广西桂林市某中学2024届高三年级下册模拟考试数学试题（含答案解析）

广西桂林市国龙外国语学校2024届高三下学期模拟考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.^M={y\y=x2,3x^R},N={x\4i^>0],则下列选项正确的是（）

A.M<JN=RB.MuN=N

C.McN=ND.McN=0

2.从0,1,2,3,4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（）个.

A.24B.30C.36D.60

3.若古典概型的样本空间。={123,4},事件4={1,2},事件A,B相互独立，则事件B可

以是（）

A.{1,3}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

4.已知实数a,b,c满足°=QJ=1,则

)

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

5.若馍$[]+2戊]一45诂2々=一2,则tan2a=()

1

A.—2B.—C.2D.

22

22

6.已知片、鸟是双曲线=1的左、右焦点，过用作双曲线一条渐近线的垂线，垂

足为P,且|尸片「+|尸£『=862,则双曲线C的离心率为（）

A25「2A/3

B.-Vz.-----D.—

,3433

7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4vL其顶点都在同一球面上,

则该球的表面积为（）

A.100KB.12871C.144兀D.192兀

8.已知函数〃x)的定义域为R,且〃0)=/?卜1,若/(尤+y)+/(x-y)=2/(x)-cosy,

则函数[（X）（）

试卷第1页，共4页

A.以兀为最小正周期

B.最大值是1

C.在区间管上单调递减

D.在x=T处的切线方程是了=-尤+3+1

，2.

二、多选题

9.已知a,6eR,z是纯虚数，7为z的共辄复数，且。-3z=（-3-z）i（i为虚数单位），则

A.a=l,z2=lB.b+z^b-z

0忖=［三"D'z是方程x2-（6+i）x+6i=（）的一个根

10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成

绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得

到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90,100）内的同学

成绩方差为10.则（）

频率

A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32

11.已知直线6和平面见£,a与0所成锐二面角为6.则下列结论正确的是（）

A.若。_La,b_L£,贝!Ia与6所成角为6

B.若a//c,6//£,则。与6所成角为0

试卷第2页，共4页

TT

C.若aua,则。与6所成角最大值为

7T

D.若皿,则6与a所成角为

三、填空题

12.已知单位向量£,♦的夹角为c=fl-3/7.若比+5与工垂直，贝>U=.

13.设点尸(%,%)在抛物线牧f=8y上,已知/(0,2),3(0,-2).若|“尸|=5,则

%=;若%>0,则直线8尸斜率的最小值为.

14.已知VN8C中，内角NC=60。，为内角/N的平分线(。在边8C上)，设△/£>(?和

△ADB的面积分别为E，星，则1k的最大值为.

四、解答题

15.小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为/类题和3类题，小张需要通过“抽

小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标

有字母/,另外2个标有字母2,小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A

类题，否则答8类题.

⑴设小张抽到A球的个数为X,求X的分布列及£(X).

(2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张

确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答.求小张回答论述题的概率；

16.如图，几何体H3CD中，△尸8。和△C3。均为等边三角形，平面J.平面可。，

AB=AD=亚,BD=2,PC=6,M为BD中点、.

(1)证明：PC与不是异面直线；

(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

17.设数列｛%｝的前“项和为S’,，已知2S“=a用一2"M+l(〃eN*),且％=5.

试卷第3页，共4页

⑴证明：]全+1]为等比数列，并求数列｛册｝的通项公式；

⑵定义函数/(X)=[x],其中因表示不超过X的最大整数，如[2.3]=2,-1.9]=-2,设

a+2〃]

%=’一，数列｛4｝的前”项和为1,求q24除以16的余数.

18.函数/(%)=---a图象与x轴的两交点为⑼仁>玉)

⑴令〃(x)=/(x)-ln尤+x,若M>)有两个零点，求实数。的取值范围；

(2)证明：再%2<1；

(3)证明：当a25时，以NB为直径的圆与直线y=^(x+l)恒有公共点.

(参考数据：e0-25«1.3,e2-5引2.2)

22

19.已知椭圆C：£+竟]=1过定点尸(血,1),过点尸的两条动直线交椭圆于

力(亚/1),8。2，%)，直线尸4网的倾斜角互补，P为椭圆C的右焦点.

⑴设M是椭圆C的动点，过点M作直线x=2a的垂线"MN为垂足，求号.

(2)在4/8尸中，记NFBA=a/FAB=0,若直线的斜率为，，求sina-sin£的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ABAACDADACDBC

题号11

答案AD

1.A

【分析】求出y=的值域和工工20中x的范围，得出”,N的具体范围，再根据

集合的交集、并集运算即可求解.

【详解】j=x2,xeR,

则。w[0,+oo),

所以M=W|y»O},

Jl-x>0，

贝八一xNO,解得尤VI,

所以N={x|x41},

所以MuN=R,WnN={x|OVxVl}.

故选：A.

2.B

【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理,

即可求得答案.

【详解】若从0,1,2,3,4中选出3个数中没有0,

则组成各位数字不重复的三位偶数有A；A；=12个；

若从0,1,2,3,4中选出3个数中有0,且0排在个位，

则组成各位数字不重复的三位偶数有A：=12个；

若从0,1,2,3,4中选出3个数中有0,且0不在个位，

则组成各位数字不重复的三位偶数有A；A；=6个；

故从0,1,2,3,4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，

这样的数有12+12+6=30个，

故选：B

3.A

答案第1页，共14页

【分析】根据尸(/c3)与尸(/)尸(3)是否相等判断事件是否独立，得到答案.

71

【详解】由题意得尸(/)=彳=于

711

A选项，尸(3)=(=",/cB={i},故尸(/ng)=w，

所以P(/c2)=尸(/)P(2),故事件48相互独立，A正确；

3?1

B选项，尸(8)=1/口5={1,2},故p(/n2)=[=3，

所以尸(8),故事件42不相互独立，B错误；

21

C选项，尸(8)=]=5，A^B=0,故p(/ns)=o,

所以P(/n2)wP(/)尸(3),故事件48不相互独立，C错误；

Q1

D选项，尸(3)=4，力门8={2},故尸(力「5)=4，

所以尸(Z「5)w尸(4)尸(5),故事件45不相互独立，D错误;

故选：A

4.A

i11

【分析】根据条件，得到6=(上尸，利用函数>=(5)、的单调性，即可得到〃<6<1,而。>1,

22

即可求出结果.

【详解】因为"=3，得到6=(》；又a=f，函数>=(]'是减函数，

所以a*；<b=(y<l，又出得至l]c=log』=log23>l,

所以Q<b<c,

故选：A.

5.C

【分析】先利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二

倍角的正切公式即可得解.

【详解】由cos(5+2“-4sin2a=-2,得一sin2a_4sin2a=-2,

2sin6zcosof+4sin2a"目口2tana+4tan2a-

BRnP-------------2-----=2,BP----------------二2,

sina+cosatana+1

答案第2页，共14页

所以2tana+4tan2a=2tan2a+2,所以tana=l-tan2a，

ec2tana八

贝！Jtan2a=--------=2.

1-tana

故选：C.

6.D

【分析】先根据点到直线得距离公式求出|尸耳|=b,在△尸O居和△PO片中，求出

cos/POF»cos/POF「利用余弦相反构造见仇。的齐次式，即可得解.

/、\bc\..

【详解】g(c,。)，点6到渐近线川-砂=0的距离为二=6,即户用=6,

7b+a

因为|尸片「+|尸用2=8〃，所以归团=屿尺|尸O|=a,

+

在△尸O制中，由余弦定理得：3s/P0F,="d

2ac

在△尸。片中，由余弦定理得：cosNPOK.

2ac

因为ZPOF2+ZPOF1=兀，所以cosZPOF2=-cosAPOFX,

^a2+c2-b2=-(a2+c2-^b2),又NU所以3c2=5",

所以e=1H=妪.

\a23

7.A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小弓，再根据球心距，圆面半径,

以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径自4，所以2〃=应一,2%=小二，即

q=3,2=4,设球心到上下底面的距离分别为4,4，球的半径为R,所以4=42_9,

答案第3页，共14页

2

d2=YR-16，故|4-4|=1或4+〃2=1，即|，火，一9一1火2—16|=1或,火2_9+,火2_16=1，

解得R2=25符合题意，所以球的表面积为S=4kR2=1()0%.

故选：A.

【分析】先通过赋值法求得〃x)=®n[x+：],然后利用正弦函数的性质判断ABC,求

出导函数，利用导数的几何意义求得切线方程判断D.

【详角军】令x=O,y=乙得/«)+/(V)=2cos乙

令x==得小+，)+〃>0，

令%=]/=曰+/,得/'(兀+f)+/(T)=_2sin?,

由以上3式，得/⑺=sin/+cos/,即f(x)=siwc+cosx=亚sin(x+；j,

则/'(x)的周期为T=2兀，且/(X)的最大值为故A,B错误；

令则x+：e(0,J,又函数y=sinx在(0,|^上单调递增，

在gj上单调递减，故/(X)的在区间上不单调递减，故C错误;

因为/'(x)=cosx-sinx,则左=/[鼻==1；

则在x=g处的切线方程是受T+J+1,故D正确.

故选：D

答案第4页，共14页

9.ACD

【分析】先由求出纯虚数z,然后利用复数的四则运算及模的运算判断AC,利用共轨的概

念判断B,利用复数相等验证方程的根判断D.

【详解】由题意设z=Zi,因为3z=(-3-z)i,所以3行=(一3-勺=/一篁，所以°=仁1,

所以z=i,zN=ix(-i)=l,故A正确；

对于B,'b+i=b-i,b-z=b+i,所以肃看6—彳，故B错误；

对于c,忖=|i|=i,］会］卜［三)卜|(刃=7=1,所以目=［三］［故C正确;

对于D,因为i?-(6+i)xi+6i=-l-bi-(-l)+bi=0,

所以z是方程f-(6+i)x+历=0的一个根，故D正确.

故选：ACD

10.BC

【分析】利用小长方形面积和为1得A项错误；面积等于0.5的值即为中位数，可知B正确;

利用直方图中平均数和方差公式可得C正确，D错误.

【详解】A项，(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=1,a=0.005,A项错误；

B项,［50,70］内频率为：5x0.005x10=0.25<0,5,

［50,80］内频率为：12x0.005x10=0,6>0,5,

则中位数在［70,80］内，设中位数为X,则0.25+(x-70)x7x0.005=0.5,

则x=77.14,B正确;

成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为3;x85+$195=87.5分，

31

方差为户口2+(87.5-85)1+了、［10+(87.5-95力=30.25,C正确,D错误.

44

故选：BC.

11.AD

【分析】根据线面角的定义判断即可.

【详解】对于A,如图.

答案第5页，共14页

b

因为6,⑸c与尸所成锐二面角为6,所以a与b所成角为6,故A正确；

对于B,若alla,bll/3,此时不能确定。与6所成角，如直线a//6时，此时。与6所成角为0,

故B错误；

对于C,设平面见尸的交线为直线/,

当。〃/时，。与〃所成角为0,

当。与/不平行时,

设ac/=C,在直线。上取点4过点N作£于点8,

作。4，/于点。，连接08,因为OA工人0B,lu。,所以。4，。氏0/，/，

又OA_U,OAcOB=O,所以/，平面048,

又08u平面048,所以。8，/,则N/O8即为a与。所成锐二面角的平面角,

则44。5=0,因为4B_L/?,aea,所以//C2即为。与尸所成角的平面角，

AR4R

则tan/4C5=——<——=tan。，当且仅当时取等号，

BCOB

所以。与夕所成角最大值为6,故C不正确；

对于D,如图.

TT

因为6，万,a与夕所成锐二面角为6,所以6与a所成角为：-夕，故D正确.

故选：AD.

12.-5

答案第6页，共14页

【分析】根据题意，结合（痛+办（135）=0,列出方程，即可求解.

【详解】因为单位向量.的夹角为方，可得问=B|=i,z%=g,

又因为与+7与工垂直,可得（加+》0-3石）=0,

即X。2+a•书一32a-b-^b=A+(l-3/i)x--3=0,解得4=—5.

故答案为：-5.

13.31

【分析】第一空：由两点间距离公式以及点P坐标满足抛物线方程联立列式即可求解；第二

空：将直线3P斜率表达式求出来，结合基本不等式即可得解.

【详解】第一空：若|凹=5,贝1］焉+（尢-2）2=25,

2

又x；=8%,所以包+2『=25,注意至U%=至20,

8

所以解得为=320满足题意；

第二空：直线BP斜率为左乂,+21+2

右/>

kBP=---=---_।2,0,

%%8%

则由基本不等式得凝「=^+—>2,等号成立当且仅当厮=4.

8沁

故答案为：3；1.

14.拽/26

33

【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理、二次函数的性质进行求解即可.

2222

【详解】由余弦定理得，=a+b_2abcosC=a+b-ab

1.ABAC

—ACADsm-----,

cc_22=g

ZBACc

星S.ADB-AB-ACsin

22

XYr；廿i二i

£=7=c^+^-ab[in[g_12+3

4

当/=!即6=2.时,最大，最大值为3.

b2

答案第7页，共14页

故卷的最大值为友.

星3

故答案为：巫

3

9

15.(1)分布列见解析，-

37

(2)—

-50

【分析】(1)利用超几何分布可求分布列，利用公式可求期望.

(2)利用全概率可求小张回答论述题的概率.

o「2rla

【详解】(1)X的所有可能取值为1,2,3,则尸(X=l)=酒=6,尸(x=2)=,=?

cJ.UcJ

所以X的分布列为

(2)记事件A为“小张回答A类题”，5为“小张回答B类题”，C为“小张回答论述题”.

Q173

由⑴知尸(/)=《+1r5,P⑻=6

由题意知P(C|N)=?尸(C忸)=|,

所以尸(C)=P(C⑶尸(/)+尸(C同尸⑻=1x历+丁口=否.

16.(1)证明见解析；

⑵噜.

【分析】(1)想证明不是异面直线，就是要证明尸,这四点共面，根据线面垂直的判

定定理、线面垂直的性质、等腰三角形的性质，结合平面内垂直的性质进行证明即可；

(2)根据(1)的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

答案第8页，共14页

【详解】（1）连接CM,由4B=4DAPBD、ACBD为等边三角形,W为BD中点，

得AM1BD,PM1BD,CM1BD,

又AMAPM=M,AM,PMu平面APM，

则2。1平面平面叫于是AD_LR1；

而CNClW=M,CM,PMu平面CPM,

则2。1平面cm,又尸Cu平面CPM,于是8D_LPC

又尸/口「。=尸,24尸。＜=平面尸/（?,因此8。1平面P/C,

设平面尸/C与直线2。交于点ML则即，W,显然ZATu平面

在平面内，过直线AD外一点/有且仅有一条直线与AD垂直，

所以M与AT重合，即有R4M,C四点共面.

故PC与不是异面直线；

（2）由（1）知，平面P/MC_L平面5cD,在平面尸4WC内过点M作〃z_LMC,

而平面P/MCPl平面8CD=MC,则Afe_L平面BCD,直线两两垂直，

以M为原点，直线心分别为X//轴建立空间直角坐标系，

由平面ABD_L平面PBD,平面ABDc平面PBD=BD,AMu平面ABD,AM±平面PBD,

而平面尸8。，则由△尸3。和△C3D均为等边三角形，

得PM=MC=PC=6/PMC=60。,由/5=/。=石，得4M=2,

于是尸0,^-,-＜（0,百,0）,现1,0,0）,/（0,-百,1）,

二一V33

,YYI,BP=­X-----VH—Z=0I—，一//~\

则2'2,令A夕=百，得行=（3,6,1）,

m-BC——x+y/3y—0

答案第9页，共14页

AB-m

设直线48与平面PBC夹角为6,贝Ijsin8=kos/3，H=5而

AB||m|V5-Vf313

所以直线AB与平面尸5C所成角的正弦值为返.

13

17.(1)证明见解析;%=3"-2"

(2)8

【分析】⑴根据%=心"：得出%=3%+2",构造出缪+1=：修+1],即可

区-222<2)

证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；

(2)c„=—,结合3"=(4-1)”及二项式定理得出当"为奇数时，了当〃为

分组求和得出724=-1)T012，利用二项式定理得出4。24除

偶数时,M

了-7

以16的余数为3C；：；；-1012除以16的余数，即可求解.

2

【详解】(1)当〃=1时，2S1=a2-2+l,又出=5,所以q=E=1,

当〃22时，2S“=a用一2"“+1(〃eN*)①，

故2S--2"+1,②

+l

①一②得，2an=an+l-an-2-+2",即。m=3。“+2”,

又。2=3%+2,故当〃®N*时，a〃+i=3a〃+2〃，

故餐=3.%+」，即■+1=314+]

口乂2"+122"22"+12(2")

因为[黑+1]为首项为胃=：,公比为:的等比数歹

[2〃J222

3〃-2〃+2"£

(2)由(1)知,

4~4

因为3〃=(4—1)〃=C:4〃+C；4〃T(―1)+…+C；i4x+C：(―1)〃

答案第10页，共14页

=4x[c°4'i+C[4«-2(-1)+.•.+C：-1(-ir1]+C：(-lf,

当〃为奇数时，-=丁+:，故二=下—了，

4|_4J4|_4J44

3〃3〃1rr__]_

当”为偶数时，丁一+—故

44~4~4~4

所以^2024-C\+°3。2023+Q+04+。2024

=3+33+…+32。2333234+...320

-1012x-4++-1012」

4444

-1012,

1012

9*1(8+1)-1_00olOll「1J^IOIO/^lOlOo,「1011

88-8

考虑当先22时，8斤能被16整除，另外C：瞿x8=506xl011x8也能被16整除,

故矗24除以16的余数为3c第-1012除以16的余数,

3C；^-1012=3x1012-1012=2024=16x126+8,

故&24除以16的余数为8.

18.⑴(e+l,+oo)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由导数求出可力的最小值，结合有两个零点可得答案;

⑵转化为"(气，取对数可得Uki，要证…1即证明

In三=令”代"即证-j构造函数利用导数可得答案;

X]

(3)即证N3中点到该直线距离小于半径，也就是证明：4[4(X1+X2)-11](X1+X2+2)>0,

证明玉+%>?成立即可，构造函数令夕(。=力学二利用导数可得答案.

答案第11页，共14页

【详解】(1)A(x)=-——lnx+x-a(x>0),h'(x}=——+“),

xv7x2

当0<x<l时，〃(无)<0,x>l时，〃(x)>0,

所以函数〃(X)在(0,1)上单调递减,(1,+8)上单调递增，

所以〃(x)的最小值为"l)=e+l-a,

当x趋向于0且x>0时，/z(x)无限趋向于正无穷大，

当x无限趋向于正无穷大时，〃(x)无限趋向于正无穷大，

所以有两个零点，只需要Ml)=e+l-a<0,即a>e+l,

所以实数。的取值范围为(e+L+s)；

/、eXleX1

(2)由题知，令/(x)=0,则。=一=——,

取对数可得：Xj-ln%1=x2-lnx7,."%:=1,

lnx2-mx]

要证网％<1,即证：4^2<,%2>

1nx2-InX]

即证明：代’令"

—〉1,即证：21皿<,

匹t

/、1一产

令g(0=21nf-7+-,贝lJg(l)=0,g，(/)=---------<0,

tt

所以g⑺在(1,+8)上单调递减，g«)<g⑴=0恒成立,

因此西工2<1得证；

(3)要证：以NB为直径的圆与直线y=^(x+l)恒有公共点,

即证NB中点到该直线距离小于半径，

4

2

也就是证明：16(%+x2)-12(X[+X2)-12-76X1X2>0,

由(2)可知再％<1,所以

答案第12页，共14页

22

16（$+x2）一12（巧+X2）-12-76XJX2>16（x1+x2）-12（^+X2）-88>0,

即414（再+%2）-11]（再+x2+2）>0,

下面证明：芭+x2>Y成立即可，

因为/，（%）='（；",5w（—e,O）u（O,+8），

因此/（X）的单调递增区间为（1,+8）,单调递减区间为（-。,0）,（0,1）,

所以0<玉<1<%2,

令％=超，由^=二，贝I/=^-,々=>1，，再+12=（7+1）1皿

项xxx2t—1t—1t-1