江苏省南京市2025届高三调研考试数学试卷（含答案）

江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试

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数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A=｛（久,〉）忱2+y2=4｝,B=｛（x,y）|y=2cosx｝,则的真子集个数为（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

2.在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数总对应的点ZI所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得

分，分数由低到高依次为：76,a,b,80,80,81,84,85,若这组数据的下四分位数为77,则该名考

生的面试平均得分为（）

A.79B.80C.81D.82

4.utan2a=是"皿=11”的（）

4tana

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若单位向量五万满足位，力=120。,向量才满足（？—砂，C—3），则日亮+3亮的最小值为（）

A^3-1B.子D.竽

A-

6.设数列｛a九｝的前ri项和为%,已知臼=:，a九+i=J7］，若S2024c（k—1,k）,则正整数k的值为（）

NCt/iiJ.

A.2024B.2023C.2022D.2021

7.已知双曲线C:/-3=i,在双曲线C上任意一点P处作双曲线C的切线（%,>0,%>0）,交C在第一、

四象限的渐近线分别于4、B两点.当SA°P4=2时，该双曲线的离心率为（）

A.Vl7B.3<2C.719D.2<5

8.在团ABC中，4<B<C且tan4tanB,tanC均为整数，D为2C中点，则黑的值为（）

DU

A.iB.年C.苧D.1

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图，棱长为2的正方体4BCD-4/心。1中，E,F分别是的中点，点P为底面力BCD内（包括

边界）的动点，则下列说法正确的是（）

DyC.

A.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

4fFA/k\----71

B.存在点P,使得GPL平面BEF

C.若点P到直线BBi与到直线4D的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分后葭以''、、II

D.若直线。止与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为年J'，

10.芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智

能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进

行抽样检验.记力表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.

改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标f服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取M个，这M个芯

片中恰有m个的质量指标f位于区间(5.35,5.55),则下列说法正确的是()(参考数据：

(7)«0.6826,P(〃—3cr<f<〃+3<7)x0.9974)

A.P(B|A)>P(B)

B.P(AfB)>P(X|B)

C.P(5,35<q<5.55)®0.84

D.P(m=45)取得最大值时，M的估计值为54

11.麦克斯韦妖("中他〃罪师071),是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，是第二类永

动机的一个范例.而直到信息嫡的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论.设随机变量比所有取值为1,2,

n,且尸(久=i)=4>0(i=1,2,…，n),Yi=ipi=1>定义X信息嫡HQr)=之iPMo^Pi，则下列说法正

确的是()

A.当n=1时，H(x)=0

B.当n=2时，若Pte则”(x)与A正相关

C.若R=P2=舟,Pk+1=2Pk也>2,kEN),则H(x)=2-6

D.若n=2a,随机变量y的所有可能取值为1,2,m,且P(y=/)=弓•+「28+1-/0=12…，6)，贝I

H(x)>H(y)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在正四棱台4BCD-&B1C1D1中，AB=4,ArBr=2,AA1=2/2,则该棱台的体积为.

13.已知抛物线y2=4x与抛物线比2=4y在第一象限的交点为点4,抛物线y?=4x与直线x-ey-e2=

0(e为自然常数)在第四象限的交点为点B,点。为坐标原点，贝帆。4B的面积为.

14.已知函数/(x)满足/(一1一x)+/(x)=—7,且/[/(%)+7或+3_XT+2]=—4,则

/(2024)=.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数/'(K)=—|x3+bx2+ex+be.

(1)若函数/(x)在x=1处有极值-，求b,c的值；

(2)若函数g(x)=/(x)-c(x+b)~2在％G[4,+oo)内单调递减,求b的取值范围.

16.(本小题12分)

4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文

字始祖"仓颉区6]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使

用.某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回

答相互独立.若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为答错的概率为

3

4'

(1)甲留学生随机抽取3题，记总得分为X,求X的分布列与数学期望；

(2)(回)若甲留学生随机抽取m道题，记总得分恰为2zn分的概率为%,求数列｛治｝的前m项和；

(ii)记甲留学生已答过的题累计得分恰为打分的概率为Qn,求数列｛Q"的通项公式.

17.(本小题12分)

如图，已知四边形4BCD是矩形，P21平面力BCD,且24=2,M、N是线段PB、DC上的点，满足瞿=

(1)若4=1,求证：直线MN〃平面PD4；

(2)是否存在实数人使直线MN同时垂直于直线PB,直线DC?如果有请求出2的值，否则请说明理由;

(3)若4=1,求直线MN与直线PD所成最大角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知双曲线G：*2—1=1与曲线C2：2Q—zn)2+(y—几)2=6有4个交点a,B,C,按逆时针排列).

(1)当m=n=O时，判断四边形4BCD的形状；

(2)设。为坐标原点，证明:|04|2++|0c『+|。02为定值；

(3)求四边形2BCD面积的最大值.

附：若方程式4+口7+6/+©%+4=0有4个实根无】，x2,x3,x4,则/+叼+久3+比4=一a,xrx2+

xrx3+xrx4+x2x3+x2x4+x3x4=b.

19.(本小题12分)

称/az是z的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：(1)任意a,be/,a+bel；(2)任意ae/和

cEZ,有caG/.任取a2,…，anGZ,称包含的_,a?,…，厮的最小向往集合称为a1,a2,…，an的生成向往集

合，记为(%.,a2,…，an).

(1)求满足(6,8)=(X)的正整数比的值；

a

(2)对两个向往集合A，/?，定义集合S(/i/2)=[a+b\ael^bG.I2),P(Jr,I2)={的瓦+a2b2+…+nbnI

a1(a2,•••,«„e4,瓦也，…4e=12…}

(i)证明：P((4,6),(3))仍然是向往集合，并求正整数x,满足P((4,6),(3))=(乃；

(ii)证明：如果SC//)=Z,则An/2=PQij).

参考答案

l.c

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.4

8.D

9.AC

1Q.ABC

11.ABD

28<6

13.(6-4/2)e2+(4/2-4)e

14.一黑!或202L

15.解：(1)

1

%3

函数/'(%)=3-+bx2+ex+be,求导得了'(x)=—x2+2bx+c,

4，14

即卜§+6+c+A=—解得尸1或

(r(l)=0I-l+26+c=09=-1(C=3

当6=1,c=—1时，f'(x)=—%2+2x—1=—(%—<0恒成立，

/(X)在R上单调递减，无极值；

当6=-1)=3时，f(x)=-(x+3)(x-l),当一3<久<1时，f(x)>0,

当x>1时，f'(x)<0,

函数〃久)在X=1处取极大值，满足题意，

所以6=-l,c=3.

(2)

依题意，g(x)=-|x3+bx2-2在［4,+8)上单调递减，

则g'(x)=—%2+2bx<0在［4,+8)上恒成立，因此6<］在［4,+8)上恒成立,

而当久24时，^>2,则6W2,

所以6的取值范围是6<2.

16.解：(1)依题意可得X的可能取值为3、4、5、6,

则P(X=3)=©3=|Z,p(x=4)=废x(i)1x(}2=|Z,

P(X=5)=废X(yx(|)i=》P(X=6)=废义(护x弓)。=专,

所以X的分布列为

X3456

272791

P

64646464

;匚|、|「，V、n27,.27,9,124015

所以E(X)=3XQ+4X口+5rx瓦+6rX^=R=7・

(2)(回)若甲留学生随机抽取根道题，总得分恰为2m分，即小道题均答对了,

所以%=G)，

设数歹!)｛分｝的前恒项和为贝USm=

3133131333351

+X-Q-废XX+XX-

4-4-4-4-1-6-34-4-4-4-4-6-4-

□1

当^^时飙=孔…+也修，

^Qn+lQn-l=Qn-^+lQn-2^

所以期+[Qn.J为常数数列，又Q2+也=得+亨X|=1,

所以Qn+；Qn-l=L

则Qn—(=—"(Qn-1—,所以｛QTI—3｝是以—4为首项,为公比的等比数列,

所以Qn―：=_/X(—；)(n>3),

经检验当n=l、2上式也成立，所以册=gx(-

3ZU\4/

17.解：(1)

取力P的中点Q,连接QMQD,

因为4=1,所以M是线段PB上的中点,

因此有QM〃71B,MQ=^AB,

因为4BCD是矩形，N是线段DC上的中点，

所以DN〃AB,DN=^AB,

因此有DN〃MQ,DN=QM,

所以四边形DNMQ是平行四边形，所以有NM〃QD,

而NM仁平面PD4,QDu平面PDA,所以直线MN〃平面PDA；

(2)

假设存在实数九使直线"N同时垂直于直线PB,直线DC,

因为四边形4BCD是矩形，所以CD〃4B,

即MN1PB,MNLAB,KffPBClAB=B,PB,ABu平面ABP,

所以MN1平面力BP,

因为4BCD是矩形，所以481AD,

因为尸41平面4BCD,4Du平面2BCD,

所以P414D,而PACiAB=4P4ABu平面2BP,

所以4。1平面力BP,因此MN〃4D,而MN//DQ,所以4D〃DQ,显然不可能，所以假设不成立,

因此不存在实数;I,使直线MN同时垂直于直线PB,直线DC；

(3)

当4=1时，由(1)可知：MN//DQ,

所以NPDQ是直线MN与直线PD所成角，设4。=a(a>0),

由(2)可知PA1AD,所以PD=y/a2+4,DQ=Vcz2+1,

在I2PDQ中，由余弦定理可知：

P02+DQ2PQ2_次+4+/2+1-1

cosZ.PDQ=

2PD-DQ27a2+4x7a2+lVa2+4xVa2+l

11

令M+2=t(t>2),所以0<—<

于是有cosNPDQ=ExB

当寸，COSNPDQ有最小值，最小值为券，此时NPDQ有最大值.

则直线MN与直线PD所成最大角的余弦值为学.

p

18.解：(1)双曲线Ci：/—[=1，即2/_y2=2,

当771=71=0时，曲线。2：2(%—771)2+(y—n)2=6,即2/+y2=6,

联立消去y得4/=8=%=±<2,

由久2=2=y=±VT,

.・.AB=BC=CD=DA^AB1BC,

・•・四边形ZBCD为正方形；

(2)2(%—m)2+y2+n2-6=2yn

=[2(%—m)2+y24-n2—6]2=4y2n2,

将y2=2%2—2代入，由题意知，

俨1+%2+%3+%4=2m

XX2

\xrx2+%1%3+%1%4+23+%2%4+%3%4=2m—4'

|。川2+\0B\2+\0C\2+\0D\2

=好+螃+滔+媛+资+呼+川+H

=3(%2+好+霜+解)—8

=3[(%1+%2+%3+x4)2-2(%142+xlx3+xlx4+X2X3+X2X4+X3X4)]—8

=3[4m2-2(2m2-4)]-8=16,

故|。川2+|。切2+|。。『+|。02为定值；

(3)记。A=a,OB=b,OC=c,OD=d,

①当。在内部时，

1

S=7T（a/?sin0+bcsinO+cdsinB+adsindJ

21234

<^ab+bc+cd+ad）（当且仅当%=%=%=%=90°时，取等号）

W*字+亨+华！+学）（当且仅当a=b=c=d时，取等号）

=|（a2+fa2+c2+d2）=8,

当且仅当四边形4BCD为正方形（爪=n=0）取等号；

②当。在外部时，

1

S=2[absina+bcsin/3+cdsiny—adsin(a+/?+/