2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：空间向量基本定理

第03讲1.2空间向量基本定理

学习目标

课程标准学习目标

①理解并记住共线向量基本定理、平面向量

基本定理、共面向量定理及空间向量基本定1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用

理的内容及含义。空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐

②理解基底与基向量的含义，会用恰当的基标形式表示空间向量.

向量表示空间任意向量。2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立

③会用相关的定理解决简单的空间几何问体几何的相关问题.

题。

思维导图

如果空向中约三个向量a，b，c不共百，零么对空间中的任重一个向量p.

存4■多--的育序实数蛔*,y,s),使稗p=*a+j'b+«c•

基

,=

本存刚也，当a,B.c不具函时，T*»xa47b+«c®x-y=z=9

定e-----------------------------------------------------------------------------------------------------

理

空间中三个不共或的向量可以作为基底

证明空间四点共面的方法

对空间四点P,M,.4,8来证明四点共面：(1)和=屈

基底

(2)对空间任一点0,~O?=O\t+xM?+,>W

(3)戏〃/(我方T//MBik.~PB〃丸)

(4)”与4,B,C一定共面的充要条件是而=xOi+)丽+石己x+」+?=l

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量之石，下，不共面，那么对空间任意向量仇存在有序实数组{x,y,z},使得/=xa+yb+zc.

2、基底与基向量

如果向量三个向量日,引下，不共面，那么所有空间向量组成集合就是{同/=%之+y另+zKx,y,z€/?},这个集

合可看作是由向量al心生成的，我们把他石,4叫做空间的一个基底乙都叫做基向量.

对基底正确理解，有以下三个方面：

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；

（2）因为6可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着

它们都不是6；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，

二者是不同的概念.

【即学即练1］（2023秋•高二课时练习）如图，M,N分别是四面体0A2C的边BC的中点，E是MN

的三等分点，且需=点用向量丽，砺，玄表示屈为（）

---->1---->---->---->---->1---->1----->1----->

A.OE=-OA+OB+OCB.OE=-OA+-OB+-OC

6333

C.OE=-OA+-OB+-OCD.OE=-OA+-~OB+-OC

663633

【答案】D

【详解】因为需=［，所以丽=3定，

所以南-丽=3(荏-而)，即丽=》丽+|前,

又丽=(四标=14+瓦)，

所以云=-0A+-0B+-0C.

633

故选：D

知识点02：空间向量的正交分解

1、单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用

表示.

2、正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量出均可以分解为三个向量疝，好，zW使得a=%7+y7+zK像

这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

我们把X,y,z称作向量。在单位正交基底｛『,『,"｝下的坐标.记作a=｛久,y,z｝此时向量Z的坐标恰是点Z在空间

直角坐标系Oxyz中的坐标｛久,y,z｝,其中x,y,z分别叫做点江的横坐标、纵坐标、竖坐标.

3、特殊向量的坐标表示

(1)当向量a平行于%轴时，纵坐标、竖坐标都为o,即a=(x,o,o)；

(2)当向量2平行于y轴时，纵坐标、横坐标都为0,即石=(0,%0);

(3)当向量a平行于z轴时，横坐标坐标、纵坐标都为0,即a=(0,0,z);

(4)当向量B平行于xOy平面时，竖坐标为0,即2=(居y,0);

(5)当向量B平行于yO久平面时，横坐标为0,即2=(0,y,x);

(6)当向量R平行于xOz平面时，纵坐标为0,即2=(x,0,z);

题型精讲

题型01空间向量基底的概念及辨析

【典例1】(2023•全国•高三对口高考)已知但，友可为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是

()

A.a,a—2b,a.+bB.a+b,a-b,c

C.2a+2b,a+b,2cD.a+c,b+c,a+b+2c

【答案】B

【详解】因为2—2b=32—20+另），所以—2区1+3是共面向量，不能构成基底，A不正确；

因为Z+ZZ-B］不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；

因为23+2另与/+3平行，所以22+2南d+另,2,不能构成基底，C不正确；

因为d+3+b+3=/+b+23所以Z+京6+3,2+6+2^共面,不能构成基底,D不正确.

故选：B.

【典例2】（多选）（2023春•福建莆田•高二莆田第二十五中学校考期中）设，=2+及亍=五+2工=2+£,

且何，瓦可是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（）

A.{a,b,x}B.{x,y,z）

C.{b,c,z］D.{x,y,a+6+c）

【答案】BCD

【详解】如图所示，令a二屈虚二初工;用，贝氏=丽，歹=丽,2=前，又a+3+乙=宿，

由A、Bl、C、n四点不共面知：向量力克2不共面，

同理江普君和为a+b+^也不共面.

故选：BCD

【变式1］（2023春•四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）{五，5可为空间的一组基底，则

下列各项中能构成基底的一组向量是（）

A.a,a+b>a—bB.b,a+b<a—b

C.c,a+K-a-bD.a+2b，a+b，a-b

【答案】C

【详解】对选项A：a=i［（a+ft）+（a-^）］,向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：另=10+3）-0-训，向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设不=4伍+3）+〃值一月），即3=（%+〃）a+Gi-〃）3，这与题设矛盾，假设不成立，可以构

成基底，正确；

对选项D：a+=|（d+d）-1（d-d）,向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

【变式2】（多选）（2023秋•山西晋中•高二统考期末）低瓦司是空间的一个基底，与五+京五+E构

成基底的一个向量可以是（）

A.b+cB.b—cC.bD.c

【答案】ACD

【详解】由于3-/=2+3—3+0，故5-乙与a+京a+3共面，无法构成空间的一个基底，故B错误;

因为｛2,3,/｝是空间的一个基底，由于不存在实数对x、y,使得加+3=+另）+yQ+3）,

X+y=0

若成立则％=1，显然方程组无解，故汇+京a+3与B+c可以作为空间的一个基底，故A正确，同理

.y=1

可得C、D正确；

故选：ACD

题型02用空间基底表示向量

【典例11（2023秋•浙江丽水•高二统考期末）在平行六面体4BC0-41B1C1。［中，AC,相交于0,

M为0cl的中点，设=AD=b>AA-i=c>贝UCM=（）

A1一।1点IT

A.-a+-b——cB.-a——b+-c

442442

一丘

C.-ia-ifc+JcDn.——3a+।-b--1c-

442442

【答案】C

【详解】/

A

如图所示，CM=|而+|CC\=i（CB+CD）+|CC7=-^d-^b+^c,

故选：c

【典例2】（2023秋•安徽宣城•高三统考期末）四棱锥P-43CD中，底面43CD是平行四边形，点E为

棱PC的中点，若荏=筋行+,而+z存，则%+y+z等于（）

E

-------------»B

3，

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】A

【详解】因为荏=荏+炭+方=四+而+而=荏+而+（前一荏），

所以2版=而+而+而，所以旗=3荏+［而+［布，所以x=1,y=W，

所以x+y+z=|+|+|=|,

故选：A.

【典例3】（2023•陕西•统考一模）空间四边形43CD中，4c与3。是四边形的两条对角线，M,N分别

为线段4B,CD上的两点，且满足询=弓同，DN=^DC,若点G在线段MN上，且满足丽=3而，若向

>=xAB+yAC+zAD，贝！Jx+y+z=.

【答案】蔡

【详解】因为庶=宿+流-|AB+|M］V=|AB+|（W+B］V）=|屈+|@荏+丽）

=-AB+-AB+-BN=—AB+-BN=—AB+-（JC+CN}=—AB+-（AC-AB+-CD）=-AB+

34412412八J124V4/6

-AC+-~CD=-AB+-AC+-（AD-AC）=-AB+-AC+-AD,

4166416v761616

所以％+yz+z=-6+—16+—1612.

故答案：葛

【变式1］（2023春•江苏盐城•高二盐城中学校考期中）在四面体0-43C中，PA=2OP9Q是3c的中

点，且M为PQ的中点，若04=五，OB-bfOC=c,贝!lOM=（）

111

A.++B.—a+—b+-c

644622

n1-।।I-

C.-a+-b+-cD.-a+-b+-c

322344

【答案】A

【详解】因为2加=方，所以m=［初,

o

因为。是BC的中点，所以丽=|（赤+瓦），

因为M为PQ的中点，所以布=；（而+而）=Jm+J而=；成+；（而+灰）="+¥+相

ZZZ64644

故选：A.

【变式2］（2023春•江苏徐州•高二统考期中）如图，在平行六面体4BCD-4述述1。1中，P是C2的

中点，点Q在041上,且CQ:。2=4:1,设祠=a,AD=&，AAr=c-贝!I()

A.QP=-a+-b+-cB.f+为一为

yioioioyioioio

C.QP=^-a+^-b-^-cD.QP=^：a+^-b+^-c

yioioio<ioioio

【答案】C

【详解】因为尸是的中点,

所以Q=|(M+左)|(AA[+AB+AD)-i(a+b+c),

又因为点。在C&上，且CQ:O4=4:1,

一一.-->---»---»--->1---->-----»1--->----->1--->4*-----»

所以4Q=44i+4iQ=AA1+^ArC=AAt+^AC-AAt)=^AC+^AA1

+40)=1a++Jc,

所以m=费一而=[0+1+?)_]_钝_找=十+睛一/，

故选：C.

【变式3］（2023春•四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体。-43C,Gi是2143c

的重心，G是。G1上一"点，且。G=3GG］,右OG=冗04+y08+zOC,贝！|（X，7,2）为（）

A-G鸿B.霏&

C-&工）D.（|,|,|）

【答案】A

【详解】如图所示，连接AG并延长，交BC于点E,则点E为BC的中点,

--->1--->---»1--->--->--->_,---->?--->1--->--->--->

XF=j(AB+AC)=；(OB—20A+OC),贝必G】=jXF=：(OB—20A+OC),

由题设，亦=3福=3(西一床)，

3331211

0G=-OG[=-(OA+AG2)=-(OA+-OB--OA+-0C)=-(0A+0B+0C)

4443334

所以％=y=z=；.

4

故选：A

【变式4](2023•全国•高三对口高考)已知正方体4BCD-4iBiCi/中，侧面CCi%。的中心是P,若

AP=AD+mAB+nAA1,则m=,n=.

【答案】1/0.51/0.5

【详解】由于而=而+而=而+^(沆+西)=而+]通+:标，

所以巾=$n-p

题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系

【典例1】（2023•江苏•高二专题练习）已知空间四边形04BC中，AAOB=zBOC=N40C,且04=OB=

OC,M,N分别是。4,BC的中点，G是MN的中点，求证：OG1BC.

【答案】证明见解析

【详解】在空间四边形。42c中，^OA=a,OB=b,OC=c,则⑷=区|=|讣

令40B=/30C=40C=。，G是MN的中点，如图，

0

B

则而=式说+而)=^市+/而+方)]=；m+3+。，BC=OC-OB=c-b，

于是得布•BC—^a.+b+c)-(c—b)—^(a.-c—a-b+b-c—b2+c2—b-c)

—j(|a|2cos9—|a|2cos9—|a|2+|五『)=。，

因此，~0GLBC，

所以OGJ_BC.

【典例2】(2023•全国•高二专题练习)已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个

四面体相对的棱两两垂直.

已知：如图，四面体4BCO,E,F,G,H,K,M分别为棱4B,BC,CD,DA,BD,4c的中点，且由G|=

|尸H|=|KM|求证AB1CD,AC1BD,AD1BC.

【答案】证明见解析

【详解】证明：设荏尼=员同=3

则的=而一族=*左+而)-|AB=-ia+|h+|c=|(-a+ft+c)

FH^AH-AF^AD-1(Zfi+Zt)=|c-1(a+K)=|(-a-h+c),

KM-AM-AK|XC-1(AB+AD)=|b-|(a+c)=|(-a+^-c),

\EG\=\FH\,||(-a+石+矶=||(-a-b+c)|,

:.(—a+h+c)=(—a—b+c),

•••a2+fa2+c2—2a-K—2a-c+2h•c=a2+fa2+c2+2a-h—2a-c—2h•c，

4a'b=4b•c,d-b—b•c=0,b•(<a—c)=0

又另=m，五一5=万瓦.•・彳？•丽=0

AC1丽,・•.AC1DBy同理可证/。1BC,AB1CD,

.•・这个四面体相对的棱两两垂直.

【典例31(2023春•安徽合肥•高二校考开学考试)如图所示，三棱柱4BC-41B1G中，CA^a，CB=b，

CCi=1,CA=CB=CCt=1,(a,b)=(a,c)=y,{b,c)=pN是4B中点.

(1)用五，b，[表示向量而V;

(2)在线段C/i上是否存在点M,使若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由.

【答案】⑴-黑+(b-3

(2)当G"=|C]Bi时，AM1ArN

【详解】⑴解：因为N是48中点，所以丽=：荏，

所以可=备+而=QC+|AB

__1_.-.11_

=-CCx+-(CB-CA)=--a+-b-c-

(2)解：假设存在点M,使4M1&N,设的=；1弓瓦，(26[0,1]),

显然=Ab>AM=AA^++Cjl=c-a+Afe-

因为力MJ.4N,所以前•4W=0,

—>11—>

BP(c—a+Ab),(——cz+—h—c)=0,

^-c-a+^c-b—c2+-^a2--^a-b+c-a—•b+7-Ab2—Ab-c=0

222222

CA=CB=CCx=19{a,b)=(a,c)=(b,c)=p

Iff-1-0

-c-a—c2+-a2—(-+-A)a-b+-Ab2=0

22‘22’2

即[x1X1X(-i)-l2+iXl2-(i+X1X1X(-1)+1A-l2=0,

解得2=I，所以当QM=|c/i时，ZMl/iM

【变式1】(2023春•高二课时练习)如图，在平行六面体43CD—Ai/gDi中，AB=AD=AAr=1,

ZArAB=ZArAD=ZBAD=60°,求证：直线41c1平面

【答案】证明见解析

【详解】设同=a，AD=b^A\=C,贝现为空间的一个基底且碇=a+B—冷前=3—京西=自

因为AB=AO=A4/=1,NAMB=NA/AO=NBAD=60°,

所以原=b2=c2=l>d-b=b-c=c-d=^.

在平面BDPS上，取前、西为基向量，则对于面上任意一点尸，存在唯一的有序实数对(乙〃)，

使得前=ABD+〃西.

所以'A^C-BP=AA^C,BD+fiA^C-BB】=A(a4-b-c),(b-a)+“(a+Z)—c)•c=0-

所以碇是平面BDDiBi的法向量.

所以A/CJ■平面BOG班.

【变式2](2022秋•北京顺义•高二牛栏山一中校考阶段练习)如图，在底面4BC。为菱形的平行六面

体4BCD—4iBigDi中，M,N分别在棱Cg上，且41M=CN=1CC1,且=

ZAtAB=NDAB=60°.

(1)用向量引，AD,祠表示向量而；

(2)求证：D,M,Br,N共面；

(3)当繁为何值时，AClLA1B.

【答案】(1)而=荏+同一]京

⑵证明见解析

(3)1

【详解】(1)MN=MA+AB+JC+~CN=--AA^+AB+BC+^AA^=AB+AD--~AA1.

(2)证明：,••丽=府一同=|丽—砺，西=-序=|再一诟，

/.DM=NB^,D,M,B],N共面.

(3)当絮=1，ACr1A±B,

证明：设福=*AD=b,AB=a,

•.•底面48CD为菱形，则当絮=1时，同=的=同，

AC1=AB+BC+CC[=a+6+3，A^B=AB-AA1=a-c>

ZA±AD=ZArAB=ZDAB=60°.

*'•AC^,A^B=(ci+h+c),(<i—c)=u21+3,h—b,c—召=0,

・•・4cl!ArB.

题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角

【典例11(2023•江苏•高三专题练习)如图，在平行六面体4BC0-AiBiGDi中，以顶点4为端点的

三条棱长都为1,且两两夹角为60。，求BD]与4c的夹角的余弦值.

6

【详解】设=出AD=b，AAt=3，

->―»1

由已知可得五-b=d-c=b-c=lxlxcos60°=-.

因为BDl=BA+BC+BB]=—AB+AD+AAt=—a+b+,，

AC=AB+AD=五+6，

所以，BD；=(—a+b+c)=a2+fo2+c2—2a-h+2h-c—2a-c=14-l+l—2x|+2x|-2x|=

2,

AC2=(五+石)=a2+b2+2a-K=l+l+2x|=3,

BD]'AC—(—o.+/?+?),(2+b)=—五2一五.6+五.人+人？+S•c+/?,c=-1——+—+1+—+—=1,

所以|西|=V2,|^4C|=V3,

所以，cos(西，硝=默赢=五匕=彳,

故直线BD1与2C的夹角的余弦值为彳.

【典例2](2023秋福建三明福二统考期末)如图，在四面体4BCD中，ZBAC=6ff,^BAD=ZCAD=45°,

AD=V2,AB=AC=3.

D

C

------------------------

(1)求前•前的值；

(2)已知尸是线段CD中点，点E满足国=2荏，求线段E尸的长.

【答案】(1玲

⑵手.

【详解】(1)在四面体2BCD中，设屈=3,AC=b>前=冷贝UMI=问=3,\c\=V2,

(a,b)=ABAC=60。，(a,c)=4BAD=45°,(b,c)=ZCAD=45。，

BC,BD—(AC—4B),(力D—AB')=(b—a),(c—a)—b■c—b,a-a,c+a2

=\b\\c\cos450-\b\\a\cos600-\d\\c\cos45°+\d\2=3V2Xy-32X|-3>/2Xy+32=1

(2)由(1)知,因为丽=2族，则荏=|AB=；何因为尸是CD中点，则而=[反=久冠-而）=7-咨

如图，

DF

A二EB

于是得丽=瓦？+同+而=-|a+c+|ft---C=--a+-K+-c,

2322

因此网2=(f+»+9=?+*!abac+be

332

32,32,(V2)232cos60°3ecos45°,342cos

—++1竺=芳，即旬而|=4，

944332

所以线段所的长为手.

【典例3]（2023秋•浙江杭州•高二杭师大附中校考期末）如图,平行六面体4BCC-4/131中，CB1

BD,乙JCD=45°,乙CJB=60°,CCr=CB=BD=1,

cD

⑴求对角线C&的长度；

（2）求异面直线C&与。4所成角的余弦值.

【答案】⑴3；

（2启

【详解】（］）因为CB=BD=1,CB1BD,

所以三角形BCD为等腰直角三角形，所以CD=VL

又因为CC1=CB=1,ZCC1B=60°,

所以三角形CQB为边长为1的等边三角形，

以向量丽,而，鬲为基底，

则有E=CB+BA+AAl=CB+CD+CQ.

两边平方得两2=（而+诙+鬲产

^CB2+CD2+范2+2CB-CD+2CB-CQ+2CC1-CD

l五1V2

=l+l+2+2xlxv2x——F2xlxlx—+2xlxv2x

=9,

所以lEl=3,

即IC&I=3,

所以对角线C4i的长度为3；

（2）因为E=^+历+范，lEl=3，DA=CB，\DA\=\CB\=1，

所以=西•丽

=（CB+CD+CQ）-CB

=CB2+CD-CB+CCl-CB

r-V21

=1+V2xlx—4-lxlx-

5

=p

所以cos<CAr,>=篇篇=l，

即异面直线C4与所成角的余弦值为;.

【典例4】（2023•高一单元测试）如图，三棱柱4BC-4/住1中，M,N分别是4止,当的上的点，且BM=

（1）试用鬲b，3表示向量而；

(2)若NB4C=90。"必=NC4%=60°,AB=AC=AAX=1,求MN的长.

.11-1

(l)MN=-a+-b+-c

【详解】(1)解：而=祈不+而7+和

1—,一2一

=-BA^+AC+—CB

313

1—>1-----»—>2—>—>

=--AB-b-AAr+AC-b-(AB-AC)

^-AB+-AZ+-AC,

3313

：.MN=-a+-b+-c；

333

(2)解：-,-AB=AC=AAl=l,：la\^b\^c\=l,

•・•ZBAC=90°,.•・2•另=0/.-ZBAAr=ZCAAr=60°,

:.a---c=bA-c-=—1,

2

\MN\2=i(a+h+c)2=i(a2+62+c2+2a-b+2a-c+2h-c)=I，

即MN的长为它.

3

【变式1](2023春•广西南宁•高二统考开学考试)已知在平行六面体4BCD-ABigOi中，AB=2,

9=3,AD=1且N1MB=ZBAAt=ZDAAt=半

(2)求向量函与四夹角的余弦值.

【答案】⑴底；

⑵卓.

【详解】(])在平行六面体4BCD-力i&CiDi中，｛近，而，硒*｝为空间的一个基底，

3

因为48=2,M=.AD=IK^DAB=ZBAAr=ZDAAX=p

则说.而=2xlxcosg=l,荏.近=2x3xcosg=3,而.旃＞=lx3xcos；=|,

DB]=DA+AB+BB]=AB-AD+AA2f

所以|西|=JAB2+扬+近2_2说,而_2ZD•西+2AB•矶

=j22+l2+32-2xl-2x|+2x3=V15.

（2）由（1）知，~DB[=AB-AD+AA1,则西•屈=屈？一四•而+屈・痂=22-i+3=6，

又|西|=V15,所以向量函与荏夹角的余弦值cos〈西，屈〉=第缁=4F=".

11\DDI\|J4DIv15X25

【变式2]（2023•全国•校联考一模）如图所示，已知空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,

点E,F,G分别是4B,AD,CD的中点.设四=五，AC=b，而=直

⑴求证EG14B；

（2）求异面直线4G和CE所成角的余弦值.

【答案】（1）证明过程见解析；

（2）1

【详解】（1）证明：连接。E,

因为空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,且E,G分别是AB,CO的中点,

所以4C=BC,BD=AD,

故CE1AB,DE14B,

又因为CEnDE=E,CE,DEu平面COE,

所以4B1平面CDE,

因为EGu平面CDE,

所以力BJ.EG.

A

(2)由题意得：均为等边三角形且边长为1,

所以

4G=EC=—2

Ie=|(d+c),EC=1(B?+Ic)=|(ZC-AB+Zc)=b-^d,

所以24G,EC=_(/)+&)•(b—=一t)2—ci'b—c,b—u,c

2、7V2/2424

11T1T1

=---|a|•|b|cos60°+-|c|•\b\cos60°--|d|•\c\cos60°

2424

―28+48-2’

设异面直线AG和CE所成角为。，

贝“cos3=\cos(AG,EC)\=［竺因］=•-后？=-

人」I\，/I阿「忸(?|叵走3

22

【变式3］(2023秋•辽宁沈阳•高二校联考期末)如图所示，在四棱锥A/-ABCD中，底面4BCD是边长

为2的正方形，侧棱4M的长为3,且NM4B=^MAD=60°,N是CM的中点，设@=而，方=而,笠=而，

用五、石、2表示向量前，并求BN的长.

【答案】BN=-gd+gb+1,BN—

2222

【详解】解：因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形，

所以丽=BC+CN=AD+^CM=AD+1（AM-~AC}

=40+i\AM-（AD+AB）］=--AB+-AD+-AM=--a+-b+-c,

2L1222222

又由题意，可得同=\AB\=2,\b\=\AD\=2,|c|=\AM\=3,/MAB=^MAD=60。,

ZDAB=90°,

因此=(―扣+1]+D=((m2+同_|,|^|2—2d-b—2d-c+2b

=](4+4+9-0-2x2x3cos60°+2x2x3cos60。)=%

所以|丽|=?，即BN的长为?.

强化训练

第03讲1.2空间向量基本定理

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1.（2023秋•高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若彳B=%南+2y近+3z*,那么

x+y+z=（）

A•.Y1-B.7—C.—5Dr.一11

666

【答案】B

【详解】根据向量加法法则可得：ACl=AB+BC+CC1,

即福=9+前一宿

因为温=xAB+2yBC+3zQC»

所以x=1,2y=1,3z=-1,

所以久=Ly=jz=所以x+y+z=1+：-[=：.

z3Zoo

故选：B.

2.（2023•高二校考课时练习）对于空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,有如下关系:赤=^OA+^OB+

63

|oc,贝I」（）

A.0,4,B,C四点必共面B.P,4B,C四点必共面

C.O,P,B,C四点必共面D.O,P,4B,C五点必共面

【答案】B

【详解】对于空间任一点。和不共线三点A8,C,若点P满足加=xOA+yOB+zOC（x,y,zER）且％+

y+z=l,则P,4B,C四点共面.

而存=:市+；4+；方，其中;+；+；=1,所以P,4,B,C四点共面.

o32o3Z

故选：B.

3.（2023春•江西赣州•高二校联考阶段练习）己知口,无耳是空间的一个基底，则可以与向量沅=汇+2a

n=a-5构成空间另一个基底的向量是（）

A.2d+2b—cB.a+4b+cC.b—cD-d—2b—2c

【答案】C

【详解】因为2a+2b—c=(a+2b)+(a—c)，

3.+4b+c=2(5+2b)—(u—c)>

a—2b—2c—2(a—c)—(a+2b)，

所以向量2a+2另一3a++c-Z—一2/均与向量记，云共面.

故选：C

4.(2023春•安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试)己知四面体。-4BC,G是△ABC的重心，P是线

段OG上的点，且OP=2PG,若赤=彳方+y而+z玄，贝l](x,y,z)为()

A•&/)B.(|,|,|)C.D.(|,|-0

【答案】B

【详解】由题意知，

".'OP=2PG，

：.OP--OG--(-OA+-OB+-OC)--OA+-OB+-OC.

33\333/999

故选：B.

5.(2023・高二校考课时练习)已知直线AB,BC,8月不共面，若四边形B/GC的对角线互相平分，且

ACi=xAB+2yBC+3zCQ，则x+y+z的值为()

A.1B.—C.-D.一

636

【答案】D

【详解】由题意，知通，BC,两不共面，四边形BBiGC为平行四边形，鬲=西，

(AB,~BC,南｝为空间的一组基底.

-；ACX=AB+BC+~CC1,又温=久四+2y丽+3z鬲，

11

•••%=2y=3z=1,x=1,y=-,z=-,

•,•%+y+z=—.

)6

故选：D.

6.(2023春・安徽合肥•高二校考开学考试)在平行六面体4BCD中，441=1,AB=AD=e，

且NAIAD=N214B=45。，ZDAB=60°,贝()

A.1B.V2C.旧D.2

【答案】C

【详解】以｛屈，前,五1｝为基底向量，可得袍=瓦？+而+西=一同+而+而，

则西2=(_荏+AD+可产=AB2+AD2+^―2AB-AD-2AB■丽+2AD•丽

=1+2+2-2XV2XV2XCOS60°-2XA/2X1XCOS45°+2XV2X1XCOS45°

=5-4x—2V2x――+2V2x—=3，

222

：.\BD^\=V3.

故选：c.

7.（2023春・江苏南京•高二南京市第一中学校考期中）如图，在平行六面体力BCD中，底面4BCD

是菱形，侧面&ADD1是正方形，且乙41AB=120°,^DAB=60°,AB=2,若P是QD与CD1的交点，贝！MP=

（）.

A.9B.7C.3D.V7

【答案】D

【详解】解：在平行六面体ABC。-A/iGDi中，四边形DDiGC是平行四边形，又P是的。，C/的交点,

所以P是C】O的中点，

所以，AP=AD+DP=AD+^（DC+^Dl）=^AB+AD+^AA1,

又称而=2，乐•矶=-2，AD-AAi=0,

所以存2=傅说+AD+:说?

=-AB2+AD2+-AA^+AB-AD+AD-A47+-AB-XT=7,即4P=夕.

441121

故选：D.

8.（2023春•高二课时练习）如图，在三棱锥P-ABC中，点G为AABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG,

过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点。，E,F,若方=6方，PE=nPB,PF=tPC,则

工+5+5的值为（

m

R

B

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【详解】连接4G并延长，交BC于点、H,

以｛两,PB,而｝为空间一组基底，

由于G是△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG,

所以两=1同=](可+血)=|同+1x|历

=-P?l+-x-(XB+AC)=疝PZ+4(PB-PA+PC-PA｝

=-PA+-PB+-PC(1).

444

连接DM,因为。E,F,M四点共面，

所以存在实数x,y,使得丽=xDE+yDF，

即两_而=x(P£-PD)+y(PF-^D),

PM=(1—%—y)PD+xPE+yPF

=(1—x—y)mPA+xnPB+ytPC②，

由①②以及空间向量的基本定理可知：

(1—%—y)m=-,xn=-,yt=-

444f

4(1—x—y)=—,4x=-,4y=-

mntf

-ill

所叱+"工=4(1-x-y)+4x+4y=4.

故选：C

二、多选题

9.（2023春•江苏