辅助圆定点定长（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题01辅助圆定点定长（知识解读）

【专茎饯明】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才

会有最值。初中阶段动点的运动轨迹主要是“一条直线"或"圆"。在这类题目中，

题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合

题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。

【方放技巧】

模型一：定点定长作圆厂7、

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，；”!

\/

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆

模型一：点圆最值

已知平面内一定点D和O,点E是O上一动点，设点O与点D之间距离

为d,0半径为r.

位置关系点。在。内点。在。上点。在。外

图示0

龙的最大值d+r2rd+r

连接〃。并延长交。于点£

此时点£的位置

加1的最小值1d0d-r

连接勿并延长交

此时点E的位置点£与点〃重合连接勿交。于点人

。于点E

【典例令析】

【典例1］如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,ZCAD=2ZBAC,若N

BCD=105°,则NB£)C=

【变式1】如图，在四边形ABCD中，90°<ZBAD<1SO°,AB=AC=AD,

请画出满足条件时点C的轨迹.

【典例2】如图，在△ABC中，点。是边的中点，点E是边AC上的任意一

点（点E不与点。重合），沿DE翻折△£）色使点C落在点尸处，请画出点

R的轨迹.

B：、C

D

【变式2】如图，在[3ABCD中，AELBC于点E,将AAEB绕点B顺时针旋转,

使AB与边BC重合，得到△MNB,请画出在旋转过程中点M的运动轨迹.

【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线

面BC边上的动点,将AEBF沿EF所在的直线折叠得到AEBF,连接8D,求

的最小值。

【变式3-1]（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,M是AD

边的中点,N是A3边上的动点,将aAMN沿MN所在直线折叠,得到以'MN,

连接A'C,贝UA'C的最小值是.

B

【变式3-2］如图，矩形A3CD中，AB=4,BC=8,P是直线A3上的一个动点,

AE=2,△APE沿PE翻折形成△RPE,连接PF、EF,贝I］FC的最小值

是，点R到线段的最短距离是

【典例4】（2021秋叶B江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A

（1,0）,B（3,0）,C为平面内的动点，且满足NAC3=90°,。为直线

y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（）

A.1B.2C.V2-1D.V2+1

【变式4-1］（2021秋•武江区校级期末）如图，O”的半径为4,圆心M的坐

标为（5,12），点尸是OM上的任意一点，PA±PB,且必、P3与x轴分别

交于A、3两点，若点A、点3关于原点。对称，则A3的最小值为.

【变式4-2］（2021秋•萨尔图区校级期末）如图，点A,3的坐标分别为A（4,

0）,B（0,4）,C为坐标平面内一点，3C=2,点航为线段AC的中点,

连接OM,OM的最大值为.

专题01辅助圆定点定长（知识解读）

【专验饯明】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才

会有最值。初中阶段动点的运动轨迹主要是“一条直线"或"圆"。在这类题目中，

题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合

题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。

【方注技巧】

模型一：定点定长作圆厂

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，；"!

\/

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆

模型一：点圆最值

已知平面内一定点D和O,点E是O上一动点，设点。与点D之间距离

为d,0半径为r.

位置关系点。在。内点。在。上点。在。外

图示0

施的最大值d+r2rd+r

连接〃。并延长交。于点后

此时点£的位置

班'的最小值r-d0d-r

连接如并延长交

此时点£的位置点£与点，重合连接勿交。于点£

。于点E

【典例合新】

【典例1］如图，在四边形A3CD中，AB=AC=AD,ZCAD=2ZBAC,若N

BCD=105°,则N3DC=.

【解答】解：以A为圆心，A3为半径画圆,

：./CAD=2/CBD,ZBAC=2ZBDC,

"：ZCAD=2ZBAC,

：.ZCBD=2ZBDC,

,：ZCBD+ZBDC+ZBCD=1SQ°,

A3ZCBD+105°=180°,

：.ZCBD=25°.

故答案为：25°.

【变式1】如图，在四边形ABCD中，90°<ZBAD<180°,AB=AC=AD,

请画出满足条件时点C的轨迹.

【解答】，：AB=AC=AD,

.•.点C在以A为圆心，A3为半径的圆上运动,

:四边形A3CD中，900<ZBAD<180°,

•••点。的运动轨迹为面（不与3、。重合）.

【典例2］如图，在△ABC中，点。是边的中点，点E是边AC上的任意一

点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点R处，请画出点

口的轨迹.

【解答】M：'：DF=DC,

：.则点/在以点。为圆心DC为半径的圆上运动，

当点E与A重合时，与O。交于。，

则而即为点F的运动轨迹.

ZFDE=ZCDE=ZCDA,则轨迹为优弧MQC,满足NMDA=NCZM,

此时点F的轨迹为质.

【变式2】如图，在团A3CD中，AE,3c于点E,将AAEB绕点8顺时针旋转,

使A3与边3c重合，得到△MN3,请画出在旋转过程中点M的运动轨迹.

【解答】解：如图，弧AM即为所求.

D

>N

A

【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线

面BC边上的动点，将AE5/沿EF所在的直线折叠得到AEB尸，连接求3D

的最小值。

解：如图，点E为圆心，£6为半径作圆，

当点E,B',D三点共线时8。的值最小。

vZA=90°,AE=-AB=2,AD=6

2

DE=^+62=2410,

B'D=DE-EB'^2yflO-2

【变式3-1]（2019•锦州）如图，在矩形A3CD中，AB=3,BC=2,〃是AD

边的中点,N是A3边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠,得到W'MN,

连接A'C,则A'C的最小值是.

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质

【解答】解：•.•四边形A5CD是矩形

：.AB=CD=3,BC=AD=2,

是边的中点，

：.AM=MD^=1

,：将△AMN沿MN所在直线折叠，

：.AM=A'M=1

.•.点4在以点“为圆心，AM为半径的圆上，

如图，当点4在线段上时，AC有最小值，

MC=VMD2<D2=

：.A'C的最小值=〃。-MA'=V10-1

故答案为：Vio-1

【变式3-2］如图，矩形A3CD中，AB=4,BC=8,P是直线A3上的一个动点，

AE=2,AAPE沿PE翻折形成△RPE,连接PF、EF,贝UFC的最小值

是，点R到线段3C的最短距离是.

【解答】解：连接CE,作EGLBC于G,

,:AE=EF=2,

.•.点/在以E为圆心，AE为半径的圆上运动,

在Rt^CDE中，由勾股定理得，

CE=VDE2CD2=VB2+42=,

：.FC的最小值为CE-2=2^13-2,

ZDAB=ZABC=ZBGE=9Q°,

•••四边形A3GE是矩形，

：.EG=AB=4,

点F到线段BC的最短距离是2,

故答案为：2Vl§-2,2.

【典例4】（2021秋叶B江区期末）如图，在平面直角坐标系x°y中，已知点A

（1,0）,B（3,0）,C为平面内的动点，且满足NAC3=90°,。为直线

y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（）

c.V2-1D.V2+1

【解答】解：•.•NACB=90°,

...点C在以为直径的圆上，

为直径的圆的圆心为E点，如图,

连接DE交OE于U,

VA（1,0）,B（3,0）,

.,.AB=2,AE=1,

.♦.DCWDE-CE（当且仅当。、C、E共线时取等号）

即DCWDE-1,

•.•DE,直线y=x时，DE最短,DE的最小值为退_OE=&,

2

线段8长的最小值为&-1.

故选：C.

【变式4-1］（2021秋•武江区校级期末）如图，O”的半径为4,圆心M的坐

标为（5,12），点P是OM上的任意一点，PA±PB,且必、P3与x轴分别

交于A、3两点，若点A