_L平面尸£汨，又PDu平面PZ史，所以PD_L£F,A正确;

根据题意，可知三线两两垂直，且尸E=PF=1,PD=2,在△PHD中,

--由等积法可得J_xLxlxlx2=」x'x忘x^^x/i,得〃=],B正

2'（212323223

确；

由尸后尸冗尸。三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥尸-DE尸的外接球，长方

体的体对角线就是外接球的直径，设为2R,则（2尺）2=/+仔+22=6,则氏=乎，所以所求外接球的体

4L

积为§万斤=6乃，C错误；

PH1

面角，易证PD_L平面尸EF,则尸£>_1_尸”，即/OPH=90。，在及中，cos/PHD=——=-,D

DH3

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知同=训=4,£与分的夹角为60。，则%-3石在B上的投影为.

【答案】-9

【详解】

(2a-3b\b12-48

解：由题意得投影为：、=^^=-9,

\Jb\4

故答案为：-9

14.若点歹是抛物线/=4x的焦点，点弓。=1,2,3,4)在抛物线上，且庭+9+9+率?=6,则

丽+质+|叫+刖=.

【答案】8

【详解】

尸是抛物线丁=4x的焦点，则歹(1,0),设是4%),

则勺尸+P[F+RF+F^F=(1—X],yj+(l—w，+演,％)+(1一匕，％)="

故玉+W+F+%4=4,

故答案为：8

15.己知函数/(彳)=1咆(/+2)+黄亍若〃2x+l)W(x),则实数x的取值范围是.

【答案】

【详解】

〃元)的定义域为R,且/(-尤)=1嗅(尤2+2)+¥&=/(可，即〃元)是定义在R的偶函数，

当xe(O,y)时，y=/+2单调递增，贝”=1°g|y+2)单调递减，又y=3忖+1单调递增，贝曲=”二

33+1

单调递减，

所以“X)在(O,+8)单调递减，

不等式f(2x+1)>/(%)等价于/(|2%+1|)>/(|x|),贝”2x+l|V此解得-l<x<-1,

所以实数x的取值范围是-1,-1.

16.2021年9月，我国三星堆遗址出土国宝级文物"神树纹玉琮"，如图所示，该玉琮由整块灰白色玉料

加工而成，外方内圆，中空贯通，形状对称.为计算玉琮的密度，需要获得其体积等数据.已知玉琮内

壁空心圆柱的高为八，且其底面直径为d,正方体(四个面与外侧圆柱均相切)的棱长为a,且d<a<h,

则玉琮的体积为.(忽略表面磨损等)

［答案］里&

44

【详解】

由题意可知，玉琮是由上下两个圆柱和中间一个正方体组合成的几何体挖去中间一个圆柱而形成的组合

体，

其中上下圆柱的体积为乂="色［><他-a),

正方体的体积为匕=Y,

挖去圆柱的体积为匕=义h,

则玉琮的体积为V=X+匕一匕=7lx［Sx(/l-4)+。3_兀、0x/z

_7ia2(/z-6!)3兀［2/z

44

故答案为：+八型匕

44

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在AA5c中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,已知c=4,6=2,sin2C=sin3,且

i___,o—

。为8C的中点，点E满足屈=］旗+§AC.

A

(1)求。的值；

(2)求cos/DAE的值.

【答案】

hr

(1)解：在ZiABC中，----=-----=>2sinB=sinC,

sinBsinC

[Esin2C=—sinC=>2sinCcosC=—sinC=>cosC=—,

224

团a?+4—2a,2,—=16=>a?—a—12=0,(a+3)(a—4)—0,

所以〃=4；

b1+C1-a24+16-161

(2)解:cosA=

2bc2x2x4~4

由而=g回+码，

得而=^AB+AC+2AB-AC^

=—xfl6+4+2x4x2x—|=6,

4I4；

所以AD=而，

/J回+4急一通.呵=卜[16+16+442.；卜寺,

所以H字

而£>E=!BC」8C=LX4=2,

2363

「404

6+--------

cosNDAE=-----2_9

在△ADE中，

2.后湎4

3

18.在①q+&+%=15,②邑=15,③/（S3-3）=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并

解答.已知公差不为0的等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S,，。3是〃2与〃6的等比中项，.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)若b„Sn+3=2,求数列也｝的前”项和7；.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】

(1)选条件①.

设等差数列｛«„｝的公差为d(d手0),

所以(%+2d)~=(%+])(«[+5d)za%=-1

则依题意得,-3(%+3d)=15

q+。4+%=15d=2

所以数列｛%｝的通项公式为4=T+2x(〃—1)=2〃—3；

选条件②.

设等差数列｛4｝的公差为或〃W0),

用=%必，|(4+2d『=(q+d)(q+5d),得四二-1

则依题意得,

5%+10d=15q+2d=3=2

所以数列｛%｝的通项公式为aa=T+2x(〃-1)=2〃-3.

选条件③.

因为用是电与生的等比中项，所以四片。，

由03(53-3)=0,可得$3=3,

设等差数列｛4｝的公差为W0),

则依题意得，『誉所以啊+2/(%+0(%+5叱得上;1,

[34+3d=3[q+d=l[a=2

所以数列也｝的通项公式为纥=-1+2*5-1)=2〃—3.

(2)由(1)可得S“二〃(T；"3)=9_2).

,2211

因为2s用=2,所以"=%=("+ig+3)-Q一示，

__1111111111

243546nn+2n+1n+3

_j_]__11_5_11

23n+2〃+36n+2n+3

19.如图，PA_L平面ABC,ZBC4=90°,R4=AC=3C=2,F为BC的中点，E为PC边上的一点.

R

A

B

(1)求异面直线BC与AE所成角的大小;

(2)若二面角E-AF-C的余弦值为好，求此时三棱锥5-4£尸的体积.

6

【答案】

(1)因为PA_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以PA_LBC,又NBC4=90。，

所以BC_LC4,CAIPA=A,所以BC_L平面PAC,AEu平面以C,

则BCLAE,即异面直线BC与AE所成角的大小为90°.

(2)根据题意，以C为原点，C4CB所在直线分别为x、y轴，过点C作AP的平行线为z轴建系C-孙z,

则ZPCA=45°,设点E到平面ABC的距离为，

则回见0,加)(0(加＜2),又4(2,0,0),C(0,0,0),8(0,2,0),尸(0,1,0),

得通=。”-2,0,切)，AF=(-2,1,0),设平面AEF的一个法向量为3=(x,y,z),

AE-S^(m-2)x+mz^0人12-m-2-m

得—._,令x=l,可得y=2,z=-------,即s=(l,2,--------).

AFS=-2x+y=0mm

平面ACF的一个法向量亍=(0,0,1),设E-AF-C的平面角为6,则cos心包,

6

I0+0+—Ir

所以cosO=/m=77,得〃7=1,

Jl2+22+(^―^)2xVo+0+12

Vm

即点E到平面ABC的距离为1,又因为SAAFB=SaACB-SAACf=2-1=1,

所以匕-的二匕一诉二;久入京/=；*：!*＞；，

故三棱锥3-A£F的体积为;.

20.已知圆。：/+＞2=3,圆。2：/+)；2=4,端点为原点的射线/交圆。I于Af,交圆。2于N,过M作

平行(或重合)于X轴的直线过N作平行(或重合)于y轴的直线4，乙与4交于点E.记E的轨迹为

曲线C.

(1)求C的方程；

(2)若点A,8是曲线C与X轴的交点区＜/)，直线＞=左0-附(人20)交曲线C于P,Q,kAP=2kBQ,

求m.

【答案】

(1)设以了轴正半轴为始边，/为终边的角为

则M(6cos0,V3sin0),N(2cos0,2sin6»),

设E,则忆募仇故留+闺=],即今畀，

22

故C的方程为土+匕=1.

43

(2)由题意，4-2,0),3(2,0),设尸(西,另)，Q仇,%),

将y=A(x-"z)代入C的方程整理得，(3+4左2)了2-8左。次+4左\"2-12=0,

,,8廿m4左2苏-12

故”=上,而=则£=一：（后一4

考-4

3

故怎2'kAQ=~~-

3即____>122_____3

故由勤=2%得,k.k—Ok.k

几AP几A。一4"BQ^AQ5'即（%+2）（%+2）2

将K=左a-加），必=人（々一加）代入整理得，

222

（2k+3）玉*2+（6—2左2加）（%+尤2）+2km+12=0,

即（2k2+3＞叱疗-[I?+（6-2k248amz+2k2m2+12=0,

3+4左3+4左

整理得k2（3m2+8m+4）=0,解得m=-2或机=-1.

2

当机=-2时，点（肛0）与点A重合，不合题意，舍去，故加=-§.

21.2021年国庆期间，重庆百货某专柜举行庆国庆欢乐大抽奖活动，顾客到店消费1000元及以上，可

参加一次抽奖活动.抽奖规则如下：从装有10个形状大小完全相同的小球（1个红球，2个白球，7个

黑球）的抽奖箱中，一次性抽出3个球.其中1红2白，则全免单，1红1白1黑，则享受5折优惠，1

红2黑，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠.

（1）若某位顾客消费价格为1000元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望；

（2）若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满1000元售货员可获得40元的提成；若顾客通过抽奖

享受7折，5折或免单优惠，则每消费满1000元售货员可获得20元提成.若某售货员在某天可以接待

10名消