2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考

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数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={%|2因<4,xeZ],则力的元素数量是（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知z=---,则,2-1]=()

A.1B.<3C.2D号

2

3.椭圆E：?+y2=1的左右焦点分别为6,p2,G为E上一点，则当AG&F2的面积最大时，N&G6的取

值为（）

A.yB弓C.^*

4.已知边长为6的正方体与一个球相交，球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为167r的圆，则该球的

表面积为（）

A.967rB.IOOTTC.1257rD.2047r

5.已知（；+0）"的二项式系数之和为64,则©+□）”的展开式中常数项为（）

A.1B.6C.15D.20

6.已知>Inx+（对V久>0恒成立，则a的最大值为（）

1

A.0B.—C.eD.1

e

7.已知斯=J厮+广,C1rl€[—1,1]且的=cos',则与£12a3的值为（）

1ii

A-2B4C-8D*

8.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p（0<p<l）,她掷了k次硬币，最终有10

次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币中正面向上的次数，现

以使P（X=10）最大的N值估计N的取值并计算E（X）.（若有多个N使P（X=10）最大，则取其中的最小N值）.

下列说法正确的是（）

A.E（X）>10B.E（X）<10

C.E（X）=10D.E（X）与10的大小无法确定

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图所示，在棱长为2的正方体中，M为的中点，G为劣当靠近当的四等分点，H为线段MG上一动

A.三棱锥H-A4C的体积为定值

B.AAMC=皿MC

C.的最小值为半

D.若帚=4西+〃西（尢〃eR）,则4一〃=g

10.设定义域为(0,+8)的单调递增函数/(尤)满足/(x)=f(x-1)+x[x>2),且/'(1)=1,则下列说法正

确的是()

A.当XCN+时，/(%)=争

C.不等式/(口)W/(久)的解集为[1,+8)

D.若三”>0使得久>1时，绛WM恒成立，贝必的最小值为2

11.数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小

恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线G；/+y3_axy=20,下列/'

说法正确的是()/。~1"

A.该曲线与x=8最多存在3个交点|

B.如果曲线如题图所示(久轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，则a>0

C.存在一个a,使得这条曲线是偶函数的图像

D.a=3时，该曲线中x>8的部分可以表示为y关于x的某一函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.随着某抽卡游戏在班级内流行，李华统计了6位同学获得某角色的抽取次数，结果如下：10,60,90,

80,20,180,则以上数据的下四分位数为.

13.已知正四面体。一ABC棱长为4,棱。4上有一点4,棱OB上有一点名,棱OC上有一点若=

IB1GI=1,则的最大值为.

14.设函数/'(X)=ex-ax-alnx(a>0)的极小值点为若y=/(%)的图象上不存在关于直线x=均对称

的两点，则%。的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知c=3,SMBC=

(1)求a的取值范围；

(2)求NB最大时，ATIBC的面积.

16.(本小题12分)

已知双曲线C：x2-y2=8,圆4：(x-2)2+(y-2)2=r2,其中r>0,圆4与双曲线C有且仅有两个交点

D,E,线段DE的中点为G.

(1)记直线4G的斜率为自，直线。G的斜率为B，求品.

(2)当直线DE的斜率为3时，求G点坐标.

17.(本小题12分)

浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取n次.每次都有前勺概率抽中，2的概率没抽中•小明的抽奖

得分按照如下方式计算：

(1)将玩家几次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1,未抽中记作0,形成一个长度为n的仅有01的序列.

(2)定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1,设它长度为3那么得分即为严.

(3)序列的得分即为每一段连续的1的得分和.

例如：如果玩家4抽了7次，第1,3,4,5,7次中奖，那么序列即为1,0,1,1,1,0,1,得分为F+

32+M=11,可能用到的公式：若x,丫为两个随机变量，则E(X)+E(y)=E(X+Y).

(1)若n=3,清照进行了一次游戏.记随机变量X为清照的最终得分，求E(X).

(2)记随机变量Z表示长度为几的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求E(Z).

(3)若几=鼠清照进行了一次游戏.记随机变量4为清照的最终得分，求EQ4).

18.(本小题12分)

定义：［%］表示x的整数部分，{%}表示x的小数部分，例如［1.2］=1,{1.75}=0.75.数列时满足与+1=

防］(口名z)

5}(出1t勾其中的=皿若存在keN+，使得当n>k时，斯=%1+1恒成立，则称数爪为木来数.

On(。neZ)

(1)分别写出当m5时的.，a2,a3,CI4的值.

(2)证明：7t2+l(teN+)是木来数.

(3)若ni为大于1的有理数.且m生Z.求证：爪为木来数.

19.(本小题12分)

称代数系统G(x,。)为一个有限群，如果：

a.X为一个有限集合，。为定义在X上的运算(不必交换)，\/a,beX,a°bEX

b.(a°b)°c=a°(6°c),Va,b,c&X

c.HeGX,VczeX,a°e—e°a=a,e称为G的单位元

dNa£X,存在唯一元素a-】eX使。。厂】=a-loa=e,cT】称为a的逆元有限群H(Y,。)，称为G(X,。)的子

群.若YUX,定义运算a。//=又。川hCH}.

(1)设H为有限群G的子群，a,6为G中的元素.求证：

(i)a°H=6。”当且仅当b-i%GH；

(ii)a。"与H元素个数相同.

(2)设p为任一质数X={1,2，…,p-1}.X上的乘法定义为a。。=弓-⑨p,其中团为不大于久的最小整数.

已知G(X,。)构成一个群，求证：VaEX,qPT-1=0.(其中qPT表示p-1个a作。运算)

参考答案

l.D

2.5

3.2

4.B

5.C

6.D

7.C

8.F

9.AC

1Q.ACD

U.ABC

12.20

273

1ia'丁

14.(0,1]

15J?：(1)由“三角形的两边之和大于第三边”，可知a+6>c,b+c>a,c+a>b.

1

根据SUBC=-absinC=b2sinC,整理得a=2b,结合c=3,得3b>3,b+3>2b,c+2b>b.

解得l<b<3,所以2<a<6,边a的取值范围是(2,6)；

(2)由余弦定理得cosB=子"=孕2*=苧，

当且仅当3b2=。2,即c=V3b时，等号成立，结合a=2b可知cosB最小时，b=a=2V3.

因为86(0,71),余弦函数在(0,兀)上是减函数，

所以NB的最大值为?此时S“BC="cs讥B=，x20x3xsing=等.

O乙乙。乙

16.解：⑴由题意如图所示：

因为|EG|=|DG|,\AD\=\AE\,线段DE的中点为G,

所以4G1DE,

又设。(卬乃),E(x2,y2),

因为好一比=好一%=8,

所以01—久2)(久1+X2)=01-%)(%+为)，

而圆心力(2,2)不在坐标轴上，从而X14久2，久1+久24。，

所以g・牛=1,

勺―％2%1+%2

所以,^DE=1，

又%G・^DE=—1，

所以胃=答=答答=F=_1；

k2k0GkOG,kDE1

(2)设直线DE：y=3x+m,与％2—y2=&联立，

化简并整理得：8/+6mx+m2+8=0,

其中4=36m2—32(m2+8)=4(m2—64)>0,

设DQiM，E(%2，y2)，

所以久1+x2=-竽,％+y2=3(%1+X2)+2m=-p

即G点坐标为(-*-»

因为%G-^DE=—1，kpE=3，

所以%G=

而4(2,2),

即3日？=_于解得Hl=一孝.

—+2§

所以G(4,g).

17.解：(1)若序列为：0,0,0,则最终得分为0,

若序列为：1,0,0,或0,1,0,或0,0,1,则最终得分为1,

若序列为：1,0,1,则最终得分为2,

若序列为：1,1,0,或0,1,1,则最终得分为4,

若序列为：1,1,1,则最终得分为9,

P(X=O)=\P(X=1)=/P(X=2)=3P(X=4)=",P(X=9)=i

ooo4-o

所以E(X)=0x-1"lx*Q+2x-1"4x-1；+9x1《1=1*

ooo4o4-

(2)令册表示长度为n的序列，E(Z)的答案，换言之En(Z)=9n，

则有递推关系册+1=2•(欧+1+0)，表示第n+1位分别为1或0的答案，

显然%■(0+1)=q，

设0i+i+入=5(坂+入),

则01+1=01九

所以-=2，

解得a=—L

所以欧一1=(仍一l)G)n-1=

解得01=1—去,

故所求为一或；

(3)设九表示进行几次游戏后的期望得分，即与(4)=加，

则有递推关系加=/n-i+1(l+2x册_1),(n>l,neN*),

解释：因为Q+1)2=/+2刀+1,考虑第九位为1的时候对序列的额外贡献，

即为(呢_1+1)2-9k1=2呢_1+1,如果为0的贡献即为0,特别的，/o=0,

直接累加得到：4=/+(。0+91H----F5n-i)=]+(n-1)+(?~+^r，

乙乙1-24N

若几=k,代入上式，于是得点=等f+-^，

乙2

故所求即为4+2^1-

18.解：(1)当？71=时，CL]==兰—=+1，同理的=+2,%=2，"^+2,

55ra]3

叱1

L-同m理22

--------的--

33rU2二

«2ia1

2

(2)证明：当m=，"+i,tcN+时,即％=，/+i,则%=，好+----—=t(t+Vt+1)?

Jt2+i-t

由于t<Vt2+1,所以产<tVt2+1<t2+1,

所以[tdt?+1]=t2,贝“0=2t2,所以的=12t——=2t(t+tVt2+1),

tJt2+l-t2

由于2t2<2t72+1<2t2+1,所以[2tVt2+1]=2t2,

2

贝!——r---=2t(t+tVt+1)=a3,

2Ht2+l-2t2

由此知a九=a九+i对九>3,nGN+恒成立.

可知当m=7t2+i时,m为木来数；

(3)证明：设％,=?，qn>Pn>l，Pn、TnCZ且q4p”互质,

Pfl

勿躲,

际］_历？

可知厮与厮+1均不为整数时,有厮+1=9n+l_

Pn+1—««-［««］一某一［料q/Pn•即'

显然标期<lnPn>『Pn