2025年高考数学 圆锥曲线的综合应用 教案

突破5圆锥曲线的综合应用

由学生用书P202

命题点1圆锥曲线的综合问题

例1［多选惭高考卷I］已知曲线C：mx1+ny1=l.(ACD)

A.若机>〃>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若机=〃>0,则C是圆，其半径为迎

C.若修〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±『fr

D.若加=0,〃>0,则C是两条直线

解析对于选项A,；m>n>0,方程优/+町2=1可变形为］+［=1,

mn

该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B,'：m=n>0,方程:加+町2=1可

变形为该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C,：<0,...该方程表

示双曲线，令》!f十〃、2=0=>,=±正确；对于选项D,'.'m=0,n>0,二方程

如2+”>2=1变形为wy2=］今y=±该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.

例2已知斜率为左的直线/与椭圆C：。+：=1交于A,8两点，线段AB的中点为M

43

(1,m)(m>0).

(1)证明：k<-l，

(2)设尸为C的右焦点，尸为C上一点，且而+京+而=0.证

明：I而I,\FP\,I而I成等差数列，并求该数列的公差.

解析(1)解法一设A(用，>1),5(X2,>2),

则？+苧=1,f+f=l,两式相减,

并由g=左得。+0.左=(),

x1~x243

由题设知心£=1左土及=机，于是左=一二①.

由题设得0<相<|,故k<.—

解法二设直线/的方程为》=无(X—1)+m,

y=k(%—1)+m,

2—

由%2v2得(3+49)f+8Z(m—%)x+4(加一%)12=0,

土+匕=1

43

A=64R(m-fc)2-4(3+43)［4(机一女)2-12］=48(3^+2m^-m2+3).

8k(k—m)

设A(xi,%),B(X2,”),则为+%2=

3+4k2

因为线段A8的中点为M（1,m）（m>0）,所以卫三^=1,

即竺上"=化简得加=一二.

3+4/c*2*44k

q

由相>0得，一二>0,所以左〈0.

4k

又点M（1,777）在椭圆内部，

所以工+空<1,即工+二7c1,解得k<一士

43416k22

q1

经检验，当机=一三，左<一乙时，满足A>。.

4k2

故k<—

2

（2）由题意得/（1,0）.

设尸（乃，为），则由而+西+丽=0,

得（工3—1,、3）+（X1—1,%）+（X2—1,丁2）=（0,0）.

由（1）及题设得I3=3—（为+%2）=1,y?>=~（与+丁2）=—2m<0.

又点尸在。上，所以m=-,从而P（1,FP

42,II2

于是IFXI=J、+W=J（久「I）、+3（1-£）=2-）.

同理I而I=2-^.

所以I党I+I而I=4-|（X1+X2）=3.故2|而1=1同|+|而I,

即I市I,\FP\9IFBI成等差数列.

设该数列的公差为d,则21dl=I\FB\~\FA\I|尤i—尤2I=

12

（%1+比2）—②.

2

将根=2代入（1）中的①得上=—1.

4

所以/的方程为了=一尤+4代入C的方程，并整理得7x2—14x+工=0.

44

故％I+%2=2,xiX2=—,代入②解得IdI=®红.

2828

所以该数列的公差为阻或一到红.

2828

训练1⑴已知椭圆C：捻+*1Q>6>0）的左、右焦点分别是F1（—c,0）,F2（c,0）,点

尸是椭圆C上一点，满足I闻+而I=I两一配I,若以点尸为圆心、r为半径的圆

222

与圆B：（x+c）+y=4af圆/2：（x-c）2+尸=〃2都内切，其中（）〈/<〃，则椭圆C

的离心率6为（C）

D.W

AiC岑

解析将IM+MI=I隔一讯I两边同时平方，得耐•西=o,则耐_L电.

如图，延长尸1P交圆尸于N,延长尸2尸交圆尸于加，

结合已知可得「P&l=1&N—PNI=2a-r,

IIPF2I=|F2M\-\PM\=a-r,

所以IPPM—IPF2I=a,

由IPPM+I睡I=2a,得IPFiI=y,IPF,I=].

____>____>222q〃22c

在△尸尸尸中，尸F1J_PF2可得尸&PFFF,所以竺+n匕=4，，所以

12II+I2I=I12I44

e2=0=*所以6=逗.故选C.

az84

（2）[2023西安一中调研]如图，圆柱。。1的轴截面A8S4是正方形，

D,E分别是A4i和881的中点，C是弧A2的中点，则经过C,D,E的

平面与圆柱。。1侧面相交所得到的曲线的离心率是

解析设正方形A8B14的边长为2,G是弧囱4的中点，且与C关于

圆柱的中心对称，连接CG,由题意可知，所得曲线为椭圆,

椭圆的短轴长为2,长轴长GC=2V^,所以长半轴长a=V^,短半轴长b=l,故半焦距

c=la2-b2=1,所以椭圆的离心率e=（=j.

命题点2圆锥曲线在实际生活中的应用

例3（1）[2023高三名校联考（二）]如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦

点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲

22

线E：号-3=1（。>0，b>0）的左、右焦点分别为B，尸2,从尸2发出的光线经过图2中

azoz

的A,8两点反射后（A,F2,B三点共线）,分别经过点C和点D且cos/BAC=—|,

AB±BD,则E的离心率为（

AV5

A—

2B岑

解析如图，连接AE,BFi,设IAF2I=m,IBF2I=〃，由双曲线的定

义可得IAFiI=2a+m,IBFrI=2a+n,由cosZBAC=-|,可得

COSZFIAF7=",在RtAABiB中，sinZFiAF7=^^-=-①，(2a+n)2+

52a+m5

(m+n)2=(2tz+m)2②.

在△ABB中，可得4c2=加2+(2^+m)2—2m(2。+机)・|③.

n=1a,「斤7

3代入③可得9c2=17层，则离心率e=£=竺.故选B.

m=-a,a3

{3

(2)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图1所示)时，发现其曲面与轴截面的交线为

抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚

焦到焦点处(如图2所示).已知接收天线的口径(直径)为5.2m,深度为1m,则该抛物

线的标准方程为y2=6.76x.

图1图2

解析如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立直角坐标系，使接收天线V

的顶点(即抛物线的顶点)与原点。重合，焦点E在无轴上，IASI=5.2.设抛

物线的标准方程为(p>0),由已知条件可得，点A(1,2.6)在抛物线\

上，所以2P=2d=6.76,所以所求抛物线的标准方程为^=6.76尤.

训练2[2023上海模拟]“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥，如

图1,桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直

的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯

形A8EM和其上方的抛物线MOP(部分)组成，建立如图2所示的平面直角坐标系，已

知IABI=44m,ZA=45°,IACI—4m,ICDI=5m,立柱IDNI=5.55m.

图1图2

(1)求立柱ICMI及横梁IMFI；

(2)求抛物线MOP的方程和桥梁的拱高IOHl.

解析(1)由NA=45°,可知ICMI=IACI=4m.

因为四边形ABFM是等腰梯形，由对称性知：|ACI=IBEI=4m,

所以IA/FI=ICEI=IABI—IACI—IEBI=44—4—4=36(m).

(2)由(1)知ICHI=IA”I—IACI=18,所以点M的横坐标为一18,

则N的横坐标为一(18—5)=-13.

设点N的纵坐标分别为yi,以，

由图形，知Iy\~yiI=I5.55—4I=1.55.

设抛物线的方程为炉二一2py(p>0),将点A/,N的坐标代入，得(—18)2——1py\,

(—13)2=—2娱，

两式相减，得2P(以一yi)=182—132=155,解得2〃=100,故抛物线的方程为久2=

-100y.

因此，当X=—18时，y=--x2=--X324=-3.24,

100100

故I%I=3.24,所以桥梁的拱高IOHI=3.24+4=7.24(m).

1.［命题点2A024北京市陈经纶中学模拟］如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面

(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口A4c是椭圆的一部

分，灯丝位于椭圆的一个焦点为上，片门位于另一个焦点6上.由椭圆一个焦点B发出的

光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点尸2.已知IFJBI=

y,IF1F2I=4,则截口BAC所在椭圆的离心率为，.

解析以QB的中点为原点，尸所在直线为无轴建立平面直角坐标系，由及

椭圆性质可得，8C为椭圆的通径，所以IF\BI,IF1F2I=2c=4.又々2=32+

a3

c2,解得。=6,c—2,b—442,所以截口1MC所在椭圆的离心率为

2.［命题点2/2023东北三省四市联考］早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造

桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的四个溢流孔，桥拱和

溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，建立如图所

示的平面直角坐标系无。》根据图上尺寸，拱桥轮廓线OAC所在抛物线的方程为x2=

-80y,溢流孔与桥拱交点A的横坐标为詈.

解析设桥拱所在抛物线的方程为/=-2py(p>0),由题图可知，曲线经过点C(20,

-5),代入方程得2()2=-2pX(-5),解得p=4。，所以桥拱所在抛物线的方程为_?=

—80y.因为四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线Ci：

(x-14)2^-2p'y,由题图知抛物线Ci经过点C(20,一5),则(20—14)2=-2p'X

(—5),解得p'=£,所以Ci：(%—14)2=—色，点4为桥拱所在抛物线/=-80〉与

x2=—80y,

(%—14)2———y，解得

{7<x<14,5

尤=詈，所以点A的横坐标为詈.

f---------------------------:练习帮:练透好题精准分层-------------------------、

d学生用书•练习帮P371

1.[2024安徽六校联考]若1cMi<4,椭圆C：5+丁=1与双曲线D言一"1的离心

率分别为d，e2,则（C）

AF的最小值为:B.皂的最小值为更

e22e22

C：的最大值为:D：的最大值为¥

e22e22

解析由椭圆和双曲线的几何性质得e2=二—,

所以幺二｝二.三二（鱼）2=/3=5…2一4=三_（m+l）・三一1=,当且仅当

e2Vm2e2m44m44m44

加=2时等号成立，所以幺W士故选C.

e22

2.如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m,水面宽I48I=30m.若水面下降5m,

则水面宽是（结果精确到0.1m）（参考数据：72^1.41,遮心2.24,77^2.65）

(B)

A.43.8mB.44.8m

C.52.3mD.53.0m

解析建立如图所示的平面直角坐标系，其中。为顶点，。为A5的中点，为下降后的

水面.因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线的方程为《一9=1（a>

0）,C（0,-fl）.因为IABI=30,ICDI=5,则B（15,~a~

2

5）,将点2坐标代入双曲线方程，可得—a/）一与=i解得。=

20,即亮一亮=1.当水面下降5m后，纵坐标处=一30,代入双曲线方程可得知=

10V5,所以lA/Nl=2孙=20«Q44.8.故选B.

3.［多选Z2024江西临川一中检测］2022年卡塔尔世界杯会徽正视图（如

图）近似伯努利双纽线.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各

布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点

FiLa,0）,F（a,0）距离之积等于，（>0）的点的轨迹称为双

2flFIFAWORLDCUP

Qatuir2O22

纽线，已知点尸（xo,jo）是。=1时的双纽线C上一点，下列说法正确

的是（ABD）

A.双纽线C是中心对称图形

B.—

C.双纽线C上满足IPBI=IPF2I的点有2个

D.IPOI的最大值为企

解析由到定点外（一a,0）,F2（a,0）距离之积等于a2的点的轨迹称为双纽线，得双

纽线C的方程为J（x+1）2+y2xJ（x-1）?+y2=i,用一%,一了替换方程中的工,

y,方程不变，故双纽线C关于原点。成中心对称，故A正确；

易知IPFiIIPF2I=1,IF1F2I=2,由等面积法得称\PFi\■\PFiI-sinNF"=

-1-1-1-1

-IF1F2I-IyoI,则IyoI=--sin/F",所以一故B正确；

IPFiI=IPFiI,则J（Xo+1）2+羽=J（x。-1）解得无o=O,则

+%xjl+羽=1,解得加=o,所以双曲线C上满足I尸尸1I=IPF］I的点尸有一

个，故C错误；

因为而=1（丽+电）,所以同2=+2］两］|电|.COSNF1PF2+

22

由余弦定理得22=|西|+\PK\-2\PFI\-\7F^\-COS/F1PF2,

所以而2=1+,COSZFIPF2=1+COSZ.F1PF2W2,所以I而I的最大值为

V2,故D正确.故选ABD.

4.在平面直角坐标系尤Oy中，双曲线G：，一《=1（a>0,Z?>0）的渐近线与抛物线

1

C2：x=2py（p>0）交于点。，A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点，则G的离心率为—

3

2--------■

解析双曲线G：a一色=1（〃>。，b>0）的渐近线方程为产土，

由对称性不妨取A（亚，畔），B（一亚，岑），。2：x1=2py（p>0）的焦点F（0,

aazaaz

2pb2_p

即竺=%a2b2c_3

则k=aU2=1£i=+=2

AFa24fa2a24a2

a

5.已知数列｛厮｝,｛b｝中各项均为正数，且仍“｝是公差为2的等差数列，若点巳(斯，b”)

(”dN*)均在双曲线C：f一艺=1上，则斯+1—诙的取值范围是(鱼一1,1).

4--------------------------

解析由题可知点P”(诙，b")在第一象限，尸,岛+1的斜率为=如+匚如=—J.根据双曲

an+lanan+lan

线的性质，知当点尸八越靠近X轴时，厩越大，点尸”越远离X轴时，履越小.由双曲线上的两

点A(1,0)和8(V2,2)可得kAB=一—,而C的一条渐近线斜率为2,所以2c

V2—1

——,故鱼——tz<1.

V2—1(i

6.[2024江西九校联考]如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径上^

为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡尸(当成质点),篮球的

影子是椭圆，篮球与桌面的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，点-a

尸到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A,影子椭圆的右顶点到A

点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e=..

解析以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题

y

意可得P(0,4),R(-3,0),则直线PR的斜率上依=%

直线H?:4x—3y+12=0.设影子椭圆的长半轴长为a,半焦距

为c,则IQRI=a-c.设篮球球心M(%1),则椭圆焦点QA—*

(w,0),点Af到直线尸R的距离4"3+12]=],解得〃=一1(舍去)或〃=一2,

>+(-3)22

71

则IQRI=I—；一(-3)I=：=a—c.设直线PN:依一>+4=0,N(冏，0),则点M

7|—~k—1+4|

1)到直线PN的距离小=1=2=1,得45F—84A+32=0,A>0,所以kpR-k

(-D

=||,则％=总直线PN:各一,+4=0,令y=0,得尤产一率故2a=I—y—(一3)I

=|,则a=3，故c=：.故椭圆的离心率

7.[2024惠州市一调]已知椭圆C：^+^=1(G>fe>0)的左顶点为A,上顶点为8,右焦

点、为F(1,0),。为坐标原点，线段。4的中点为。，且IBDI=I。尸I.

(1)求C的方程;

(2)已知点M,N均在直线尤=2上，以MN为直径的圆经过。点，圆心为点T,直线

AM,AN分别交椭圆C于另一点P,Q,证明：直线P。与直线OT垂直.

解析(1)由题意知，椭圆C的半焦距c=l,D(-|,0),B(0,b),

：.\BD\=]>+炉,|DFI=5+1,•,•占+62=1+1,即b2=a+l

又层=从+，，/.a2—a~2=0(〃>0),解得a=2,故从=3,

；.C的方程为9+1=1.

（2）解法一设M（2,机），N（2,n）,则T（2,"搭与，而入（一2，0）,

则直线产G+2）・

(狂+片=1,

联立得《43整理得(加2+12)%2+4m2工+4m2-48=0,A>0.

y=7(%+2)，

47n2

设尸（xi,yD,则由根与系数的关系得，xi~2

m2+12

2(12—m2)12m

..XI，则yi=

m2+12m2+12

12n

设。（X2,>2）,同理可得，无2=2V,则=

JV27~12^+--1--2--

••kpQ=yx—y26(mn-12)(n—m)mn—12

22

x1—x224(n—m)4(n+m)

如图，连接OM,ON,•:MN为鱼径,：.OM±ON,：.kOM-kON

1,即日n-7n--n=一i1,...mn~4,

，22

4

:-kpQ=~^

n+m

而koT=

4

：.kPQ-koT^-1,则直线尸0与直线OT垂直，得证.

解法二设M(2,m),N(2,71),则T(2,与3).

如解法一图，连接OM,ON,为直径，：.OM±ON,即南•标=0,即4+»m=0.

m—0m

'：A(-2,0),：.k=

AM2—(-2)4

则直线AM■:y=-(x+2).

4

(立+艺=1,

联立得《43整理得(%2+12)x2+Wx+4m2-48=0,A>0.

y=7(x+2),

4m2

设尸（xi,yD,则由根与系数的关系得，xi~2

m2+12

2(12-m2)ni12m

・・沏=，则力=许，

m2+12

.z2(12-m2)12m）

••1\z

7712+12疗+廿’

中/，毋"屈=（2(12—九2)2(12-m2)12n12m

同理得。（),

九2+12m2+12'n2+12m2+12

m+n>.

又。r=(2,

2，

---->---->4(12—n2)4(12—m2)।6mn।6n26m26mn24+2n224+2m2

：.PQOT=-=2-2=

n2+12m2+12n2+12n2+12m2+12m2+12n2+12m2+12

0.

/.PQXOT,即尸。_LOT,得证.

丫2

8.［2023陕西模拟］已知椭圆Ci的方程为―+^=1，双曲线C2的左、右焦点分别是Ci的

左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

(1)求双曲线。2的标准方程；

(2)若直线/：y=fcv+/与双曲线C2恒有两个不同的交点A和'且瓦『话＞2(其中O

为坐标原点)，求实数上的取值范围.

解析(1)设双曲线C2的方程为拶一占=1(o＞0,b＞0'),半焦距为c,则层=3,c2—

由〃2+庐=，，得庐=1,

v2-

故双曲线Q的标准方程为了一9二