2024-2025北师大版九年级数学上册期中预测模拟卷（含答案）

期中预测模拟卷一2024-2025九年级数学上册

重难考点训练（北师大版）含答案_________

专题期中预测模拟卷

考试范围：第『4章；考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人得分

一、单选题

1.若2是关于x的方程/—c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（）

A.x=-2B.x=V2C.x=2D.%=4

2.若a,b,c,d是成比例线段，其中a=2,b=3,c=4,则线段d的长等于（）

A.6B.8C.10D.12

3.在一个不透明的袋子中装有6个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球2个，红球4个，从中随机摸出

一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（）

5.若一个菱形的两条对角线长分别是关于力的一元二次方程*2-14x+6=0的两个实数根，且其面积为

20,则该菱形两对角线长分别为（）

A.3与nB.4与10C.2与10D.5与8

6.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章2BCDE上，若直尺的下沿MNIDE于点。，且经过点B,上沿PQ

经过点E且与4B相交于点F,则N4FE的度数为（）

A.45°B.54°C.60°D.72°

7.某厂家2024年1月份生产口罩产量为100万只，3月份生产口罩的产量为144万只，设从1月份到3

月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程是（）

A.100(1-%)2=144B.100（1+%）2=144

C.144（1-x）2=100D.144（1+x）2=100

8.如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点4落在△ABC的4处折痕为DE,若NA=35。,NCEA=40°,

则NBD4的度数为（）

'.E

--------V

A.105°B.110°C.115°D.120°

9.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm,AOBC,则AC等于()

A.B.2(V5-1)cmC.4(V5-1)cmD.6(V5-1)cm

10.如图，四边形4BCD是矩形，点尸在BC边上，4F平分NBAD且AD=AF,DE14F垂足为点E,连接BE并

延长交CD于点G,连接DF交BG于点H,连接EC交DF于点/,有下列结论：①乙=NCFD；②DF垂直

且平分EC；③△EFC三△E”D；④AB=EG；⑤NEGC=67.5。.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

第H卷（非选择题）

评卷人得分

---------------二、填空题

11.在△ABC中，AABC=90°,AC=4,点。为AC的中点，则BD的长为

12.确定一个b（b。0）的值为,使一元二次方程M+2bx+1=。无实数根.

13.在一个不透明的盒子中装有。个除颜色外完全相同的球，这。个球中只有3个红球，若每次将球充分搅

匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右,

则a的值约为

14.已知△ABC〜NA=30。，ZB=50°,贝!kF=

15.如图，平行四边形48CD中，在4D上截取4尸=48,分别以点B、F为圆心，大于的长为半径画弧,

两弧交于点P,连接4P交BC于E,若AB=5,BF=6,贝U/1E的长为.

16.如图，在正方形4BCD中，点E为边CD的中点，连接AE,过点B作BF14E于点F,连接BD交2E于点G.则

AF:FG为.

三、解答题

17.用因式分解法解方程(x-3尸=(2%+1尸.

18.在△4BC中,乙4cB=90。，AB=10,BC=6,将△ABC沿射线AC向下平移得到△AB'C',边4B'交BC

于点D,连接BB'.

⑴求证：四边形BCC'B'为矩形；

(2)当四边形BCC'B'为正方形时，求线段CD的长.

19.微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其

他用户.小李在家庭群里(群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人)发了一个如图所示的新年拼手气红包，

将三个随机红包记为4B,C,分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走.

<发红包••

a红乞个敷3个

□¥ioo

红包BAB

*100.00

⑴爸爸抢到红包a的概率为；

⑵请你利用画树状图求妈妈抢到红包B,同时小李抢到红包c的概率.

20.如图，在△48C中，。是边4B上一点.

⑴请用尺规作图，在4C上找一点£,作=保留作图痕迹.

⑵若华=自求△4DE与四边形。BCE的面积比.

AD5

21.如图，在平行四边形ABC。中，E、F分别为边48、CD的中点，BD是对角线，AG〃152交CB的延长线于

⑴求证：四边形4GBD为平行四边形；

(2)若4G=2VLBG=2,CD=2痘,则四边形8EDF是什么特殊四边形？证明你的结论.

22."阳光玫瑰"是一种优质的葡萄品种.某葡萄种植基地2021年年底已经种植"阳光玫瑰"300亩，到2023

年年底"阳光玫瑰”的种植面积达到432亩.

⑴求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率.

(2)市场调查发现，当"阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，每天可多

售出50kg.为了减少库存，该基地决定降价促销.已知该基地''阳光玫瑰〃的平均成本为10元/kg,若要使

销售''阳光玫瑰〃每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？

23.【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如a/+b%+c(a。0)的多项式变形为。(％+?n)2+九的形式，

我们把这样的变形方法叫做多项式a/+法+c(a。0)的配方法,运用多项式的配方法及平方差公式能对一

些多项式进行因式分解或有关运算.

例如：对于+6。+8.(1)用配方法分解因式；(2)当。取何值，代数式+6。+8有最小值？最小值是

多少？

解：(1)原式=a2+6a+8+1—1

=a2+6a+9—1

=(a+3)2—1

=[(a+3)+1][(Q+3)—1]

=(a+4)(a+2).

(2)由(1)得：小+6a+8=(a+3)?—1,

v(a+3)2>0,

•**(a+3)2—1>—1,

.,・当。=一3时，代数式小+6a+8有最小值，最小值是一1.

【问题解决】利用配方法解决下列问题：

⑴用配方法因式分解：%2+2%-8；

⑵试说明不论小为何值，代数式-徵2+4m-5恒为负数；

⑶若已知(a+c)(b—a)=-(h+c)2且a丰0,求匕的值.

24.已知正方形4BCD的边长为4,点E是边2D的中点，EF\\CD,EF交对角线4c于点尸.

(1)如图1,取CF的中点G,连接DG、EG、BG,求证：EG=DG-,

⑵如图2以4声尻是由沿射线C4平移得到的，点Fi与点A重合，点M是&C的中点，连接

E]M交4D于点H.

①求证：DM1EM

②求DH的长.

25.如图1,在平行四边形ABCD中，ABrAC,AB=AC,点E在线段AD上，点B在线段AC上，连接ER

⑴连接BE,若AE=3,AB=3®求线段BE的长.

(2)将/XAFE绕A点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接BRCF,CF交AE边于点P,延长B尸交

AE^-M,且M■为AE■的中点，求证：AE+BF=2AP.

⑶如图3,将跖绕A点沿逆时针方向旋转，连接CFN为CP的中点，连接BN、AN,若祭=卓，在

旋转的过程中，当线段3N的长最大时，请直接写出产的值.

专题期中预测模拟卷

考试范围：第『4章；考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人得分

1.若2是关于x的方程/—c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（）

A.x=-2B.x=V2C.x=2D.%=4

【答案】A

【知识点】解一元二次方程一一直接开平方法、一元二次方程的解

【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，把％=2代入方程——。=0求出c,再解一

元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定义和解一元二次方程是解题的关键.

【详解】解：•••2是关于久的方程——c=。的一个根，

：.4-c=0,

/.c=4,

一元二次方程为/—4=0,

.'.x2=4,

/.x1=2,x2=—2,

.•.这个方程的另一个根是-2,

故选：A.

2.若a,b,c,d是成比例线段，其中a=2,b=3,c=4,则线段d的长等于（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【知识点】成比例线段

【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解.根据a、

b、c、d是成比例线段，得a：b=c:d,再根据比例的基本性质，求出d的值即可.

【详解】解：:a,b,c,d成比例，

ac

,.,一—_—,

bd

va=2,h=3,c=4,

,.•2—_4

3d

••・d=6.

故选：A.

3.在一个不透明的袋子中装有6个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球2个，红球4个，从中随机摸出

一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（）

AA.—1Bc.l—cC.-2rD.—3

3232

【答案】c

【知识点】根据概率公式计算概率

【分析】本题考查了概率，用红球数除以球的总个数即可得到摸出的小球是红色的概率，掌握概率的计算

公式是解题的关键.

【详解】解：从中摸出一个小球，共有6种可能，其中摸出的小球是红色的情况有4种，

故摸出的小球是红色的概率是:=

63

故选：C.

4.耕吟则詈的值为（）

八10-7-3-4

A.-B.—C.-D.

71077

【答案】A

【知识点】比例的性质

【分析】把吧化成2+1,再把：=?弋入，进行计算即可得出答案.

nn

【详解】解：：M

m+nm.310

——=—+1=-+1=—.

nn77

故选：A.

【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是把吧化成友+1,属于较简单运算.

nn

5.若一个菱形的两条对角线长分别是关于力的一元二次方程*2-14x+6=0的两个实数根，且其面积为

20,则该菱形两对角线长分别为（）

A.3与11B.4与10C.2与10D.5与8

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、利用菱形的性质求面积

【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质.设菱形的两条对角线长分别为a、b,利用根与系

数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长.

【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为打、%2,即/一14%+巾=0的两根为打、%2,

由题意得：巴+广=/

•.•菱形面积为20,

=20,解得：爪=%1%2=40,

...一元二次方程为/—14x+40=0,

整理得(%-4)(%-10)=0,

=

解得均=4、%210'

该菱形两对角线长分别为4与10,

故选：B.

6.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章28CDE上，若直尺的下沿MN，DE于点。，且经过点8,上沿PQ

经过点E且与4B相交于点F,贝叱4FE的度数为()

A.45°B.54°C.60°D.72°

【答案】B

【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、正多边形的内角问题

【分析】本题考查了正多边形的内角和问题以及平行线的性质及垂线定义.熟记公式是解题关键.根据正

多边形的内角和公式可求出正五边形4BCDE的每个内角度数，在四边形4B0E中求出N4B。即可求解.

【详解】解：',MNIDE,

：.Z.EOB=90°,

正五边形4BCDE的每个内角度数为：GV)?。。=1os。,

在四边形4B0E中,

乙ABO=360°-AA-^AEO-乙EOB=360°-108°-108°-90°=54°,

"EF||BO,

：.^AFE=乙ABO=54°,

故选：B

7.某厂家2024年1月份生产口罩产量为100万只，3月份生产口罩的产量为144万只，设从1月份到3

月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程是()

A.100(1-%)2=144B.100(1+x)2=144

C.144(1-%)2=100D.144(1+%)2=100

【答案】B

【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为X,根据

等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.

【详解】解：设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为X,

依题意得：100(1+%)2=144,

故选B.

8.如图，将一张三角形纸片4BC的三角折叠，使点4落在△ABC的4处折痕为DE,若乙4=35°,ACEA'=40°,

则4BD4的度数为()

A.105°B.110°C.115°D.120°

【答案】B

【知识点】折叠问题、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质

【分析】本题考查三角形的外角性质，折叠的性质.熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的

和是关键.设此,4。交于点尸，由折叠可知/4=〃=35。,根据三角形外角性质得:NBD4=^A+^AFD,

AAFD=^A'+ACEA',再结合NCE4=40。，即可求解.

【详解】解：如图，设AC,4。交于点F,

•••/.CEA!=40°,

ANAFD=+MEA'=35°+40°=75°,

,­.4BDA'=乙4+Z.AFD=35°+75°=110°,

故选：B.

9.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm,AC>BC,则AC等于()

A.^-^cmB.2(V5-1)cmC.4(V5-1)cmD.6(V5-1)cm

【答案】C

【知识点】比例线段

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫

做黄金分割，他们的比值(亨)叫做黄金比.

【详解】解：根据黄金分割点的概念得：AC=2^28=4(75—l)cm.

故选：C.

【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值.

10.如图，四边形ABCD是矩形，点尸在BC边上，4F平分NB4D且4D=AF,DE1AF垂足为点E,连接BE并

延长交CD于点G,连接。尸交BG于点H,连接EC交DF于点/,有下列结论：①"FD=NCFD；②DF垂直

且平分EC；③△EFC三△E”D；@AB=EG；⑤NEGC=67.5。.其中正确的结论有()个.

【答案】C

【知识点】利用矩形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、全等三角形综合问

题

【分析】由矩形的性质可得4。IIBC,/.BCD=90°,得出乙4DF=4CFD,由等腰三角形的性质得出乙4FD=

AADF,故①正确；由Rt^DEFmRt^ADCF得EF=CF,由线段垂直平分线的性质可得②正确；由NEDC=

45。，ED=DC,得△EDC不可能是等边三角形，得ED7EC,故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；

由全等三角形的性质及长方形的性质可得△4ED为等腰直角三角形，求出N4BE=67.5。，再根据平行线的

性质可得NEGC=UBE=67.5°,可判定⑤正确.

【详解】解：•••四边形4BCD是矩形，

AD//BC,/.BCD=90°,

・•.Z.ADF=Z.CFD,

vAD=AF,

・•・Z-AFD=匕ADF,

・・•乙AFD=〃：FD,故①正确；

乙

•・•Z-AFD=CFD,DElAFfDC1BC,

・•.DE=DC,

・•・。在CE的垂直平分线上，

在Rt△OEF和Rt△OCT中，

(DE=DC

IDF=DF'

・•・Rt△DEF=RtADCF(HL),

・•・EF=CF,

・••点F在CE的垂直平分线上，

DF垂直且平分CE,故②正确；

•••4F平分NBAD,

/.DAF=45°,

^ADE=45°,

.­•乙EDC=45°,

又ED=DC,

EDC不可能是等边三角形，

•••EDWEC,

EFC=AEHD错误；故③错误;

-AB=CD,ED=CD,

AB=ED,

•・•乙EDG=45°,

・•・EDWEG,

：.AB^EG,故④错误；

•••^DAF=45°,DEVAF,

.•.△2ED为等腰直角三角形，

AE=DE,

•・•Rt△DEF=RtADCF(HL),

・•.DE=DC,

XvAB=DC,

AB=AE,

•••Z-ABE=Z-AEB,

•・.ABAE=45°,

・•.AABE=67.5°,

•・•AB||DC,

・•・乙EGC=/-ABE=67.5°,

故⑤正确.

故选：c.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分

线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

第II卷(非选择题)

评卷人得分

11.在△ABC中，/.ABC=90°,AC=4,点。为4c的中点，则BD的长为

【答案】2

【知识点】斜边的中线等于斜边的一半

【分析】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得BD的长.掌

握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

【详解】解：在△ABC中，N4BC=90。，点。为4C的中点,

.•.BD是斜边4C上的中线，

5L'：AC=4,

：11

.BD=-2AC=2-x4=2,

故答案为：2.

12.确定一个b(bW0)的值为,使一元二次方程/+2bx+1=0无实数根.

【答案w

【分析】根据方程无实数根求出b的取值范围，再确定b的值即可.

【详解】•.•一元二次方程x2+2bx+l=0无实数根，

•*.4b2-4<0

因此，b可以取之等满足条件的值.

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用.此题难度不大，解题的关键是掌握当△<()时，一元

二次方程没有实数根.

13.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分

搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左

右，则a的值约为

【答案】15

【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而估计出概率，

再根据概率公式列出方程求解.

【详解】解：由题意可得

3

-=20%,

a

解得，a=15.

经检验，a=15是原方程的解，

.*.a的值约为15.

故答案为：15.

【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的概率计算公式列出方

程.

14.已知△ABC〜△DEF,ZX=30°,AB=50。，则4尸=°.

【答案】100

【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解

【分析】根据三角形的内角和，相似三角形的性质，即可.

【详解】W4=30°,乙B=50°,

.•.在△ABC中，ZC=180°-zX-zB,

ZC=180°-30°-50°=100°,

V△ABC〜△DEF,

ZF=NC=100°.

故答案为：100.

【点睛】本题考查三角形的知识，相似三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和，相似三角形的

性质.

15.如图，平行四边形力BCD中，在4D上截取4尸=4B,分别以点B、F为圆心，大于18尸的长为半径画弧，

两弧交于点P,连接4P交BC于E,若4B=5,BF=6,则4E的长为

【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据三线合一证明、作角平分线（尺规

作图）

【分析】本题考查作图一基本作图，等腰三角形三线合一性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾

股定理.连接EF,设4E,8F交于点0,证明四边形4BEF是菱形，可得4。=EO,BO=FO=3,AE1BF,

由勾股定理4。=4,即可求4E的长.

【详解】解：连接EF,设4E,BF交于点。，

由尺规作图的过程可知：直线4E1平分NB4D,AF=AB,

：.^FAE=^BAE,AE1BF,点。为BF的中点，

.♦.AE垂直平分BF,

:・EF=EB,

・・•四边形力BCD是平行四边形，AB=5,BF=6,

J.AD//BC,

C./-FAE=^BEA,

：./.BAE=/-BEA,

：.BA=BE,

：.BA=BE=AF=FE,

・・・四边形ABE尸是菱形，

i1i

：.A0=EO=-AE,BO=F0=-BF=-x6=3,

222

在Rt△0aB中，AO=y/AB2-B02=V52-32=4,

：.AE=2X0=2X4=8,

即4E的长为8.

故答案为：8.

16.如图，在正方形4BCD中，点E为边CD的中点，连接4E,过点B作8F，4E于点F,连接8。交4E于点G.则

AF:FG为

【答案】3:2

【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合

【分析】设正方形的边长为2a,由勾股定理求得4E=Za,易证△DEG“aB4G,得到粤=啜=：,进而

/1(J/1£5Z

求得4G=^a,再证-△E4D,利用相似三角形的性质求得4F=竿见于是FG=4G-4F=等。,

最后进一步求比值即可.

【详解】设正方形的边长为2a,

•..四边形4BCD为正方形,

AADC=乙DAB=90°,AB=AD=AC=a,AB||CD,

:点E为边CD的中点，

1

・•.DE=CE=-CD=a,

2

在Rt=y/AD2+DE2=V（2a）2+a2=V5a,

9JAB||CD,

.*.△DEGBAG,

.EG_DE_1

•・AG-AB-2’

又AG+EG=AE=V5a,

“2Vs

AG=—ct,

3

BF1AE,

・•.AAFB=90°=乙EDA,

•・•^BAF+乙DAE=90°,Z-DAE+乙AED=90°,

・••Z-BAF=乙AED,

ABFMEAD,

AF_AB即arti一4f=2a

DE-AE"a后

2V5

・••AF-----CL

5

厂厂/!r2遍2A/54A/5

・•・FG=AG—AF=—a----a=—a,

3515

吗3

•••AF-.FG=方

4V52

故答案为:3:2.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，找出合适的相似三角形，利

用相似三角形的性质得出相关线段之间的关系式解题关键.

评卷人得分

三、解答题

17.用因式分解法解方程O-3)2=(2%+1)2.

【答案】％1=|,x2--4

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【分析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程.移

项后分解因式得出(3x—2)(-x—4)=0,推出方程3x—2=0,-x-4=0,求出方程的解即可.

【详解】解：移项得：(x—3尸—(2x+1)2=0,

分解因式得：[(x—3)+(2x+l)][(x—3)—(2x+l)]=0,

即(3x—2)(—x-4)=0,

3x—2=0,—x—4=0,

解得：X]=|,x2=-4.

18.在△2BC中，乙4cB=90。，AB=10,BC=6,将△ABC沿射线AC向下平移得到△AB'C',边A'B'交BC

于点0,连接BB'.

⑴求证：四边形BCC'B'为矩形；

⑵当四边形BCC'8'为正方形时，求线段CD的长.

【答案】⑴证明见详解

【知识点】证明四边形是矩形、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解、相似三角形的判定与

性质综合

【分析】(1)由于△ABC沿射线2C向下平移得所以4C'与4C在同一条直线上，由B'C'||BC,B'C=

BC,“'=Z.ACB=90°,可判断四边形BCC'B，是矩形;

(2)由勾股定理求出AC,由平移的性质可得出4C，=AC=8,由正方形的性质可得出4C」|BB，，CC=

BC=BB'=6,进一步证明△ADCs^B'DB,由相似三角形的性质可得出胃=甘，即可求出CD.

BDBB

【详解】（1）证明•••△ABC沿射线2C向下平移得△ABC,

4C'与AC在同一条直线上，

由平移得，B'C||BC,B'C=BC,

四边形9是平行四边形，

•••NC'=4ACB=90°,

••・四边形8CLB，是矩形.

（2）'：^ACB=90°,AB=10,BC=6,

：.AC=<AB2-BC2=V102-62=8,

由平移的性质得：A'C=AC=8,

四边形BCC'B'为正方形，BC=6,

：.A'C||BB',CC=BC=BB'=6,

A^CA'D=^BB'D,A'C=AC-CC=8-6=2,

.；4A'DC=4BDB'

:.AA，DCsAB，DB,

,cp__A'C

,・BD-BBr

nnCD2

6-CD6

3

CD=-

2

【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平移的性质，正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定

理的应用，掌握这次判定以及性质是解题的关键.

19.微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其

他用户.小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，

将三个随机红包记为4B,C,分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走.

<发红包

0红包个数3个

□总金额¥100

红包封面领封面•

*100.00

⑴爸爸抢到红包a的概率为；

（2）请你利用画树状图求妈妈抢到红包B,同时小李抢到红包c的概率.

【答案】%

联

【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率

【分析】本题主要考查随机事件的概率，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图

法求概率的方法是解题的关键.

（1）根据概率的计算公式即可求解；

（2）列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解.

【详解】（1）解：共有3种等可能结果，A是其中一种，

二抢到A的概率为I；

（2）解：运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，

共有6种等可能结果，妈妈抢到红包B,同时小李抢到红包C的结果有1种,

,妈妈抢到红包B,同时小李抢到红包C的概率为

6

20.如图，在△48C中，D是边4B上一点.

⑴请用尺规作图，在4c上找一点E,作N4DE=NB,保留作图痕迹.

(2)若£=|,求△4DE与四边形DBCE的面积比.

【答案】⑴详见解析

(2)-

【知识点】尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质综合

【分析】

(1)根据基本作图，作出乙4DE等于已知角即可.

(2)利用相似三角形的性质求解.

本题考查作图一基本作图，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确

寻找相似三角形解决问题.

【详解】(1)

图形如图所示：

则乙4DE即为所求.

(2)

*.*Z-A—Z-A?Z.ADE=Z-B,

：.AADE八ABC,

..AD_2

•=—，

AB5

•S&ADE_（竺）2_4

SAABC\AB）25'

・S^ADE_4

••—,

SAABC-S^ADE25-4

・SAADE_4

••—•

S四边形DECBC21

21.如图，在平行四边形28CD中，E、尸分别为边4B、CD的中点，8。是对角线，AG〃DB交CB的延长线于

⑴求证：四边形4GBD为平行四边形；

(2)若4G=2VXBG=2,CD=2网,则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论.

【答案】⑴见解析

⑵菱形，见解析

【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形性质和

判定证明

【分析】(1)根据AD〃BG,AG〃DB判定即可.

(2)根据232=(2次/=12=(2企尸+22=AG?+BG?,判定四边形AGBD是矩形，从而得到DE=AE=EB,

从而判定四边形2EDF是菱形.

【详解】(1)•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BG,

VAG//DB,

四边形4GBD为平行四边形.

(2)•..四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边4B、CD的中点，

11

Z.AB/7CD,DF=-CD,EB=-AB,AB=CD,

22

；.DF〃EB,DF=EB,

...四边形BEDF为平行四边形.

2222

"：AB=(2百＞=12=(2必2+2=AG+BG,

.\ZAGB=90°,

,/四边形4GBD为平行四边形，

.••四边形AGBD是矩形，

.\ZADB=90o,

为边4B的中点，

；.DE=AE=EB,

•..四边形BEDF为平行四边形，

四边形BEDF是菱形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟

练掌握菱形的判定，勾股定理的逆定理的逆定理是解题的关键.

22."阳光玫瑰"是一种优质的葡萄品种.某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰"300亩，到2023

年年底"阳光玫瑰”的种植面积达到432亩.

⑴求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率.

⑵市场调查发现，当"阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，每天可多

售出50kg.为了减少库存，该基地决定降价促销.已知该基地"阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg,若要使销

售"阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？

【答案】⑴该基地"阳光玫瑰"种植面积的年平均增长率为20%

⑵销售单价应定位17元

【知识点】增长率问题（一元二次方程的应用）、营销问题（一元二次方程的应用）

【分析】（1）设该基地"阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x,利用该基地2022年年底"阳光玫瑰”的种植

面积=该基地2020年年底"阳光玫瑰"的种植面积乘上（1+该基地"阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的

平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为（20-y-10）元，每天能售出（300+50y）千克，

利用总利润=每千克的销售利润x日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

【详解】（1）解：设该基地"阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为X,

根据题意得：300（1+尤）2=432,

解得：x±=0.2=20%,x2=—2.2(不符合题意，舍去).

答：该基地"阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%；

(2)解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为(20-y-10)元，每天能售出(300+50y)千

克，

根据题意得：(20-y-10)(300+50y)=3150,

整理得：y2-4y+3=0,

解得：%=L>2=3

•••"阳光玫瑰”的售价为20元/kg,使消费者尽可能获得实惠

.♦.销售单价应定位17元.

23.【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如a/+bx+c(a力0)的多项式变形为aQ+m)2+几的形式,

我们把这样的变形方法叫做多项式a-+bx+戊。丰0)的配方法,运用多项式的配方法及平方差公式能对一

些多项式进行因式分解或有关运算.

例如：对于a2+6a+8.(1)用配方法分解因式；(2)当a取何值，代数式a?+6a+8有最小值？最小值是

多少？

解：(1)原式=a?+6a+8+1—1

=a?+6a+9—1

=(a+—1

=[(a+3)+1][(cz+3)—1]

=(a+4)(a+2).

(2)由(1)得：a?+6a+8=(a+3/—1,

•••(a+3)2>0,

(a+3)2—1>—1,

・•・当a=—3时，代数式a?+6a+8有最小值，最小值是—1.

【问题解决】利用配方法解决下列问题：

⑴用配方法因式分解：%2+2%-8；

⑵试说明不论小为何值，代数式—Tn?+4zn—5恒为负数；

⑶若已知(a+c)(b-a)=+c/且a*0,求卓的值.

【答案】⑴(x+4)Qi2)

(2)见解析

(3)2

【知识点】配方法的应用、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、因式分解的应用

【分析】(1)根据题干信息，利用配方法分解因式即可；

(2)先利用配方法将-病+4m-5变形为-⑺-2产-1,根据二次方的非负性，求出-病+4m-5的值

恒为负数；

(3)先将(a+c)(b—a)=](b+c)2变形为(2a—b+c)2=0,得出2a-6+c=0,即可求出f=2.

【详解】(1)解：x2+2x-8

=%2+2%+1—9

=(%+l)2—9

=(%+1+3)(%+1—3)

=(%+4)(%—2).

(2)解：•・,—m2+4m—5

=—(m2—4m+4)—1

=—(m—2)2—1,

•・•(m-2)2>0,

*e•—(771—27<0,

・•・—(m—2)2—1<—1<0

・•・不论TH为何值，代数式-7R2+4m—5恒为负数.

(3)解：•・,(a+c)(b—a)=+c/,

•••ab—a2+be—ac=+2bc+c2),

・•・4ab-4a2+4bc—4ac=b2-b2bc+c2,

・•・(4a2—4ab+b2)+2(2a—b)c+c2=0,

•••(2a—以+2(2a—b)c+c2=0,

•••(2a—b+c)2=0,

・•・2a—b+c=0,

•••2a=b—c,

•••aW0,

【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式a2士2ab+炉=(a±

24.已知正方形4BCD的边长为4,点E是边4。的中点，EF//CD,EF交对角线4C于点F.

图2

(1)如图1,取CF的中点G,连接DG、EG、BG,求证：EG=DG；

⑵如图2,2\久邑尻是由△4EF沿射线C4平移得到的，点尻与点A重合，点M是&C的中点，连接

E]M交4D于点H.

①求证：DM1E[M；

②求OH的长.

【答案】⑴见解析

⑵①见解析；

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性

质和SAS综合(SAS)

【分析】(1)证明△4EF-△AD。和△4”G根据相似三角形的性质分别求得4F=CF,AH=

=3,再根据线段垂直平分线的性质可得结论；

4

(2)①延长DM到N,使MN=DM,连接E】N、ErD,分别证明△&MN三△CMD(SAS),AE^N

EMD(SAS),得到=根据等腰三角形的三线合一可证得结论；

②先证明△%N为等腰直角三角形，进而求得Ei"=DM=号位£>=VIU,设4"=久，证明△第4"一

DMH求得MH=手工,则EI”=EIM—MH=VTU—¥X,在Rtz^AEi”中，利用勾股定理求得4H=|可求

解.

【详解】（1）证明：过G作GH_LAD于H,贝IJNAHG=90。,

图1

•.•四边形4BCD是正方形，

：.^ADC=90°,AD=CD=4,

•点E是边4。的中点，

：.AE=DE=-AD=2,

2

":EF〃CD,

：.^AEF=乙ADC=90°,AAFE=乙ACD,

：.AAEF〜△ADC,

,AF_EF^=|,则AF=CF,EF=|CD

'*AC~CD=2,

：G是CF的中点,

11

AGF=CG=-2CF=-4AC,

,：Z-AHG=/-ADC=90°,AHAG=ADAC,

：.AAHG〜△40C,

贝!MH=^/O=3,

ADAC44

:.EH=DH=1,又GHIDE,

・・・6”垂直平分0£\

：.EG=DG；

(2)解：①根据题意，ArEr=AE=AEr=EF=2,=^AD=90°,

延长DM到N,使MN=DM,连接第N、ErD,

・・・M是&C的中点，

又乙

：.ArM=CM,A]MN=(CMD,

・•・△&MN=△CM。(SAS),

乙

：.ArN=CD=AD=4,DCM=4N&M,

：.ArN//CD//AB,

zE1i41N=Z-AyErA—Z-ErAD=90°,

9

\A1E1=AEr,Z-ErArN=Z.ErAD,ArN=AD,

・•・△Ei&N=△EM。(SAS),

:・E]N=ED又MN=DM,

：.DM1EM

②在Rt2\2Ei。中，AE±=2,AD=4,

2

：.E±D=JAE^+AD=2V5,

•.•△Ei&N=AE±AD,

Z.ArErN=Z.AE^,

:•乙乙、+乙、

DE"=/-AErD+AEN=AEN=Z-A^A=90°,

...△D%N为等腰直角三角形，又DMLEiM,

、

：.ErM=DM=4ED=V10,

设AH=x,

；4E1AH=4DMH,乙EIHA=KDHM,

：./\ErAHMDMH,

・•.2=丝则/_=二

**DMMH'V10MH"

,\MH=^-x,则==

22

•在中，AEj+AH=ErH,

__2

22+%2=(VTS—?%),

解得%1=|，%2=6(舍去)，

2

：.AH=-,

3

210

：.DH=AD-AH=4--=—.

33

【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的

判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、平移性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌

握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线构造全等三角形求解是解答的关键.

25.如图1,在平行四边形ABCD中，AB±AC,AB=