2024-2025学年山东省济南市某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济南市高新第一实验中学九年级（上）开学

皿「，、忆\_rx、/上

数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）

A❶BC令

2.代数式4nI?一声因式分解为（）

A.(2m—n)(2m+n)B.4(m—n)(m+n)

C.(4m—n)(m+n)D.(m-2n)(m+2n)

3.若正多边形的一个内角度数为144。，则这个多边形的边数为（）

A.10B.12C.8D.7

4.如图，点。，E分另（J在的48,4c边上，旦DE〃BC,如果AO：AB=2：3,那么DE：等于（）

A.3：2

B.2：5

C.2：3

D.3：5

5.如图,在△ABC中，D、E分别为48、AC的中点，CF平分

()

A.1B.2

C.3D.4

6.如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字

所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）.将两指针所指的两

个扇形中的数相加，和为6的概率是（）

124

3

7.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产60。台机器所需时间与原计划生产450台机器

所需时间相同.设原计划平均每天生产％台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A3600_450

x+50B-声x%—50

8.如图，在口ABCD中，对角线BD1AD,AB=10,AD=6,。为BD的中点，E为边力B上一点，直线E。

交CD于点F,连接DE,BF,下列结论不成立的是（）

A.四边形DE8F为平行四边形-------7f——7c

B.若AE=3.6,则四边形DEBf1为矩形//

C.若4E=5,则四边形DEBF为菱形/1/XI/

AEB

D.若力E=4.8,则四边形。EBF为正方形

9.如图，在矩形4BCD中，AB<BC,连接4C,分别以点4C为圆心，大于g/lC的长为半径画弧，两弧交

于点M,N,直线MN分别交力D,BC于点E,F.下列结论：①四边形2ECF是菱形；②"FB=2乙4CB；

@AC-EF=CFCD；④若4尸平分N84C,则CF=门48.其中正确结论的个数是（）

A:.4二/M

10.已知多项式M=2x2—3%—2.多项式N=%2—ax+3.

①若M=0,则代数式曹三•的值为名

②当a=-3,%>4时，代数式M-N的最小值为一14；

③当a=0时，若M-N=0,则关于x的方程有两个实数根；

④当a=3时，若|M—2N+2|+|M—2N+15|=13,则无的取值范围是一（<x<2.

以上结论正确的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.当x时，分式占有意义.

12.如图，已知口2BCD中，点E在C。上，喋BE交对角线"于点F.则

ED2

CF

AF=------'

13.如图，在宽为20a，长为30机的矩形地面上修

建两条宽均为乂山的小路（阴影），余下部分作为草

地，草地面积为55162,根据图中数据，求得小

路宽％的值为

14.清朝数学家梅文鼎在著作怦三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角

形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角

形，得出了一个结论：如图，AD是锐角AABC的边BC上的高，贝ijBD=T（BC+

竺土史$,当=7,BC=6,2C=5时，则△ABC的面积为

BC

15.如图，在菱形4BCD中，Z.BAD=120°,CD=4,M,N分别是边

AB,2。的动点，满足4M=DN,连接CM、CN,E是边CM上的动

点，尸是CM上靠近C的四等分点，连接4E、BE、NF,当△CFN面积

最小时,《BE+ZE的最小值为.

三、解答题：本题共10小题，共91分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16•先化简，再求值：（恐一2m＞总,请在2,一2,0,3当中选一个合适的数代入求值・

m2—4-

17.（本小题7分）

解方程:

(1)3久2—4%=1；

(2)(3y—2)2=(2y—3)2.

18.（本小题8分）

如图，矩形4BCD的对角线AC的垂直平分线与边力。、BC分别交于点E、F,求证：四边形力FCE是菱形.

B

19.(本小题8分)

某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲.要合奏的乐曲是用游

戏的方式在《月光下的凤尾竹》与修云之南》中确定一首.

游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2,3,4的四个小球(除标号外，其余都相同

),甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a.在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2的

两张卡片(除标号外，其余都相同)，乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b.然后计算这两个数

的和，即a+b.若a+b为奇数，则演奏伪光下的凤尾竹/；否则，演奏像云之南力.

(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求(a,b)所有可能出现的结果总数；

(2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？

20.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程/—2x+m—1=0

(1)当他取何值时，这个方程有两个不相等的实根？

(2)若方程的两根都是正数，求小的取值范围；

(3)设是这个方程的两个实数根，且1-乂1%2=好+慰，求小的值.

21.(本小题9分)

党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.为扎实做好育人工作，某校深入开展

“阳光体育”活动.该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动.已知一副

羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相

等.

(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；

(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费

的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？

22.(本小题10分)

如图，Rt△4BC的两条直角边4B=4cm,AC=3cm,点。沿48从4向B运动，速度是lczn/秒，同时，点

E沿8c从B向C运动，速度为2on/秒.动点E到达点C时运动终止.连接DE、CD、AE.

(1)当动点运动几秒时，ABDE与△48C相似？

(2)当动点运动几秒时，ABDE的面积为1.8C巾2?

(3)在运动过程中是否存在某一时刻3使CDLDE?若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

23.(本小题10分)

阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程(7)2—13/+36=0,如果我们把/看作一个整体，然后设y=/,则原方程可化为y2—

13y+36=0,经过运算，原方程的解为勺,2=±2,%3,4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换

元法.

材料2

已知实数n满足?n?—m—1=0,n2—n—1-0,且m力n,显然zn,n是方程——%—1=。的两个

不相等的实数根，由韦达定理可知m+71=1,mn=-1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程--5%2+6=0的解为；

(2)间接应用：

已知实数a,b满足：2a4—7a2+l=0,2b4—7b?+1=0且a力6,求a。+6"的值；

(3)拓展应用：

已知实数久，y满足：二+上=7,几2一九=7且72>0,求二:+九2的值.

rrr

24.(本小题12分)

如图所示，&ABC,AADE为等腰三角形，^ACB=^AED=90°.

(1)如图1,点E在上，点。与C重合，尸为线段8。的中点，则线段EF与FC的数量关系是；KEFD

的度数为.

(2)如图2,在图1的基础上，将AADE绕月点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、4、C在一条直线上，F为

线段8D的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论.

(3)若AADE绕2点任意旋转一个角度到如图3的位置，F为线段B。的中点，连接EF、FC,请你完成图3,

请猜想线段EF与FC的关系，并验证你的猜想.

25.(本小题12分)

矩形4。8c在平面直角坐标系中的位置如图所示，点4在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接

AB,将A/IBC沿4B折叠得AABE,4E交y轴于点D,线段。D、。4的长是方程/—7%+12=0的两个根,

且。4>0D.

(1)请直接写出点a的坐标为,点。的坐标为；

(2)点P为直线AB上一点，连接P。、PD,当AP。。的周长最小时，求点P的坐标；

(3)点M在x轴上，点N在直线2B上，坐标平面内是否存在点Q,使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方

形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】力|

12.【答案吗

13.【答案】1

14.【答案】6<6

15.【答案】3

16.【答案】解：原式=

mm+22mm+2

=--------x----------------------------------x---------

m—2m(m—2)(TTI+2)m

m+22

~m—2m—2

m

-

m—2

•••分式分母不能为0,

THW±2,0,

TH取3,当m=3时,

原式=3^2=3-

17.【答案】解：(1)3%2-4x-1=0,

4=(-4)2-4x3x(-1)=28>0,

-b±J^Tac_4±2V7_2±V7

2a2x33

(2)(3y—2产一(2y—3)2=0,

(3y-2+2y-3)(3y-2-2y+3)=0,

3y—2+2y-3=0或3y-2-2y+3=0,

解得%-1V2=-L

18.【答案】证明：在矩形4BCD中，AD//BC,

zl=z2,Z.AEF=Z.CFE,

又0a=oc,

.-.AAOE^ACOFQAAS),

AE=CF,

••・四边形AFCE是平行四边形，

•••EF1AC,

.SFCE是菱形.

19.【答案】解：(1)按游戏规则计算两个数的和，列表如下:

X1234

11*1=21*2=31*3=41*4=5

22+1=32+2=42-3=52+4=6

从表中可以看出共有8种等可能的情况.

(2)我认为这个游戏公平，理由：

从表中可以看出共有8种等可能的情况，其中和为奇数与和为偶数的可能性各有4种,

所以P(和为奇数)=P(和为偶数)，

••.这个游戏公平.

20.【答案】解：(1)•,-△=(—2)2-4(m-1)=-4m+8>0,

zn<2时，方程有两个不相等的实数根；

(2),设久1，久2是这个方程的两个实根，则”1>0,%2>0,

x±x2—m—1>0,

•••m>1；

(3)%1+%2=2,xrx2=m—1,1—x1x2=以+堵，

•••1—m+1=22—2(m—1),

：.m—4.

21.【答案】解：(1)设每副乒乓球拍的价格是万元，则每副羽毛球拍的价格是Q+30)元.

根据题意，得理=嚅

x%+30

解得x=30,

经检验，x=30是所列分式方程的根,

30+30=60(元),

...每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元.

(2)设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍(100-a).

根据题意，得aW2(100-a),

解得a＜然,

设花费的资金总额为“元，则W=30a+60(100-a)=-30a+6000,

—30V0,

W随a的增大而减小,

■.-a＜竽且x为整数,

.•.当a=66时，W取最小值，WS/J,=-30X66+6000=4020,

要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元.

22.【答案】解：设。点运动时间为t秒，则4D=t秒，BD=(4—t)秒，BE=2t秒，CE=(5-2t)秒(0W

七)，

(1)当NBDE=N82C,即ED_LAB时，RtABDE^RtABAC,

BD：BA=BE：BC,即(4一t)：4=2t：5,

20

1'1t=

当乙BDE=KBCA,即。El8C时，RtABDE^RtABCA,

：.BD：BC=BE：BA,即(4一t)：5=2t：4,

t=*

所以当动点运动,秒或翔时，△BDE与公4BC相似；

(2)过E作EF148于F,如图,

B

,・•乙B=Z_B,

Rt△BEFsRt△BAC,

•••EFzAC=BE：BC,

即EF：3=2t：5,

口「6t

•••EF=T

■■■SABDE=细。•EF="4—t)q=1.8,

•••t=1或方=3(舍),

即当动点运动1秒时，ABDE的面积为1.8°血2；

(3)存在.

如图，过点E作EF1AB=^F,

•・,Rt△BEFsRt△BAC,

BF：AB=BE：BC,

即BE4=2t：5,

・•.BCFL=—8t

DF=AB-AD-BF=4-t-^=

CD1DE,

・・・乙CDE=90°,

・•・N乙4DC+Z-EDF=90°,

・・・ABAC=90°,

・•・Z-ADC+^ACD=90°,

・•・Z-ACD=乙FDE,

•・•Z-CAD=乙FDE,

・•・Rt△ACDsRt△FDE,

••AC：DF=AD：EF,即3：(4-yt)=t：y,

•一2

-J汗

23.【答案】解：(I)%=V-2,x2=—V-2,x3=V-3,x4=—V-3;

(2)•・,QHb,

:.a2W匕2或02_炉，

当Q2。时,令。2=6,b?=n.

:.m。？i,则27n2—7m+1=0,2n2—7n+1=0,

・•.m,九是方程2--7x+1=0的两个不相等的实数根，

(17

m+n=-

,一1，

mn=-

lz

此时d+64=m2+n2=(m+n)2—2mn=

②当M=b2(a=—b)时，a2=b2=，土｝\此时d+ft4=2a4=2(a2)245±7/41

4

综上所述，省+所=竽或45±丁£

(3)令花=Q,—n=b,贝!+a-7=0,b24-b-7=0,

•・•n>0,

^2。—九，即aWb9

・・.a,b是方程/+%—7=0的两个不相等的实数根，

.(a+b=­1

"tab=-7'

故白+*=M®+b)2_2ab=15.

24.【答案】(1)EF=FC；90°；

(2)如图2,延长CF到M,使CF=FM,连接DM、ME、EC,

D

图2

•・・F为3。中点，

・•.DF=FB,

在△BCF和△DFM中

FC=FM

Z-BFC=Z.DMF

BF=DF

••.△BFC也△DFM(S/S),

/.DM=BC,乙MDB=LFBC,

MD=AC,MD//BC,

・•・乙MDC=乙BCA=90°

••・乙MDE=Z.EAC=135°,

dtAMDE^AC4E中

'MD=AC

乙MDE=Z.EAC

JDE=AE

•••△MDE0ACAE(SAS),

・•.ME=EC,乙MED=Z.CEA,

・••乙MED+Z.FEA=Z.FEA+Z.CEA=90°,

AAMEC=90°,又F为CM的中点，

・•.EF=FC,EF1FC；

(3)图形如图3,

A

D

\E

BC

图3

结论：EF=FC,EF1FC.

证明如下：

如图4,延长CF到M,使CF=FM,连接ME、EC,连接DM并延长交AE于G,交/C于H,

•・•F为BD中点，

DF=FB,

在△BCF和△DFM中

FC=FM

乙BFC=Z-DMF

BF=DF

••.△BFC也△。尸M(SAS),

DM=BC,乙MDB=LFBC,

MD=AC,HD//BC,

・••^LAHG=乙BCA=90°,且乙4G”=乙DGE,

Z.MDE=Z-EAC,

在和AC/E中

MD=AC

乙MDE=Z.EAC

、DE=AE

•••△MD£^ZkC4E(S/S),

・•.ME=EC,^MED=/.CEA,

・•・乙MED+^LFEA=^FEA+^CEA=90°,

AMEC=90°,又F为CM的中点,

•••EF=FC,EF1FC.

25.【答案】(1)(—4,0),(0,3)；

⑵过D作AB的对称点心，连接ODi，交4B于点P,此时APOD的周长最小,

△4BE是将△A8C沿AB折叠得至IJ的，

.,.点在4C上，

•••OA=4,。。=3,

AAD=，。42+。。2=5，

••・AD^—5,

*t,。1(一4,5),

设直线。。1的解析式为y=kx,

•••5=-4k,

•••k=一之,

4

・•・直线。Di的解析式为y=-|%，

••・四边形A08C是矩形，且aABE是将△ABC沿折叠得到的,

AC//OB,/.CAB=/-BAD,

Z.CAB=/.BAD=乙ABD,

.・.AD=BD=5,贝1JOB=8,

•••8(0,8),

同理求得直线48的解析式为y=2%+8,

ry=2%+8

•••]5

[y=-^x

解方程—J%=2%+8,得％=

(3)存在点Q,使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形.

分两种情况：①当BN为边时，

如图，若四边形BNMQ是正方形，