2024-2025学年河南省部分市区高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024.2025学年河南省部分市区高三(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若z=a-1+(a-2)i(aeR)为纯虚数，贝！J|z|=()

A.0B.1C.2D.3

2.已知向量五=(zn,—1)范=(4,根2+9),且五1(五+3)，则?n=()

A.4B.3C.2D.1

3.设集合/={%|/29},B={x\2x<a],若BU4贝b的取值范围是()

A.(—oo,-6]B.(-00,-2]C.[3,+oo)D.[6,+oo)

4.函数/(%)=cos(x+f)+苧sin%的最大值为()

4Z

A.1+B.C.D.0

5.已知某圆锥的轴截面是顶角为a的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为£的扇形，若0=3a,则0=()

吟B/C.yD.7T

6.已知函数/(x)=[吗二次，".’。在区间(0,2)内单调递增，贝b的取值范围为()

laxz+3x+2,1V%<2

A.[一1,+8)B.[2,4-oo)C.[—5,+8)D.[--,2)

7•设c°s20°=a，贝％J50f=()

,1-a2„a2+l

A.―--B.---C.aD.a2"

8.设抛物线C：*=2p久(p>0)的焦点为尸，直线1与C交于4B两点，FA1F8,|R4|=2尸8|,则/的斜

率是()

A.±1B.±72C.±/3D.±2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9♦已知a>0,b>0,则双曲线>：器-％=l与1=4有相同的()

A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线

10.随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X,掷出的点数之和为丫，贝1()

A.事件“X=2”和“y=4”相等B.事件“X=4”和“y=6”互斥

C.X为奇数的概率为:D.r<17的概率为£

o34

11.已知函数f(x)的定义域为R,且其图象是一条连续不断的曲线，/(xy)=x/(y)+y/(x),记/''(x)为/'(x)

的导函数，则下列说法正确的是()

A./(0)=0B./0)为奇函数

C.若/(3=1,则/(4)=-8D,若((X)在(0,+8)上单调递减，则/(x)恰有三个零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、

乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同

传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为.

13.在数列｛an｝中，an=/，且a[+a?+…+ag〉—,则实数c的取值范围是.

14.已知正数x,y满足知9%2-1+J9y2—1=9xy,贝！J4/+>2的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且炉+c?—a2=2acs讥8.

(1)求力；

(2)若a=2,求AABC面积的最大值.

16.(本小题15分)

氮氧化物是一种常见的大气污染物，如图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量(单位：万吨)的折线图，

其中年份代码1〜9分别对应年份2015〜2023.

已知却=12000,J邓-分2，10知邓51800.

(1)可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明.

(2)若根据所给数据建立回归模型y=-138t+2025,可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化

物排放量？请说明理由.

附：相关系数第iWLty.

2n

1oxQo

1o#7o

1oo

1^3

1ono

oo

*Q

(/7x)

()()

oo

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥S-力BCD中，ASAD为正三角形，底面4BCD为矩形，且平面S4D_L平面4BCD,M,N分

别为棱SC,的中点.

(1)证明：MN〃平面S4D；

(2)若且二面角C-MN—D的大小为120。，求喋的值.

18.(本小题17分)

已知椭圆C：务，=l(a>6>0)的左、右焦点分别为&,F2,且内尸2|=2,过点尸2作两条直线4，

12,直线。与C交于4,B两点，AFi/lB的周长为4/1.

(1)求C的方程；

(2)若AFiNB的面积为,求人的方程；

(3)若％与C交于M,N两点,且匕的斜率是%的斜率的2倍，求|MN|-|4B|的最大值.

19.(本小题17分)

n

已知函数f(%)=劭+%%+g%2H------Fanx,其中4)，…，即不全为0，并约定。九+1=0,设

瓦=(忆+1)以+1-以，称。(%)=瓦+瓦%+电/+…+匕％九为/(%)的“伴生函数”.

(1)若/(%)=5x4+3%2+3%+1,求g(%)；

(2)若/(%)>0恒成立，且曲线y=仇/(%)(%>0)上任意一点处的切线斜率均不小于2,证明：当％>0时,

9(%)>/(%);

(3)若即=0,证明：对于任意的zue(0,+8),均存在tc(o,7n),使得9(。<噜^.

参考答案

1.B

2.C

3.4

4.C

5.D

6.4

7.C

8.D

9.CD

\Q.ACD

W.ABD

12.10

13.居+8)

14.1

15.解：(1)因为炉+c2—a2=2acsinB,

b2+c2-a2_2acsinBasinB

所以由余弦定理得，cosZ

2bc2bcb

由正弦定理得，号b

sinB’

所以s讥4=片=0"4即=

因为46(0,兀)，所以力=夕

(2)由余弦定理得,b2+c2-a2=IbccosA,

因为a=2,X=7,

所以庐+c2—4=ypibc

又/+c?-4=22bc-4,当且仅当b=c时，等号成立,

所以be<4+2<2,

所以△ABC的面积S=^besinA=?bc<1+<2,

即△4BC面积的最大值为1+72.

16.解：（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系,

-1

由题意知t=2(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,

相关系数r=^ty-9ty^51800-5x120008200

=1ii=—丽…nQ9V7,

7.7x1100

所以可用线性回归模型拟合y与t的关系.

（2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量.

理由如下：

①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势,

所以可用此模型进行预测；

②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，

这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，

所以用此模型预测可能是不准确的.

17.解：（1）证明：如图，取棱SD的中点P,连接PM,PA.

因为M是棱SC的中点，所以MP〃C。且MP=|CD.

又四边形2BCD是矩形，N是棱力B的中点，

所以M/7/4N,且

所以四边形4PMN是平行四边形，所以MN〃AP.

又APu平面SAD,MNU平面S4D,

所以MN〃平面S4D；

（2）取棱4。的中点Q,则在正三角形中，SQ1AD,LnABCD.

以Q为坐标原点，）,近的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz.

X

设/。=2a,AB=2b,b>a>0,

则C(-a,2b,0),S(0,0,73a),M(-,b,苧),N(a,b,0),D(-a,0,0).

所以西=GT,年），丽=（竽,0,一年），丽=（Q,学）.

设平面CMN的法向量为元=（x,y,z）,

取元=Qb.2a.yf3b),

设平面DMN的法向量为沅=（p,q,r）,

m•DM=0,日口+bq+=0,

则3aGa,取沅=(6,-2a,06),

m-~MN=0/、

亏p---br=0,

根据题意可得|cos〈元，记)|=粤驾=4b2-4：=I,解得6=V~3a>

\n\\m\4b‘+4a22

所以黑

18.解：(1)由题意知2c=2,所以c=L

又△&4B的周长为|4&|+\AF2\+\BF1\+\BF2\=4a=4U，所以a=

72，

所以力2=a2—c2=1,

2

故椭圆C的方程为券+y2=1；

(2)易知4的斜率不为0,设k：x=my+l,火球外),B(x2,y2)>

联立|；2不;(J2=0,得(—+2)必+2my-1=0,

所以为+治=熹，为力=高,

gcpi----------------------22(m2+l)

六以Wi_1=J(乃+%)2-4yly2=7m2+2—，

所以S_1|FFNv2j2g2+l)--解得一=±i,

SAFMB-2尸尸121Wl一gI—m2+2--5

所以k的方程为I-y-1=0或％+y-1=0；

(3)由(2)可知MBI=滔反—=2察=2调(1—高)

因为k的斜率是1的斜率的2倍，所以小大0,

所以|MN|=2/1(1一嬴为)，

--in4nri\Anire,11、3y/-2.3V-2y/-2

所以|MN|一|4B|=2，I(花森-屈亚)=2m4+5m2+2=2m2+5+A3赤=可，

m2

当且仅当6=±1时，等号成立，

所以|MN|-M用的最大值为苧.

19.解：(1)由题可知劭=1,4=3,a2=3,a3=0,a4=5,a5=0.

=

—a1一CLQ=2,b1—2a2—a1=3,b?~3a3—a2-3,—4。4—。3—20,b^,—5a5—ct^—

—5,

故f(%)的伴生函数为g